1、電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電6.1 任務任務1 電路的過渡過程電路的過渡過程 【教學目標】【教學目標】 通過本項目的學習，理解動態元件通過本項目的學習，理解動態元件L、C的特的特性，并能熟練應用于電路分析；了解電路的過渡過性，并能熟練應用于電路分析；了解電路的過渡過程，掌握換路定律；弄懂動態電路方程的建立及解程，掌握換路定律；弄懂動態電路方程的建立及解法；掌握換路定則及初始值和穩態值的求法；掌握法；掌握換路定則及初始值和穩態值的求法；掌握動態電路的特點、零輸入響應、零狀態響應、全響動態電路的特點、零輸入響應、零狀態響應、全響應的概念和物理意義，并掌握它們的分析計算方法；

2、應的概念和物理意義，并掌握它們的分析計算方法；熟練掌握一階線性電路分析的三要素法。熟練掌握一階線性電路分析的三要素法。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電項目導入與項目分析項目導入與項目分析 在電容與電阻串聯電路中，接通或斷開直流電源時，在電容與電阻串聯電路中，接通或斷開直流電源時，電路往往產生由一種狀態過渡到另一種狀態的過渡過程。電路往往產生由一種狀態過渡到另一種狀態的過渡過程。如汽車啟動到勻速行駛的過程，它是由一種穩態如汽車啟動到勻速行駛的過程，它是由一種穩態(汽車不動，汽車不動，速度為零速度為零)到另一種穩態到另一種穩態(汽車勻速行駛汽車勻速行駛)的變化過程，這些的變化過

3、程，這些過程的規律在電子技術中及生產生活實踐中得到了廣泛的過程的規律在電子技術中及生產生活實踐中得到了廣泛的應用。例如人們利用過渡過程規律制作漸變燈、延時開關應用。例如人們利用過渡過程規律制作漸變燈、延時開關等。等。 本任務由小燈泡、二極管、電容、電阻組成。需要開本任務由小燈泡、二極管、電容、電阻組成。需要開燈時，只要用手指摸一下觸摸電極，電燈自動開啟點亮，燈時，只要用手指摸一下觸摸電極，電燈自動開啟點亮，然后小燈泡逐漸變暗，延時然后小燈泡逐漸變暗，延時1min左右后會自動熄滅。該操左右后會自動熄滅。該操作簡單，實用節能。作簡單，實用節能。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電項

4、目必備知識項目必備知識6.1.1 動態元件1電容元件 電容是一種能儲存電荷的元件，電容元件是電容的理想化模型，電容是一種能儲存電荷的元件，電容元件是電容的理想化模型，電容所帶電量電容所帶電量Q與電容兩極板間的電壓與電容兩極板間的電壓U的比值，稱為電容的電容量，的比值，稱為電容的電容量，用用C表示。表示。C= ，電容量表征導體在單位電壓作用下儲存電荷的能力，電容量表征導體在單位電壓作用下儲存電荷的能力，是由電容本身的性質是由電容本身的性質(如導體大小、形狀、相對位置及電介質如導體大小、形狀、相對位置及電介質)決定的，決定的，與電容是不是帶電無關。與電容是不是帶電無關。 (a) 電容元件電路符號電

5、容元件電路符號 (b) 線性非時變電容特性曲線線性非時變電容特性曲線 QU電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電2電容元件的電壓和電流的關系 當電容上電壓與電荷為關聯參考方向時，電荷當電容上電壓與電荷為關聯參考方向時，電荷q與與u關系為關系為q(t)=Cu(t)，C是電容的電容量，亦即特性曲線的斜率。當是電容的電容量，亦即特性曲線的斜率。當u、i為為關聯方向時，據電流強度定義有關聯方向時，據電流強度定義有 (6-1) 當當u，i為非關聯時，有為非關聯時，有 (6-2) 電容元件的電壓、電流關系說明：任一時刻電容元件電流的電容元件的電壓、電流關系說明：任一時刻電容元件電流的大小取決

6、于電壓對時間的變化率，而與該時刻電壓的數值大小無大小取決于電壓對時間的變化率，而與該時刻電壓的數值大小無關。只有電壓變化時，電容元件兩端才有電流，因此，電容元件關。只有電壓變化時，電容元件兩端才有電流，因此，電容元件也稱動態元件。在直流激勵的電路中，達到穩定狀態后，電容元也稱動態元件。在直流激勵的電路中，達到穩定狀態后，電容元件電壓保持不變，其電流為零，相當于開路。件電壓保持不變，其電流為零，相當于開路。ddddquiCttddddquiCtt 電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 電容的伏安關系還可寫成：電容的伏安關系還可寫成： (6-3) 式中，式中，u(0)是在是在t=0

7、 時刻電容已積累的電壓，稱為時刻電容已積累的電壓，稱為初始電壓；而后一項是在初始電壓；而后一項是在t=0以后電容上形成的電壓，以后電容上形成的電壓，它體現了在它體現了在0t的時間內電流對電壓的貢獻。的時間內電流對電壓的貢獻。 由此可知：在某一時刻由此可知：在某一時刻t，電容電壓，電容電壓u不僅與該時不僅與該時刻的電流刻的電流i有關，而且與有關，而且與t以前電流的全部歷史狀況有關。以前電流的全部歷史狀況有關。因此，電容是一種記憶元件，有因此，電容是一種記憶元件，有“記憶記憶”電流的作用。電流的作用。000111( )()d( )d(0)( )dttu tiiuiCCC電路分析綜合項目綜合項目6

8、電容的充放電電容的充放電3電容元件電容元件的電場能量 當電容電壓和電流為關聯方向時，電容吸收的瞬當電容電壓和電流為關聯方向時，電容吸收的瞬時功率為時功率為 (6-4) 瞬時功率可正可負，當瞬時功率可正可負，當p(t)0時，說明電容是在吸時，說明電容是在吸收能量，處于充電狀態；當收能量，處于充電狀態；當 p(t) 0時，時，表示電感從電路吸收功率，儲存磁場能量；當表示電感從電路吸收功率，儲存磁場能量；當p(t) 0時，表示電感供出能量，釋放磁場能量。時，表示電感供出能量，釋放磁場能量。d ( )( )( ) ( )( )di tp tu t i tLi tt電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放

9、電電容的充放電 對式對式(6-12)從從到到t進行積分，即得進行積分，即得t時刻電感上的儲時刻電感上的儲能為能為所以有所以有 (6-13) 由式由式(6-13)可知：電感在某一時刻可知：電感在某一時刻 t 的儲能僅取決的儲能僅取決于此時刻的電流值，而與電壓無關，只要有電流存在，于此時刻的電流值，而與電壓無關，只要有電流存在，就有儲能，且儲能大于等于零。就有儲能，且儲能大于等于零。 ( )22()1( )( )d( )d ( )( )()2()0ti tLiLw tpLiiL i tiw 21( )( )2Lw tLi t電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電6.1.2 電容的串并

10、聯1. 電容的串聯 如圖如圖6-3所示三個電容串聯后外加電壓為所示三個電容串聯后外加電壓為Us，則根，則根據據KCL有有 圖6-3 電容的串聯s123UUUUQCU312s123123QQQUUUUCCC由于由于，所以所以。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 而串聯時，與電源相連的兩個極板充有等量異號的而串聯時，與電源相連的兩個極板充有等量異號的電荷量電荷量Q，中間各極板因靜電感應也充有等量異號的，中間各極板因靜電感應也充有等量異號的電荷量電荷量Q，每個電容上的電量都和總的電荷量相同，每個電容上的電量都和總的電荷量相同，即即所以有所以有從而得到電容量為從而得到電容量為 (6-

11、14) 123QQQQ123QQQQCCCC1231111CCCC電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電2電容的并聯 如圖如圖6-4所示，電容并聯時，相當于電極的面積加所示，電容并聯時，相當于電極的面積加大，電容量也就加大了。并聯時的總容量為各電容量大，電容量也就加大了。并聯時的總容量為各電容量之和。并聯時等效電容的電量為之和。并聯時等效電容的電量為 圖6-4 電容的并聯123QQQQ電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 而電壓而電壓 因為因為C= ，所以有，所以有 (6-15) 當單獨一個電容的電容量不能滿足電路要求，而當單獨一個電容的電容量不能滿足電路要求，而

12、耐壓滿足要求時，需要并聯。但應注意：每個電容均耐壓滿足要求時，需要并聯。但應注意：每個電容均承受著外加電壓，每個電容的耐壓均應大于外電壓。承受著外加電壓，每個電容的耐壓均應大于外電壓。否則一個電容被擊穿，整個并聯電路就被短路，會對否則一個電容被擊穿，整個并聯電路就被短路，會對電路造成危害。電路造成危害。s123UUUUQU123CCCC電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電6.1.3 電路的換路定律1過渡過程 含有像電容和電感這樣動態元件的電路稱為動態含有像電容和電感這樣動態元件的電路稱為動態電路。由于動態元件是儲能元件，其電路。由于動態元件是儲能元件，其 VCR是對時間變是對時

13、間變量量t的微分和積分關系，因此在動態電路中，當電路狀的微分和積分關系，因此在動態電路中，當電路狀態發生改變時態發生改變時(換路換路)需要經歷一個變化過程才能達到新需要經歷一個變化過程才能達到新的穩定狀態，這個變化過程稱為電路的過渡過程。電的穩定狀態，這個變化過程稱為電路的過渡過程。電路中之所以出現過渡過程，是因為電路中有電感、電路中之所以出現過渡過程，是因為電路中有電感、電容這類儲能元件的存在。容這類儲能元件的存在。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 圖圖6-5(a)中，當接通電源的瞬間，電容中，當接通電源的瞬間，電容C兩端的電壓兩端的電壓并不能即刻達到穩定值并不能即刻達到

14、穩定值U，而是有一個從合閘前的，而是有一個從合閘前的 逐漸增大到逐漸增大到 (見圖見圖6-5(b)的過渡過程。否則，的過渡過程。否則，合閘后的電壓將有躍變，電容電流合閘后的電壓將有躍變，電容電流 將為無窮大，將為無窮大，這是不可能的。這是不可能的。0Cu CuUddCCuiCt圖6-5 RC串聯電路電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 同樣，對于電感電路同樣，對于電感電路(見圖見圖6-6(a)，當電源接通后，當電源接通后，電路的電流也不可能立即躍變到電路的電流也不可能立即躍變到 ，而是從，而是從 逐漸逐漸增大到增大到 (見圖見圖6-6(b)這樣一個過渡過程。否則，這樣一個過渡過

15、程。否則，電感內產生的感生電動勢電感內產生的感生電動勢 將為無窮大，也是將為無窮大，也是不可能的。不可能的。UR0Li LUiRddLieLt 圖6-6 RL串聯電路電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 過渡過程產生的實質是由于電感、電容元件是儲能過渡過程產生的實質是由于電感、電容元件是儲能元件，能量的變化是逐漸的，不能發生突變，需要一元件，能量的變化是逐漸的，不能發生突變，需要一個過程。而電容元件儲有的電場能個過程。而電容元件儲有的電場能 ，電感元，電感元件儲有的磁場能件儲有的磁場能 ，所以電容兩端電壓，所以電容兩端電壓 和通和通過電感的電流只能是連續變化的。因為能量的存儲和

16、過電感的電流只能是連續變化的。因為能量的存儲和釋放需要一個過程，所以有電容或電感的電路存在過釋放需要一個過程，所以有電容或電感的電路存在過渡過程。渡過程。212CwCu212LwLiCuLi電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電2換路定律 電路工作狀態的改變如電路的接通、斷開、短路、電路工作狀態的改變如電路的接通、斷開、短路、改路及電路元件參數值發生變化等，稱為換路。由以改路及電路元件參數值發生變化等，稱為換路。由以上分析可知，換路瞬間，電容兩端的電壓上分析可知，換路瞬間，電容兩端的電壓uC不能躍變，不能躍變，流過電感的電流流過電感的電流iL不能躍變，這即為換路定律。用不能躍變，

17、這即為換路定律。用 -表示換路前的終了瞬間，表示換路前的終了瞬間， +表示換路后的初始瞬間，表示換路后的初始瞬間，則換路定律表示為則換路定律表示為 (6-16)0t 0t (0 )(0 )(0 )(0 )CCLLuuii電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 換路定律只說明電容上電壓和電感中的電流不能換路定律只說明電容上電壓和電感中的電流不能發生躍變，而流過電容的電流、電感上的電壓以及電發生躍變，而流過電容的電流、電感上的電壓以及電阻元件的電流和電壓均可以發生躍變。阻元件的電流和電壓均可以發生躍變。 換路定律的解釋是自然界物體所具有的能量不能換路定律的解釋是自然界物體所具有的能量

18、不能突變，能量的積累或釋放需要一定的時間。所以電容突變，能量的積累或釋放需要一定的時間。所以電容C存儲的電場能量存儲的電場能量 不能突變，使得不能突變，使得 不能突不能突變；同樣，電感變；同樣，電感L儲存的磁場能量儲存的磁場能量 不能突變，不能突變，使得使得 不能突變。不能突變。212CWCuCu212LLWLiLi電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 從電路關系分析從電路關系分析(以圖以圖6-5為例為例)： 若若 發生突變，發生突變， ，這是不可能的。，這是不可能的。 根據換路定律可以確定換路后過渡過程的初始值，根據換路定律可以確定換路后過渡過程的初始值，其步驟如下。其步驟如

19、下。(1) 分析換路前分析換路前( )電路，求出電容電壓、電感電流，電路，求出電容電壓、電感電流，即即 、 。(2) 由換路定律確定由換路定律確定 及及 。(3) 進而計算出換路后進而計算出換路后( )電路的各參數，即過渡過電路的各參數，即過渡過程的初始值。程的初始值。ddCCCuEiRuRCutCuddCuit 0t(0 )Cu(0 )Li(0 )Cu(0 )Li0t電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電任務實施任務實施1.任務目的任務目的(1) 學習如何通過實驗方法研究有關學習如何通過實驗方法研究有關RC串聯電路的暫態過串聯電路的暫態過程。程。(2) 通過研究通過研究RC串聯

20、電路暫態過程，加深對電容特性的認串聯電路暫態過程，加深對電容特性的認識和對識和對RC串聯電路特性的理解。串聯電路特性的理解。(3) 掌握觸摸延時開關電路的工作原理和設計方法。掌握觸摸延時開關電路的工作原理和設計方法。2.完成任務需要準備的器材與設備完成任務需要準備的器材與設備本任務需要的器材與設備如表本任務需要的器材與設備如表6-1所示。所示。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電表6-1 器材與設備表序序 號號名名 稱稱型號與規格型號與規格數數 量量1可調節大電可調節大電容或電阻容或電阻12電源電源160250V13萬用表萬用表14二極管二極管15燈泡燈泡1電路分析綜合項目綜合

21、項目6 電容的充放電電容的充放電3任務內容及步驟1) 延時電路的設計延時電路的設計如圖如圖6-7所示，所示，S閉合后，閉合后，VS和和VD2輪流導通，輪流導通，HL正常點正常點亮。亮。S斷開后，斷開后，C上的存儲電壓經上的存儲電壓經R放電來維持放電來維持VS的導的導通，同時因通，同時因VD2被斷開，故處于半波供電狀態的被斷開，故處于半波供電狀態的HL發發光較暗。當光較暗。當C放電完畢后，放電完畢后，VS在交流電過零時關斷燈在交流電過零時關斷燈泡。泡。 圖6-7 簡單的按鍵式延時漸暗燈電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電2) 延時電路工作原理延時電路工作原理(1) RC電路的放電

22、過程。當電容已有電壓電路的放電過程。當電容已有電壓U0時，且二極時，且二極管無正偏截止時，電容立即對電阻進行放電，放電開管無正偏截止時，電容立即對電阻進行放電，放電開始時的電流為始時的電流為 ，放電電流的實際方向與充電時相反，放電電流的實際方向與充電時相反，放電時的電流放電時的電流 與電容電壓與電容電壓 隨時間均按指數規律衰隨時間均按指數規律衰減為零，電流與電壓的數學表達式為減為零，電流與電壓的數學表達式為 0URiCu01etRCCuU0etRCUiR電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 式中，式中， 為電容的初始電壓。放電時為電容的初始電壓。放電時 和和 的變化的變化曲線如

23、圖曲線如圖6-8所示。所示。 圖6-8 RC放電時電壓和電流的變化曲線0UiCu 電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電(2) RC電路的時間常數。電路的時間常數。RC電路的時間常數用表示，電路的時間常數用表示，t=RC，的大小決定了電路充放電時間的快慢。對于充，的大小決定了電路充放電時間的快慢。對于充電而言，時間常數時電容電壓電而言，時間常數時電容電壓 從零增長到從零增長到63.2%Us所需的時間；對于放電而言，所需的時間；對于放電而言， 是電容電壓是電容電壓 從從 下下降到降到36.8% 所需的時間。所需的時間。 R的阻值為的阻值為250kW，C為為100MF，則有，則有 。

24、 所以所以 =250kW100mF=25s，即延遲時間為，即延遲時間為25s。CutCu0U0UtRCtRC電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電(3) 延遲時間的可優化性。在電路中，電路的延遲時間是延遲時間的可優化性。在電路中，電路的延遲時間是由電阻和電容協調控制的，因此，可以通過改變電容由電阻和電容協調控制的，因此，可以通過改變電容和電阻的值來延長或縮短延遲時間。譬如說在一個小和電阻的值來延長或縮短延遲時間。譬如說在一個小區中，可以通過先調查小區內居民的平均年齡，合理區中，可以通過先調查小區內居民的平均年齡，合理地裝置延遲時間不同的照明燈。地裝置延遲時間不同的照明燈。4注意事

25、項(1) 電源電壓可在電源電壓可在160250V范圍，電流范圍，電流0.5A，最大負載，最大負載60W。(2) 嚴禁負載短路。嚴禁負載短路。(3) 調節電容或電阻，可改變延時時間。調節時間調節電容或電阻，可改變延時時間。調節時間30s5min。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電6.2 任務2 一階動態電路的充電電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電項目導入與項目分析項目導入與項目分析 電容是一種重要的電學元件，有著廣泛的應用。電容的基本作電容是一種重要的電學元件，有著廣泛的應用。電容的基本作用就是充電與放電，由這種基本充放電作用所延伸出來的許多電用就是充電與放電

26、，由這種基本充放電作用所延伸出來的許多電路現象，使得電容器有著種種不同的用途。而在電子電路中，電路現象，使得電容器有著種種不同的用途。而在電子電路中，電容器不同性質的用途尤多，雖有截然不同之處，但其作用均系來容器不同性質的用途尤多，雖有截然不同之處，但其作用均系來自充電與放電。電容的充電過程，與水容器自充電與放電。電容的充電過程，與水容器(如水桶如水桶)的蓄水過程的蓄水過程非常相似，將它們進行比較，便于形象地理解電容的充電過程。非常相似，將它們進行比較，便于形象地理解電容的充電過程。 將電容兩極板分別接到電源的正負極上，使電容兩極板分別帶將電容兩極板分別接到電源的正負極上，使電容兩極板分別帶上

27、等量異號電荷，這個過程稱為電容的充電過程。隨著電容兩極上等量異號電荷，這個過程稱為電容的充電過程。隨著電容兩極板上所帶的電荷量的增加，電容兩端電壓逐漸增大，充電電流逐板上所帶的電荷量的增加，電容兩端電壓逐漸增大，充電電流逐漸減小，當充電結束時漸減小，當充電結束時，電流為零，電容兩端電壓電流為零，電容兩端電壓UC =E。本任。本任務是觀察電容充放電過程，掌握電容充放電的特性，理解這一過務是觀察電容充放電過程，掌握電容充放電的特性，理解這一過程中電路中的電流和電壓的變化規律。程中電路中的電流和電壓的變化規律。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電項目必備知識 一階電路就是只含有一個具

28、有獨立的初始狀態一階電路就是只含有一個具有獨立的初始狀態的動態元件的電路，用一階微分方程描述其變量。的動態元件的電路，用一階微分方程描述其變量。6.2.1 動態電路的方程 分析動態電路，首先要建立描述電路的方程。分析動態電路，首先要建立描述電路的方程。電路中有儲能元件電路中有儲能元件(電容或電感電容或電感)時，因這些元件的時，因這些元件的電壓和電流的約束關系是通過導數電壓和電流的約束關系是通過導數(或積分或積分)表達的。表達的。根據根據KCL、KVL和支路方程式和支路方程式(VAR)所建立的電路所建立的電路方程是以電流、電壓為變量的微分方程或微分方程是以電流、電壓為變量的微分方程或微分-積分積

29、分方程，求解此常微分方程，即可得到所求電路變量方程，求解此常微分方程，即可得到所求電路變量在過渡過程中的變化規律。在過渡過程中的變化規律。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 現以圖現以圖6-9所示電路為例說明求解過程。圖中開所示電路為例說明求解過程。圖中開關關S在在 時刻閉合，換路前電路處于穩態，即電時刻閉合，換路前電路處于穩態，即電容電壓為常數。容電壓為常數。 圖圖6-9 一階動態電路一階動態電路 按圖示電壓電流參考方向，根據按圖示電壓電流參考方向，根據KVL列出回路列出回路的電壓方程為的電壓方程為0 tsRCuuu電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 由元

30、件的由元件的VCR，有，有 代入電壓方程，得代入電壓方程，得 (6-17) 對線性時不變電路，式對線性時不變電路，式(6-17)是一個以電容電是一個以電容電壓壓 為未知量的一階線性非齊次常微分方程。人們為未知量的一階線性非齊次常微分方程。人們把用一階微分方程描述的電路稱為一階電路。式把用一階微分方程描述的電路稱為一階電路。式(6-17)的通解的通解 等于該方程的任一特解等于該方程的任一特解 和與該方程和與該方程相對應的齊次微分方程的通解相對應的齊次微分方程的通解 之和，即之和，即RuRiddCuiCtsddCCuRCuutCuCuCpuChuCCpChuuu電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充

31、放電電容的充放電 式中，特解式中，特解 的函數形式取決于電源的函數形式取決于電源 ，通解，通解 的的函數形式取決于電路參數。式函數形式取決于電路參數。式(6-17)所對應的齊次所對應的齊次微分方程的特征方程為微分方程的特征方程為 由此求得方程的特征根由此求得方程的特征根 ，因此該齊，因此該齊次微分方程的通解為次微分方程的通解為 即電路換路后的電容電壓為即電路換路后的電容電壓為 (6-18) 根據電路的激勵及初始條件即可求得式根據電路的激勵及初始條件即可求得式(6-18)中的待定系數中的待定系數A，從而確定一階電路的過渡過程的，從而確定一階電路的過渡過程的性態。性態。CpusuChu10RC p

32、 RCp1eptChuAeptCCpuuA電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電6.2.2 一階電路的零狀態響應一階電路的零狀態響應 若在一階電路中若在一階電路中, 換路前動態元件的換路前動態元件的 均為零的情況，稱為零狀態。均為零的情況，稱為零狀態。 后由電路中外加后由電路中外加輸入激勵作用所產生的響應稱為零狀態響應。用經輸入激勵作用所產生的響應稱為零狀態響應。用經典法求零狀態響應的步驟與求零輸入響應的步驟相典法求零狀態響應的步驟與求零輸入響應的步驟相似，所不同的是零狀態響應的方程是非齊次的。似，所不同的是零狀態響應的方程是非齊次的。)0()0(LCiu、0t 電路分析綜合項目

33、綜合項目6 電容的充放電電容的充放電1RC電路的零狀態響應電路的零狀態響應 如圖如圖6-10所示一階所示一階RC電路，電容先未充電，電路，電容先未充電，t=0時開關閉合，電路與激勵時開關閉合，電路與激勵Us 接通，試確定接通，試確定S閉合閉合后電路中的響應。在后電路中的響應。在S閉合瞬間，電容電壓不會躍閉合瞬間，電容電壓不會躍變，由換路定律變，由換路定律 ，t=0+ 時電容相時電容相當于短路，即當于短路，即 ，故有，故有 (6-19) 電容開始充電后，隨著時間的推移，電容開始充電后，隨著時間的推移， 將逐漸將逐漸升高，升高，uR則逐漸降低，則逐漸降低， (等于等于 ) 逐漸減小。當逐漸減小。當

34、 時，電路達到穩態，這時電容相當于開路，充電電時，電路達到穩態，這時電容相當于開路，充電電流流 ， ， 。(0 )(0 )0CCuus(0 )RuUs(0 )(0 )RRUuiRRCuRiCit ()0Ci()0Rus()CuU電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電圖6-10 RC電路的零狀態響應由由KVL有有 而而 代入上式可得到以代入上式可得到以 為變量的微為變量的微分方程，即分方程，即 (6-20)sRCuuUddCRRCuuRiRiRCtCusd (0)dCCuRCuUtt電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 初始條件為初始條件為 式式(6-20)為一階常

35、系數非齊次微分方程，其解由為一階常系數非齊次微分方程，其解由兩部分組成：一部分是該齊次微分方程的通解兩部分組成：一部分是該齊次微分方程的通解 ，也稱為齊次解；另一部分是該非齊次微分方程的特也稱為齊次解；另一部分是該非齊次微分方程的特解解 ，即，即 由于式由于式(6-20)相應的齊次微分方程與相應的齊次微分方程與RC零輸入零輸入響應式完全相同，因此其通解應為響應式完全相同，因此其通解應為(0 )0CuCCpChuuueettRCChuAAChuCpu電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 式中，式中，A為積分常數。特解為積分常數。特解 取決于激勵函數，當取決于激勵函數，當激勵為常量

36、時特解也為一常量，可設激勵為常量時特解也為一常量，可設 ，代入，代入式式(6-20)得得 式式(6-21)的解的解(完全解完全解)為為 (6-21) 將初始條件將初始條件 代入式代入式(6-21)，得出積分，得出積分常數常數 。故有。故有CpuCpuksCpukUsetRCCChCpuuuAU(0 )0CusAUssse1ettRCRCCuUUU 電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 由于穩態值由于穩態值 ，故上式可寫成：，故上式可寫成： (6-22) 由式由式(6-22)可知，當時可知，當時 ， ，當，當時時 ， ，即在零狀態響應，即在零狀態響應中，電容電壓上升到穩態值中，電

37、容電壓上升到穩態值 的的63.2%所需的時間是所需的時間是 。而當。而當 時，時， 上升上升到其穩態值到其穩態值Us的的98.17%99.3%，一般認為充電，一般認為充電過程即告結束。電路中其他響應分別為過程即告結束。電路中其他響應分別為 (6-23) (6-24) (6-25)s()CuU()(1e) 0tRCCCuut0t (0)0Cut1ss( )(1e )63.2%CuUUs()CuU4t 5Cusde 0dtCCuUiC ttRse 0tRCUiitRse 0tRRuRiUt電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電2RL電路的零狀態響應電路的零狀態響應 對于圖對于圖6-1

38、2所示的一階所示的一階RL電路，電路， 為直流電壓為直流電壓源，源， 時，電感時，電感L中的電流為零。中的電流為零。 時開關時開關S閉閉合，電路與激勵合，電路與激勵 接通，在接通，在S閉合瞬間，電感電流閉合瞬間，電感電流不會躍變，即有不會躍變，即有 ，該電路實質上，該電路實質上就是電感從電源吸收能量轉換為磁場能儲存起來的就是電感從電源吸收能量轉換為磁場能儲存起來的響應過程。選擇響應過程。選擇 為首先求解的變量，由為首先求解的變量，由KVL有有 將將 ， ，代入上式，代入上式 ，可得，可得 (6-26)sU0t 0t sU(0 )(0 )0LLiiLisRLuuULddLiuLtRLuRisd

39、0dLLiLRiUtt電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 初始條件為初始條件為 圖圖6-12 一階一階RL電路的零狀態響應電路的零狀態響應 式式(6-26)也是一階常系數非齊次微分方程，其也是一階常系數非齊次微分方程，其解同樣由齊次方程的通解解同樣由齊次方程的通解 和非齊次方程的特解和非齊次方程的特解 兩部分組成，即兩部分組成，即(0 )0LiLhiLpiLLhLpiii電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 其齊次方程的通解也應為其齊次方程的通解也應為 式中，時間常數式中，時間常數 ，與電路激勵無關。非齊次方，與電路激勵無關。非齊次方程的特解與激勵的形式有關，

40、由于激勵為直流電壓程的特解與激勵的形式有關，由于激勵為直流電壓源，故特解源，故特解 為常量，令為常量，令 得得 因此完全解為因此完全解為 代入代入t = 0時的初始條件時的初始條件 得得ee 0tRtLLhiAAt1RLpiLpiksLpUikRsetLUiAR(0 )0LisUAR 電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電于是于是由于由于 的穩態值的穩態值 ，故上式可寫成：，故上式可寫成： (6-28)電路中的其他響應分別為電路中的其他響應分別為 (6-29) (6-30) (6-31)ssse1ettLUUUiRRR Lis()LUiR() 1e 0tLLiitsde 0dtL

41、LiuLUtts1e 0tRLUiitRs1e 0tRRuRiUt電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電任務實施任務實施1任務目的任務目的(1) 理解電容的充電過程。理解電容的充電過程。(2) 研究一階研究一階RC電路的零輸入響應的變化規律和特點。電路的零輸入響應的變化規律和特點。(3) 了解電路參數對時間常數的影響。了解電路參數對時間常數的影響。2任務器材與設備任務器材與設備本任務需要的器材與設備如表本任務需要的器材與設備如表6-2所示。所示。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電表表6-2 器材與設備表器材與設備表序序 號號名名 稱稱型號與規格型號與規格數數 量

42、量1電流表電流表12電壓表電壓表13低壓直流電低壓直流電源源14電容電容15充放電電路充放電電路板板16開關開關17導線導線若干若干電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電3任務內容及步驟1) 電容的充電過程電容的充電過程 如圖如圖6-14(a)所示，開關置所示，開關置1，白熾燈開始較亮，白熾燈開始較亮，然后逐漸變暗，直至燈泡不亮了。電流表指針由大然后逐漸變暗，直至燈泡不亮了。電流表指針由大變小直至變小直至0。電壓表指針由。電壓表指針由0逐漸增大到逐漸增大到Us 圖6-14 電容的充放電 用萬用表電阻擋檢測電容，可以看到指針向右用萬用表電阻擋檢測電容，可以看到指針向右偏轉，然后慢慢

43、向左偏轉，指針偏幅度較大，偏轉，然后慢慢向左偏轉，指針偏幅度較大，C的的充電過程反映充電過程反映C的電容量大小。的電容量大小。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電2) 實驗原理與說明實驗原理與說明 含有動態元件的電路，其電路方程為微分方程。含有動態元件的電路，其電路方程為微分方程。用一階微分方程描述電路，為一階電路。圖用一階微分方程描述電路，為一階電路。圖6-15所所示為一階示為一階RC電路。首先將開關電路。首先將開關S置于置于1使電路處于零使電路處于零狀態。在狀態。在t=0時刻由時刻由1扳向扳向2，電路對激勵，電路對激勵Us的響應為的響應為零狀態響應，有零狀態響應，有 這一暫

44、態過程為電容充電的過程，充電曲線如這一暫態過程為電容充電的過程，充電曲線如圖圖6-14(b)所示。電路的零狀態響應與激勵成正比。所示。電路的零狀態響應與激勵成正比。ss( )etRCCutUU電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 本任務所用的實驗器材有檢流計一塊、伏特表本任務所用的實驗器材有檢流計一塊、伏特表一塊、低壓直流電源一臺、充放電線路板、導線若一塊、低壓直流電源一臺、充放電線路板、導線若干。檢流計要串聯接入線路中，若右偏，說明電流干。檢流計要串聯接入線路中，若右偏，說明電流由由“+”極流入，從極流入，從“-”極流出；左偏反之。要把伏極流出；左偏反之。要把伏特表并聯接在電

45、容的兩邊，注意特表并聯接在電容的兩邊，注意“+”極接高電位，極接高電位，“-”極接低電位，測量前估計檢流計和伏特表的量極接低電位，測量前估計檢流計和伏特表的量程，實驗前電容不要帶電。程，實驗前電容不要帶電。 圖6-15 一階RC電路電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 當電容接通電源以后，在電場力的作用下，與電當電容接通電源以后，在電場力的作用下，與電源正極相接電容極板的自由電子將經過電源移到與源正極相接電容極板的自由電子將經過電源移到與電源負極相接的極板下，正極由于失去負電荷而帶電源負極相接的極板下，正極由于失去負電荷而帶正電，負極由于獲得負電荷而帶負電，正、負極板正電，負極

46、由于獲得負電荷而帶負電，正、負極板所帶電荷大小相等，符號相反。電荷定向移動形成所帶電荷大小相等，符號相反。電荷定向移動形成電流，由于同性電荷的排斥作用，所以開始電流最電流，由于同性電荷的排斥作用，所以開始電流最大，以后逐漸減小，在電荷移動過程中，電容極板大，以后逐漸減小，在電荷移動過程中，電容極板儲存的電荷不斷增加，電容兩極板間電壓儲存的電荷不斷增加，電容兩極板間電壓UC等于電等于電源電壓源電壓U時電荷停止移動，電容相連接的電路電流時電荷停止移動，電容相連接的電路電流由最大減小到零。此過程中電流表指針偏轉由最大由最大減小到零。此過程中電流表指針偏轉由最大一直減小到零，電壓由零增加到電源電壓，且

47、電流一直減小到零，電壓由零增加到電源電壓，且電流與電壓方向一致，如圖與電壓方向一致，如圖6-16和圖和圖6-17所示。所示。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電圖6-16 電容的充電過程 圖6-17 電容充電完成 電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電3) 充放電的特點及規律充放電的特點及規律 根據上面所得到的電容的充電時根據上面所得到的電容的充電時UC、IC的數的數據和曲線，可以歸納出幾點很有實用價值的規律。據和曲線，可以歸納出幾點很有實用價值的規律。(1) 電容的充放電是需要時間的。這是由于電容的充放電容的充放電是需要時間的。這是由于電容的充放電過程，實質是電

48、容上電荷的積累和消散的過程，電過程，實質是電容上電荷的積累和消散的過程，由于電荷量的變化是需要時間的，所以充放電也是由于電荷量的變化是需要時間的，所以充放電也是需要時間的。需要時間的。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電(2) 在充電的開始階段，充電電流較大，在充電的開始階段，充電電流較大，UC上升較快，上升較快，隨著隨著UC的增加，充電電流逐漸減小，且的增加，充電電流逐漸減小，且UC的上升的上升速度變緩，而向著電源電壓速度變緩，而向著電源電壓E趨近。從理論上來說，趨近。從理論上來說，要使電容完全充滿，完成充電的全過程是需要無限要使電容完全充滿，完成充電的全過程是需要無限長的時

49、間的。實際上當長的時間的。實際上當t=45t時，已經可以認為電時，已經可以認為電容基本上充滿，充電過程已基本上結束。容基本上充滿，充電過程已基本上結束。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電(3) 在電容剛剛開始充電或剛剛開始放電的瞬間，電容在電容剛剛開始充電或剛剛開始放電的瞬間，電容的端電壓的端電壓UC及儲存的電荷及儲存的電荷Q都將保持著充放電開始都將保持著充放電開始之前的數值。例如，充電前電容的電壓之前的數值。例如，充電前電容的電壓UC0V，則開始充電的瞬間則開始充電的瞬間UC仍保持為仍保持為0V；而放電前如果；而放電前如果電容器的電容器的UCE，則放電開始瞬間，則放電開始瞬

50、間UC仍保持為仍保持為E。即電容的端電壓即電容的端電壓UC在充放電開始的瞬間是不能突變在充放電開始的瞬間是不能突變的，電容的這一特點非常重要，必須牢記。的，電容的這一特點非常重要，必須牢記。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電4注意事項(1) 注意充電電壓不應超過電容的額定值。注意充電電壓不應超過電容的額定值。(2) 電子儀器的調節，動作要平緩，用力要適度，以避電子儀器的調節，動作要平緩，用力要適度，以避免儀器損壞。免儀器損壞。(3) 在實驗連線中、檢查實驗連線時以及實驗結束后拆在實驗連線中、檢查實驗連線時以及實驗結束后拆線時，均應切斷電源，在斷電狀態下操作。線時，均應切斷電源

51、，在斷電狀態下操作。(4) 實驗完畢，拆線時用力不要過猛，以防拔斷導線，實驗完畢，拆線時用力不要過猛，以防拔斷導線，最好是輕輕地旋拔。做完實驗后，收拾好實驗設備最好是輕輕地旋拔。做完實驗后，收拾好實驗設備與器材。與器材。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電6.3 任務3 一階動態電路的放電電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電項目導入與項目分析項目導入與項目分析 電容的基本作用就是充電與放電，由這種基本充放電作用電容的基本作用就是充電與放電，由這種基本充放電作用所延伸出來的許多電路現象，使得電容有著種種不同的用途，所延伸出來的許多電路現象，使得電容有著種種不同的用

52、途，例如在照相閃光燈中，用它來產生高能量的瞬間放電。電容的例如在照相閃光燈中，用它來產生高能量的瞬間放電。電容的放電過程，與水容器放電過程，與水容器(如水桶如水桶)的放水過程也非常相似，將它們的放水過程也非常相似，將它們進行比較，便于形象地理解電容器的放電過程。進行比較，便于形象地理解電容器的放電過程。 用一根導線將電容兩極板相連，兩極板上正負電荷中和，用一根導線將電容兩極板相連，兩極板上正負電荷中和，電容失去電量，這個過程稱為電容的放電過程。手動放電時，電容失去電量，這個過程稱為電容的放電過程。手動放電時，最好是外接電阻，不可以短路放電，尤其是大電容。短接放電，最好是外接電阻，不可以短路放電

53、，尤其是大電容。短接放電，電流大，容易燒毀元件。本任務是通過演示電容的放電過程，電流大，容易燒毀元件。本任務是通過演示電容的放電過程，比較具體地了解電容的作用；利用電流傳感器觀察電容的充、比較具體地了解電容的作用；利用電流傳感器觀察電容的充、放電，以便形成放電，以便形成“電容電容”概念，并了解電容在日常生活中的應概念，并了解電容在日常生活中的應用；掌握電容放電的特性，理解這一過程中電路中的電流和電用；掌握電容放電的特性，理解這一過程中電路中的電流和電壓的變化規律。壓的變化規律。電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電項目必備知識項目必備知識 無外施激勵，由動態元件的初始值引起的響應

54、，無外施激勵，由動態元件的初始值引起的響應，稱為零輸入響應。此過渡過程即為能量的釋放過程。稱為零輸入響應。此過渡過程即為能量的釋放過程。1RC電路的零輸入響應電路的零輸入響應 在圖在圖6-18所示電路中，設開關閉合前電容已充所示電路中，設開關閉合前電容已充電到電到 ，現以開關動作時刻作為計時起點，現以開關動作時刻作為計時起點，令令 ，開關閉合后，即，開關閉合后，即 時，根據時，根據KVL可得可得 將將 及及 代入上式，有代入上式，有 0CuU0t 0t0CRuuRuRiddCuiCt d0dCCuRCut電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電此式為一階齊次微分方程，相應的特征方程

55、為此式為一階齊次微分方程，相應的特征方程為 特征根為特征根為故微分方程的通解為故微分方程的通解為 (6-32) 圖6-18 RC電路的零輸入響應 10RC p 1pRC eetptRCCuAA電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電換路瞬間電容電流為有限值，所以換路瞬間電容電流為有限值，所以 ，以此代，以此代入式入式(6-32)，可得積分常數，可得積分常數因此得到時電容電壓的表達式為因此得到時電容電壓的表達式為 (6-33)電阻上的電壓、電流分別為電阻上的電壓、電流分別為 (6-34) (6-35) 0(0 )(0 )CCuuU0(0 )CAuU0(0 )eettRCRCCCuuU

56、0etRCRCuuU0dedtCRCuUiCtR 電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 、 和和 隨時間的變化曲線如圖隨時間的變化曲線如圖6-19所示。所示。 圖6-19 、和隨時間變化的曲線CuRui電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 從上述分析可見，從上述分析可見，RC電路的零輸入響應電路的零輸入響應 、 、 都是按照同都是按照同樣的指數規律衰減的。最終衰減為零，說明樣的指數規律衰減的。最終衰減為零，說明RC電路的零輸入響電路的零輸入響應實質上就是已充電的電容對電阻放電電路的響應。剛開始放應實質上就是已充電的電容對電阻放電電路的響應。剛開始放電時電流最大，

57、為電時電流最大，為 ，電容電壓在衰減的過程中，其儲存的電，電容電壓在衰減的過程中，其儲存的電場能通過電阻轉換為熱能而消耗完畢。場能通過電阻轉換為熱能而消耗完畢。 當當R的單位為的單位為W，C的單位為的單位為F時，令時，令 ，其中，其中R為由電為由電容兩端看過去的戴維南等效電阻，由下式可知：容兩端看過去的戴維南等效電阻，由下式可知：CuRuii0URRC伏 特庫 侖庫 侖安 培秒歐 姆法 拉秒安 培伏 特安 培安 培電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 t的單位為秒，因此將的單位為秒，因此將t稱為稱為RC串聯電路的時間串聯電路的時間常數，時間常數只取決于電路的參數，與電路的初常數

58、，時間常數只取決于電路的參數，與電路的初始情況無關。引入始情況無關。引入t后，電容電壓后，電容電壓 可表示為可表示為 (6-36)表表6-3列出了電容電壓在列出了電容電壓在t=0，t=，t=2時刻的值。時刻的值。Cu(0 )etCCuu電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電te0( )tCutU0U00.368U00.135U00.05U00.018U00.007U01t2 t3 t4 t5 t0表6-3 時間為t的倍數時的的值 電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容的充放電 從理論上講從理論上講 時，時， 才能衰減到零值，電才能衰減到零值，電路才能達到穩態。但實際上一般認

59、為換路后經過時路才能達到穩態。但實際上一般認為換路后經過時間間 ，響應已衰減到初始值的，響應已衰減到初始值的5%0.67%，暫態過程結束，電路已達到新的穩態。暫態過程結束，電路已達到新的穩態。 從表從表6-3可見，時間常數可見，時間常數t就是響應從初始值衰就是響應從初始值衰減到初始值的減到初始值的36.8%所需的時間。事實上，在過渡所需的時間。事實上，在過渡過程中從任意時刻開始算起，經過一個時間常數過程中從任意時刻開始算起，經過一個時間常數t后后響應都會衰減響應都會衰減63.2%。例如在。例如在 時時 ，響應為，響應為t Cu3 5t0tt 000( )etCutU電路分析綜合項目綜合項目6

60、電容的充放電電容的充放電 經過一個時間常數經過一個時間常數t，即在，即在 +t時，響應變化時，響應變化為為 即經過一個時間常數即經過一個時間常數t后，響應衰減了后，響應衰減了63.2%，也即衰減到原值的也即衰減到原值的36.8%?？梢宰C明，響應曲線上。可以證明，響應曲線上任一點的次切距都等于時間常數任一點的次切距都等于時間常數t，如圖，如圖6-20(a)所示。所示。工程上可用示波器觀測工程上可用示波器觀測 等曲線，并利用作圖法測等曲線，并利用作圖法測出時間常數出時間常數t。0tt 0010000()eee .( )ttCCutUUut 0 368Cu電路分析綜合項目綜合項目6 電容的充放電電容