1、注意：對于級數，當收斂時，絕對收斂.例 證絕對收斂：令，則收斂收斂故 原級數絕對收斂.§7.5 冪級數一、函數項級數的概念1【定義】設 是定義在區間上的函數,則 稱為定義在區間上的(函數項)無窮級數.2收斂域(1) 收斂點 常數項級數 收斂；(3) 收斂域 函數項級數的所有收斂點形成的集合；3和函數,.若函數項級數在收斂域內每一點都對應于的一個函數值，則稱為函數項級數的和函數.4余項, . 注: 只有在收斂域上,才有意義；, .二、冪級數及其收斂半徑和收斂域1【定義】形如的函數項級數稱為的冪級數.（也稱為一般冪級數），其中 為常數，稱為冪級數的系數.當時, 稱為的冪級數（也稱為標準冪

2、級數）, 其中常數（）稱為冪級數的系數.結論：對于級數，作代換可以將一般冪級數化為標準冪級數，例如: , 均為冪級數.顯然: 的收斂域.和函數.此結論可當公式使用.2.級數的收斂域把級數的各項取絕對值得正項級數，記 ，則 ；于是由比值判別法知（1）若，即，絕對收斂.(2) 若，即，發散.(3) 若，即，比值法失效，斂散另行判定.（4）若，即，此時對任意，收斂.上述分析顯示級數在一個以原點為中心，從到的區間內絕對收斂，區間稱為冪級數的收斂區間，為收斂半徑.若級數僅在點收斂，則規定，級數的收斂域為例如級數 由于 ， 級數收斂域為 或 ；獨點集.若對任意都收斂，則，級數的收斂域為.當時，要討論級數在

3、處的斂散性才能確定收斂域.此時收斂域可能是下列區間之一：3.【定理7.13】若冪級數系數滿足條件 或（為常數或），則 (1) 當時, 則； (2) 當時, 則. （3）當時, 則. 常用公式:，.例如: 冪級數的收斂半徑,時，級數發散，故其斂區與斂域均為.例1求冪級數的收斂半徑與收斂域.解(1) 級數的通項為 . (2) 當時, 級數為收斂；當時, 級數為發散.故收斂區間（斂區）是，收斂域為（斂域）.例2（1）求冪級數的收斂半徑與收斂域.解: ,故 收斂區間和收斂域均是 .（2）求冪級數的收斂半徑.解: .練習：求冪級數的收斂半徑與收斂域.提示：，又時級數發散.收斂域.例3（1）求冪級數的收斂

4、半徑與收斂域.（缺項級數）提示：當時級數收斂；當時級數發散.當 時，原級數是，收斂的交錯級數.所以 收斂半徑，收斂區間，收斂域.注意：缺項級數可以直接用比值法求收斂半徑.（2）求冪級數的收斂域.解：由時級數收斂，由由時級數發散.得 當時，收斂，當時，收斂，所以 收斂域為 .例4求冪級數的收斂半徑與收斂域.（中心不在原點的級數求收斂域時先作變量替換）解令,冪級數變形為,，當時原級數為收斂，當時，發散，故 原級數收斂半徑，收斂域為.注意：一般冪級數求收斂半徑時作變量代換.提問：（1）(02.3) 設冪級數與的收斂半徑分別為與,則冪級數的收斂半徑為（A）(A) 5；(B) ；(C) ；(D) 答案,

5、（2） (92.3) 級數的收斂域為.答令對于,由,于是收斂半徑,則,即內收斂.當和時,原級數都為發散,所以收斂域為.三、冪級數以及和函數的運算性質1.設 的收斂半徑分別為1）加減法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,.其中: 待定, 而由系列表達式,確定.此處, , 但.2.冪級數的和函數在其收斂區間內是連續.3.冪級數的和函數在其收斂區間內可積，且有逐項積分公式 ,.(積分前后的收斂半徑不變).例: , .逐項積分時在處無意義.4.冪級數的和函數在其收斂區間上可微，且在收斂區間上 , .說明：求導與積分前后兩級數的收斂半徑不變，但收斂域有可能改變.公式收斂域

6、為例5 求冪級數的和函數,并求.解：(1).當時, 級數為收斂；當時, 級數為發散. 故原級數收斂域是.(2) 當時, 有.于是 ,由于且冪級數在其收斂域上連續, 取 代入和函數可得 .（2）求冪級數的和函數，并求級數及級數的和.解1），所以.當時，發散，當時，發散.所以 級數斂域為.2）設，則為所求和函數.3）令，則有 ，所以.4）令，則有 ，所以.例6 (00.6) 設求的和.解由,得,令,則其收斂半徑,在內,于是,令,則,從而.練習:求下列級數的收斂區間,并求和函數:（1）求冪級數的和函數：(2) (99.3) .因為,令，則有,所以答案為4.(3)解該級數為,由,知當時冪級數絕對收斂.當時,冪級數收斂;當時,冪級數收斂,所以原冪級數的收斂域為.設,則當時有,所以 .(4)解該冪級數為,由,知當時冪級數絕對收斂.當時,冪級數發散;當時,冪級數發散,所以原冪級數的收斂區間為.設,則當時,有.小結：1.注意收斂區間與收斂域的聯系與區別. 2.利用冪級數的性質求冪級數的和函數時，求導或求積分時前后的收斂區間不變. 3.利用冪級數的和函數可以求常數項級數的和；求出和函數后， 取的特值代入和函數即得所求. 4對缺項冪級數在求收斂半徑時應設輔助變量轉化為常規形冪級數或直接用正項級數的比值判別法求收斂區間.課