1、第10章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課內(nèi)容提要1.基本概念 設(shè)有序列:,稱表達(dá)式為無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù).當(dāng)為數(shù)列時(shí),稱其為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).當(dāng)()是某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)時(shí),稱其為上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),例如和等.(1) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性概念稱 () 為的前項(xiàng)部分和,若部分和數(shù)列收斂(設(shè)),則稱收斂,并稱為其和,可記為;否則稱發(fā)散,發(fā)散的級(jí)數(shù)沒(méi)有和.(2) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件若收斂,則必有;反之不真.(3) 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 當(dāng)時(shí),與斂散性相同; 對(duì)于,與斂散性相同.(4) 收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 設(shè),有;（線性性質(zhì)）收斂,且.(加括號(hào)性質(zhì))(5) 收斂（只要極限存在即可）, 當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列收斂.（區(qū)別數(shù)列與級(jí)數(shù)的概念！）(6) 幾何

2、級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的斂散性收斂的充要條件是,且收斂時(shí);收斂的充要條件是,特別地,調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法(1) 基本定理:()收斂有上界.(2) 比較法: 設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù),若,使得當(dāng)時(shí)有成立,則 1由收斂可得收斂; 2由發(fā)散可得發(fā)散.比較法的極限形式: 設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù),若(有限數(shù)或),則 1當(dāng)時(shí), 與的斂散性相同;2當(dāng)時(shí),由收斂可得收斂;3當(dāng)時(shí),由發(fā)散可得發(fā)散.注: 運(yùn)用比較法的關(guān)鍵在于: 1事先估計(jì)待審級(jí)數(shù)的斂散性（當(dāng)時(shí),若,則一般是收斂的,否則可能發(fā)散）; 2找到斂散性已知的級(jí)數(shù)作為比的較基準(zhǔn)級(jí)數(shù)(通常是幾何級(jí)數(shù)或級(jí)數(shù)).(3) 比值法與根值法若或(有限數(shù)或),則1當(dāng)時(shí)收斂; 2當(dāng)時(shí)發(fā)散

3、; 3當(dāng)時(shí),可能收斂,也可能發(fā)散.(4) 積分審斂法設(shè)在上連續(xù)、非負(fù)且單調(diào)遞減,記(),則收斂的充要條件是廣義積分收斂.3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法(1)絕對(duì)收斂定理: 若任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂(即收斂),則必收斂,反之不真;但若由比值法與根值法判定發(fā)散,則也發(fā)散.(2)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz準(zhǔn)則:若交錯(cuò)級(jí)數(shù)()滿足條件及單調(diào)遞減,則收斂,且.4.冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的求法(1)關(guān)鍵在于求()的收斂半徑 當(dāng)其“不缺無(wú)限多項(xiàng)”時(shí),使用公式:若或,則; 當(dāng)其“缺少無(wú)限多項(xiàng)”時(shí),要依照的定義使用比值法或根值法求得,有時(shí)可做變量代換化為“不缺項(xiàng)”的級(jí)數(shù)而使用公式.(2)收斂域收斂的端點(diǎn) (收斂的端點(diǎn)).(3

4、)求和函數(shù)的方法 根據(jù)下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) <1>, ; <2>,; <3>,;通過(guò)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)、加減、變量代換及恒等變形等求出.5.將函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)Taylor級(jí)數(shù)(1)若在的某鄰域內(nèi)無(wú)限次可微函數(shù)在點(diǎn)處能展成冪級(jí)數(shù),則所展級(jí)數(shù)是惟一的,即必為Taylor級(jí)數(shù)(時(shí),稱為Maclaurin級(jí)數(shù)).(2)在內(nèi)無(wú)限次可微函數(shù)在點(diǎn)處能展成冪級(jí)數(shù)的充要條件是有, 其中是在點(diǎn)的階Taylor公式中的余項(xiàng).(3)利用直接展開(kāi)法可得到下列常用的展開(kāi)式 <1>,;<2>,;<3>,;<4>, 收斂半徑.(4)一般采用間接展

5、開(kāi)法求在點(diǎn)的Taylor展開(kāi)式.6.將函數(shù)展為Fourier級(jí)數(shù)(1)Dirichlet收斂定理:若在(或)上滿足條件:連續(xù)或只有有限多個(gè)第一類間斷點(diǎn),至多只有有限多個(gè)極值點(diǎn),則的以為周期的Fourier級(jí)數(shù)在上處處收斂,且在(或)上,其中Fourier系數(shù) (), ();特別地,當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)時(shí),.(2)正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) 當(dāng)為上的奇函數(shù)時(shí),其Fourier級(jí)數(shù)為,稱為正弦級(jí)數(shù),其中 (); 當(dāng)為上的偶函數(shù)時(shí),其Fourier級(jí)數(shù)為,稱為余弦級(jí)數(shù),其中 ().(3)對(duì)于定義在半?yún)^(qū)間上且滿足Dirichlet條件的函數(shù)，或作奇式延拓,展為以為周期的正弦級(jí)數(shù);或作偶式延拓,展為以為周期的余弦級(jí)數(shù).

6、7.利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 一般利用冪級(jí)數(shù),有時(shí)也利用函數(shù)的Fourier展開(kāi)式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.(1)利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和,通常按以下步驟進(jìn)行: (a) 找一個(gè)(容易求出和函數(shù)的)冪級(jí)數(shù),使得;(b) 求的收斂域(應(yīng)使,否則要另找冪級(jí)數(shù));(c) 求出的函數(shù);(d)(2) 利用函數(shù)的Fourier展開(kāi)式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的問(wèn)題,一般總是附在求的Fourier級(jí)數(shù)之后,由收斂定理而得.例如，在例5.3的展開(kāi)式中，令即得（附：易知）利用這個(gè)結(jié)果，可得定積分課堂練習(xí)(1-5題選自復(fù)習(xí)題10) 1.填空題(1) 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,則的收斂區(qū)間為.解:因?yàn)榈氖諗堪霃?所以的收斂半徑, 從而的收斂

7、半徑,故其收斂區(qū)間為.(2)函數(shù)的Maclaurin級(jí)數(shù)為.解: ,.直接求解也不繁！(3) 的和函數(shù)為.解: 收斂域?yàn)?,.(4)的和為.解: 考慮冪級(jí)數(shù),其收斂域?yàn)?,.故.(5)(補(bǔ)充)已知,則.解:只需求出.事實(shí)上,所以.(6)(補(bǔ)充)設(shè)在點(diǎn)處條件收斂,則其收斂半徑.解:因?yàn)樵邳c(diǎn)處收斂,故由Abel定理知,當(dāng)時(shí), 絕對(duì)收斂;又因?yàn)樵邳c(diǎn)處發(fā)散,故當(dāng)時(shí), 發(fā)散(否則在處收斂);所以.(7)(補(bǔ)充)設(shè)是的以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù),則.解:.2.選擇題(1)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,常數(shù),則(A) 發(fā)散. (B)條件收斂. (C)絕對(duì)收斂. (D)斂散性與有關(guān).答( C )解:因?yàn)楫?dāng)充分大時(shí),于是，

8、又因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂,從而正項(xiàng)級(jí)數(shù)必收斂,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(2) 若收斂,則下列級(jí)數(shù)中必定收斂的級(jí)數(shù)是(A). (B). (C). (D).答( D )解: 收斂,必收斂,所以必收斂.反例: (A)收斂,但發(fā)散;(B)收斂,但發(fā)散;(C)收斂,但發(fā)散.注：若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則（A）、（B）、（C）、（D）都是收斂！(3) 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 (A). (B). (C). (D).答( D )解: ,.因?yàn)?于是有及，解得，所以.(4)若的和函數(shù)為,則等于 (A). (B). (C). (D).答( B )解: 因?yàn)?所以.(5)(補(bǔ)充題)級(jí)數(shù)的斂散情況是(A) 當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂,當(dāng)時(shí)條件收斂.(B)

9、當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂,當(dāng)時(shí)條件收斂.(C) 當(dāng)時(shí)發(fā)散,當(dāng)時(shí)收斂.(D) 均絕對(duì)收斂.答( A )6.(補(bǔ)充題) 若收斂，則級(jí)數(shù)(A)收斂. (B)收斂. (C)收斂. (D)收斂.答( D )解：若收斂，則收斂，故收斂.反例：收斂，但(A)發(fā)散；(B) ;(C)發(fā)散.3.將展為的冪級(jí)數(shù)(3);解: , 而;直接使用的展開(kāi)式也行！; , .4.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù):(2);解: 此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?令,.因?yàn)? ;, ;故,;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; 所以.5.將下列各周期函數(shù)展為傅里葉級(jí)數(shù)，若函數(shù)在一個(gè)周期的表達(dá)式為：(2), .解: 在內(nèi)滿足狄氏條件,且,于是, ();,();, .6.設(shè),試證收斂.證: ,記,

10、則單調(diào)減且有界,故收斂,從而收斂.7.設(shè),.(1) 求的值;(2) 證明:, 收斂.解: (1) (),所以.(2)因?yàn)?() ,于是 ().而收斂,所以,收斂.8.討論級(jí)數(shù)的斂散性(包括絕對(duì)收斂性).解:這是交錯(cuò)級(jí)數(shù).因?yàn)?且單調(diào)遞減(令,則當(dāng)時(shí),),故收斂.但,而發(fā)散,于是發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)條件收斂.9.求級(jí)數(shù)的和.解:顯然收斂.考慮冪級(jí)數(shù),.因?yàn)?故.也可以令10.設(shè),求,.解: ,.因?yàn)?所以().11.(正項(xiàng)級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)審斂法)設(shè),且(有限數(shù)或),則(1)當(dāng)時(shí)收斂;(2)當(dāng)時(shí)發(fā)散.證: (1)當(dāng)時(shí),必,s.t.因?yàn)?故,s.t.,有,于是,即(),而時(shí)收斂,所以收斂.(2)當(dāng)時(shí),必,s.t.因?yàn)?故,s.t.,有,于是,即(),而時(shí)發(fā)散,所以發(fā)散.12.設(shè),且 ().試證:若收斂,則也收斂.證: 由 ()可得,于是 ().又因?yàn)槭諗?故由比