1、第第4章章 時間序列分解法和趨勢外推法時間序列分解法和趨勢外推法4.1 時間序列分解法4.2 趨勢外推法概述4.3 多項式趨勢外推法4.4 指數曲線趨勢外推法4.5 生長曲線趨勢外推法4.6 曲線擬合優度分析回總目錄 一、時間序列的分解一、時間序列的分解 （一）長期趨勢因素（一）長期趨勢因素（T） （二）季節變動因素（二）季節變動因素（S) (三三)周期變動因素周期變動因素(C) (四四)不規則變動因素不規則變動因素(I) 二、時間序列分解模型二、時間序列分解模型),(tttttICSTfY 加法模型加法模型tttttICSTY一般模型一般模型乘法模型乘法模型tttttICSTY三、時間序列的

2、分解方法三、時間序列的分解方法一般是先計算季節指數，然后計算長期趨勢和季節變動。一般是先計算季節指數，然后計算長期趨勢和季節變動。當分解出當分解出T、S和和C后，剩余部分即為后，剩余部分即為I。4.1 時間序列分解法時間序列分解法回本章目錄回總目錄商品銷售額商品銷售額 的的12年數據年數據季度季度（1 1）t t(2)(2)銷售額銷售額Y Y（3 3）四項平均四項平均 (4)(4)居中平均居中平均TCTC(5)(5)Y/TC=SI(%)Y/TC=SI(%)(6)(6)長期趨勢長期趨勢T T（7 7）周期變動周期變動C(%) C(%) (8)(8)1986 11986 1 2 2 3 3 4 4

3、1987 11987 1 2 2 3 3 4 4 1997 11997 1 2 2 3 3 4 41 12 23 34 45 56 67 78 845454646474748483017.63017.63043.543043.542094.352094.352809.842809.843274.83274.83163.283163.282114.312114.313024.573024.575258.715258.715189.585189.583596.763596.763881.63881.6- - -2741.3332741.3332805.6332805.6332835.5682835

4、.5682840.5582840.5582894.242894.242907.412907.414611.0934611.0934642.7484642.7484481.6634481.663- - - -2773.4832773.4832820.62820.62838.0632838.0632867.3992867.3992900.8252900.8252948.6852948.6854626.924626.924562.2054562.205- - - - -75.5133775.5133799.6185299.61852115.3886115.3886110.3188110.318872

5、.8865172.88651102.5735102.5735113.6547113.6547113.1776113.1776- - - - -2852.9642852.9642891.9182891.9182930.8732930.8732969.8272969.8273008.7823008.7823047.7363047.7364489.0474489.0474528.0024528.0024566.9564566.9564605.914605.91- - -97.2140797.2140797.5338797.5338796.8333696.8333696.5510396.5510396

6、.4119596.4119596.7500296.75002103.0713103.0713100.7554100.7554- - -回本章目錄回總目錄（一）季節指數（一）季節指數S的計算的計算 本例采用乘法模型本例采用乘法模型Y=TCSI，先用移動平均法剔除季節因素，先用移動平均法剔除季節因素S和不規則變動因素和不規則變動因素I而得到長期趨勢和周期變動的綜合影響而得到長期趨勢和周期變動的綜合影響TC，再，再將將Y除以除以TC就得到了只含季節因素和不規則變動的序列就得到了只含季節因素和不規則變動的序列SI。將。將SI重重新排列并按季平均，最后用修正系數新排列并按季平均，最后用修正系數400/1

7、00.1827=0.999543修正修正后即得該商品銷售額的季節指數。后即得該商品銷售額的季節指數。年份年份一季度一季度二季度二季度三季度三季度四季度四季度合計合計198619871988198919901991199219931994199519961997115.3886109.7938111.2789113.8879114.0353112.3512111.4712110.5022111.2412110.4947113.6547110.3188111.6255110.9471107.9398106.6651107.1178105.3281108.8565109.6328111.606711

8、3.751675.5133772.8865175.478471.7120176.0767975.2542575.5522575.7353677.9315776.6487276.5434899.61852102.5737405.8364103.511103.6399107.0172106.6722104.4531101.692103.182898.59037同季合計同季合計同季平均同季平均季節指數季節指數1234.1112.1909112.13971203.79109.4354109.3855829.332775.3938875.359471134.787103.1625103.1154400.

9、1827400回本章目錄回總目錄(二二) 長期趨勢長期趨勢T的計算的計算 作散點圖作散點圖,可看出本例的銷售額有明顯的直線上升趨勢可看出本例的銷售額有明顯的直線上升趨勢,故用直線擬合故用直線擬合,可可得如下回歸方程得如下回歸方程: T=2736.101+38.95436t由此可求出各季度的長期趨勢值由此可求出各季度的長期趨勢值,如如1997年第二季度年第二季度t=46,其長期趨勢為其長期趨勢為: T=2736.101+38.95436*46=4528.00156( (三三) )周期變動因素周期變動因素C C的計算的計算 將序列將序列TCTC除以除以T T即可得到周期變動因素即可得到周期變動因素

10、C.C.( (四四) )不規則變動因素不規則變動因素I I的計算的計算 當將序列的當將序列的T T、S S、C C分解出來后，剩余的即為不規則變動分解出來后，剩余的即為不規則變動 I=Y/(TSC)I=Y/(TSC)四、時間序列分解預測法的應用四、時間序列分解預測法的應用在求出時間序列個因素后，即可根據模型進行預測在求出時間序列個因素后，即可根據模型進行預測tttttICSTY預測時，一般無法預測不規則變動因素預測時，一般無法預測不規則變動因素I，因此模型可以表達為，因此模型可以表達為：tttCSTY回本章目錄回總目錄 如預測如預測1998年第一季度的銷售額年第一季度的銷售額,先求出長期趨勢先

11、求出長期趨勢 T=2736.101+38.95436*49=4644.865第一季度的季節指數為第一季度的季節指數為1.21397,周期變動周期變動C則需用判斷的方法來估計則需用判斷的方法來估計,據上表據上表數據表現出來的周期性可估計為數據表現出來的周期性可估計為C=0.98,從而預測從而預測1998年第一季度的銷售額年第一季度的銷售額561.510498. 021397. 1865.464449494949CSTY 同樣可得同樣可得1998年其他各季度的銷售額預測值如下表年其他各季度的銷售額預測值如下表,其中其中C值均是根值均是根據歷史數據采用主觀判斷法確定的據歷史數據采用主觀判斷法確定的.

12、季度季度TSC銷售額銷售額預測值預測值 11998 2 31998 44644.8654683.8194722.7734761.7281.213971.0938550.7535951.0311540.980.99115104.5615072.1843559.0574910.073回本章目錄回總目錄4.2 趨勢外推法概述趨勢外推法概述 一、趨勢外推法的概念和假定條件一、趨勢外推法的概念和假定條件 1.趨勢外推法的概念趨勢外推法的概念 當預測對象依時間變化呈現某種上升或下降的趨勢，并且無明顯的季當預測對象依時間變化呈現某種上升或下降的趨勢，并且無明顯的季節節波動，又能找到合適的函數曲線反映這種變化

13、趨勢時，就可用時間波動，又能找到合適的函數曲線反映這種變化趨勢時，就可用時間t為自變為自變量，時序數值量，時序數值y為因變量，建立趨勢模型為因變量，建立趨勢模型 y=f(t)當有理由相信這種趨勢能夠延伸到未來時，賦予變量當有理由相信這種趨勢能夠延伸到未來時，賦予變量t所需要的值，可以得所需要的值，可以得到相應時刻的時間序列未來值。到相應時刻的時間序列未來值。 2.趨勢外推法的假設條件趨勢外推法的假設條件 （1）假設事物發展過程沒有跳躍式變化，一般屬于漸進變化。）假設事物發展過程沒有跳躍式變化，一般屬于漸進變化。 （2）假設事物的發展因素也決定事物未來的發展，其條件是不變或變）假設事物的發展因素

14、也決定事物未來的發展，其條件是不變或變化不大。也就是說，假定根據過去資料建立的趨勢外推模型能適合未來，能化不大。也就是說，假定根據過去資料建立的趨勢外推模型能適合未來，能代表未來趨勢變化的情況，即未來和過去的規律一樣。代表未來趨勢變化的情況，即未來和過去的規律一樣。回本章目錄回總目錄二、趨勢模型的種類二、趨勢模型的種類（一）多項式曲線預測模型（一）多項式曲線預測模型 1.一次（線性）預測模型：一次（線性）預測模型：tbbyt102.二次（拋物線）預測模型：二次（拋物線）預測模型：2210tbtbbyt3.三次預測模型：三次預測模型：332210tbtbtbbyt4.n次預測模型：次預測模型：n

15、nttbtbtbby2210式中：式中：t代表時間自變量。代表時間自變量。 （二）指數曲線預測模型（二）指數曲線預測模型 常見的指數曲線預測模型有：常見的指數曲線預測模型有： 1.指數曲線預測模型：指數曲線預測模型：bttaey 2.修正指數曲線預測模型：修正指數曲線預測模型：ttbcay（三）對數曲線預測模型（三）對數曲線預測模型 常見的對數曲線預測模型有：常見的對數曲線預測模型有：tbaytln（四）生長曲線預測模型（四）生長曲線預測模型1.皮爾曲線預測模型：皮爾曲線預測模型：bttaeLy12.龔珀茲曲線預測模型：龔珀茲曲線預測模型：tbtkay （L L是是y y的極限值）的極限值）回

16、本章目錄回總目錄四、趨勢模型的選擇四、趨勢模型的選擇 （一）圖形識別法（一）圖形識別法 以時間以時間t為橫軸、時序觀察值為橫軸、時序觀察值y為縱軸繪制為縱軸繪制散點圖散點圖，以便選擇較為合適的，以便選擇較為合適的模型。有時由于幾種模型接近而無法通過圖形直觀確認某種模型，這就必須模型。有時由于幾種模型接近而無法通過圖形直觀確認某種模型，這就必須同時對幾種模型進行試算，最后將標準誤差最小的模型作為預測模型。同時對幾種模型進行試算，最后將標準誤差最小的模型作為預測模型。 （二）差分法（二）差分法一階差分：一階差分：1tttyyy或或1tttyyy二階差分：二階差分：1 tttyyy或或12tttyy

17、yk階差分：階差分：111ktktkyyyy或或111tktktkyyy時序（時序（t）yt=a+bt一階差分一階差分（yt-yt-1)123t-1ta+ba+2ba+3ba+(t-1)ba+tb-bbbb回本章目錄回總目錄二次（拋物線）模型差分計算表二次（拋物線）模型差分計算表-2b22b22b22b2-b1+3b2b1+5b2b1+7b2b1+(2t-3)b2b1+(2t-1)b2b0+b1+b2b0+2b1+4b2b0+3b1+9b2b0+4b1+16b21234t-1t二階差分二階差分一階差分一階差分時序（時序（t）2210tbtbbyt1tttyyy1 tttyyy221011btb

18、tb2210tbtbb回本章目錄回總目錄指數曲線模型差分計算表指數曲線模型差分計算表-1234t-1t一階差比率一階差比率時序（時序（t）bttaey 1/ttyybaebae2bae3bae4btae1tbaebebebebebe回本章目錄回總目錄修正指數曲線模型差分計算表修正指數曲線模型差分計算表-cccc-1234t-1t一階差的一階差的一階比率一階比率一階差分一階差分時序（時序（t）ttbcay1tttyyy1ttyybca2bca3bca4bca1tbcatbca1cbc12cbc13cbc12cbct11cbct回本章目錄回總目錄4.3 多項式曲線趨勢外推法多項式曲線趨勢外推法一般

19、形式：一般形式：kkttbtbtbby2210當當k=1時，時， 為直線模型；為直線模型；當當k=2時，時， 為拋物線模型；為拋物線模型；當當k=n時，時， 為為n次多項式模型。次多項式模型。（一）二次多項式曲線模型及其應用（一）二次多項式曲線模型及其應用二次多項式預測模型為：二次多項式預測模型為：2210tbtbbyt設有一組統計數據設有一組統計數據y1、y2、yn,令令ntntttttbtbbyyybbbQ11222102210,=最小值最小值0bQ22102tbtbby=01bQttbtbby22102=02bQ222102ttbtbby=0回本章目錄回總目錄經整理得：經整理得：yttb

20、tbtbtytbtbtbytbtbnb2423120322102210解此三元一次方程組可求得解此三元一次方程組可求得b0、b1、b2三個參數。三個參數。例如，某商店某種產品的銷售量如下表。例如，某商店某種產品的銷售量如下表。年份年份198919891990199019911991199219921993199319941994199519951996199619971997銷售量銷售量（萬件）（萬件）10.010.018.018.025.025.030.530.535.035.038.038.040.040.039.539.538.038.0試預測試預測1998年的銷售量，并要求在年的銷售量

21、，并要求在90%的概率保證程度下給出預測的置信區間。的概率保證程度下給出預測的置信區間。第一步，確定預測模型。第一步，確定預測模型。1.描散點圖，初步確定預測模型。描散點圖，初步確定預測模型。y 40 30 20 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t從散點圖的形狀判斷，該產品的銷售量基本上符合拋物線模型。從散點圖的形狀判斷，該產品的銷售量基本上符合拋物線模型。2.計算差分，如下表。計算差分，如下表。回本章目錄回總目錄差分計算表差分計算表 二階差分大致相等，其波動范圍在二階差分大致相等，其波動范圍在-2.5-1.0之間。綜合散點圖和差分分析，最后確定之間。綜合散點圖和差分分析，最

22、后確定選用二次曲線模型來進行預測。選用二次曲線模型來進行預測。 第二步，求模型的參數。第二步，求模型的參數。yt10.018.025.030.535.038.040.039.538.0一階差分8.07.05.54.53.02.0-0.5-1.5二階差分-1.0-1.5-1.0-1.5-1.0-2.5-1.01613.5214.070860274.00合計16016210030.5038160355608-40-54-50-30.503880118.5152256811610116812561694101491610182530.535384039.538-4-3-2-1012341989199

23、01991199219931994199519961997時序（t）年份yt2t4ttyyt2回本章目錄回總目錄將上表數據代入三元一次方程組，得：將上表數據代入三元一次方程組，得：解得：解得： b0=35.05, b1=3.57, b2=-0.69二次多項式的模型為：二次多項式的模型為：5 .16137080602140600274600920120bbbbb269. 057. 305.35ttyt第三步，進行預測和確定預測的置信區間。若要預測1998年的銷售量，則t=5，15.36567. 0557. 305.3521998y為了計算置信區間，必須計算估計標準誤差，計算過程如下表。回本章目錄

24、回總目錄估計標準誤差計算表估計標準誤差計算表0.6153合計0.07290.01690.02250.08410.00250.00490.32490.00250.08410.27-0.13-0.15-0.29-0.050.070.57-0.05-0.299.7318.1325.1530.7935.0537.9339.4339.5538.2910.018.025.030.535.038.040.039.538.0198919901991199219931994199519961997年份iyiy iiyy2iiyy 32. 066153. 032nyySE置信度為置信度為90%的置信區間為：的置信

25、區間為：62176. 015.3632. 0943. 115.3610. 0SEty即即35.50萬件萬件36.77萬件。萬件。回本章目錄回總目錄（二、三次多項式曲線模型及其應用（二、三次多項式曲線模型及其應用 三次多項式預測模型為：三次多項式預測模型為：332210tbtbtbbyt設有一組統計數據設有一組統計數據y1、y2、yn,令令nttnttttbtbtbbyyybbbbQ12332210123210),(=最小值與二次多項式一樣，通過偏導等于零可得以下方程組：與二次多項式一樣，通過偏導等于零可得以下方程組：yttbtbtbtbyttbtbtbtbtytbtbtbtbytbtbtbnb

26、3635241302534231204332210332210解此四元一次方程組，可求得解此四元一次方程組，可求得b0、b1、b2、b3。回本章目錄回總目錄三次多項式模型差分表三次多項式模型差分表1234t-1t三階差分二階差分一階差分時序（t）332210tbtbtbbyt3210bbbb3210842bbbb32102793bbbb321064164bbbb32173bbb321195bbb321377bbb32122bb 32182bb 36b36b36b322111313112bttbtb322113312bttbtb32162btb3262tbb 332210111btbtbtb33

27、2210tbtbtbb年份年份1991199219931994199519961997棉布產量（億米）棉布產量（億米）252340374379375385430一階差分一階差分88345-41045二階差分二階差分-54-29-91435三階差分三階差分25202321某市棉布產量歷年數據某市棉布產量歷年數據回本章目錄回總目錄三次多項式模型參數計算表三次多項式模型參數計算表0.526551679787625158819602825350合計0.02560.22090.20250.00250.00250.05290.0196252.16339.53374.45378.95375.05884.77

28、430.1468042720-374037530801161022681360374037515403870-756-680-37403757701290729641016472981161011681-27-8-1018279410149252340374379375385430-3-2-101231991199219931994199519961997t年份年份2t3t4t6ttyyt2yt3iy iy2iiyy 由于時間變量由于時間變量t所取的值正負抵消，這就使前面的四元一次方程組化簡為：所取的值正負抵消，這就使前面的四元一次方程組化簡為：yttbtbytbnb24220220yttbt

29、btytbtb363414321數據代入得數據代入得：97871962825352872020bbbb51671588196625196283131bbbb解得解得：20. 495.37820bb；解得解得：67. 337. 331bb和回本章目錄回總目錄于是，得到三次多項式模型：于是，得到三次多項式模型： 預測預測1998年的棉布產量為：年的棉布產量為：3267. 320. 437. 395.378ttty15.533467. 3420. 4437. 395.378321998y42. 035265. 042nyySE標準誤差為：標準誤差為：90%的置信區間為：的置信區間為：42. 0353

30、. 215.53310. 01998SEty即即532.16億米億米534.14億米之間億米之間。回本章目錄回總目錄4.4 指數曲線趨勢外推法指數曲線趨勢外推法一、指數曲線模型及其應用一、指數曲線模型及其應用 指數曲線預測模型為：指數曲線預測模型為：bttaey （a0）兩邊取對數：兩邊取對數：btayt lnln則由直線模型可得：則由直線模型可得：t bYAt ntYt ntYttYYttb222其中：其中：aAyYln,ln實際上實際上：2lnlnyyQ2lnyy2lnlnbtay2btAYminyb0b0,0c1b0,0c1ya0t 例如，某商品例如，某商品19891997年銷售量資料如

31、下表，年銷售量資料如下表，試預測試預測1998年的銷售量。年的銷售量。年份年份198919901991199219931994199519961997銷量銷量50.060.068.069.071.071.772.372.873.2第一步，選擇模型。第一步，選擇模型。1.描散點圖，初步確定模型。描散點圖，初步確定模型。10 , 0cbbcaytt來進行預測。來進行預測。2.計算一階差比率（如下表）計算一階差比率（如下表）由散點圖可初步確定選用指數曲線預測模型由散點圖可初步確定選用指數曲線預測模型ty0 1 2 3 4 5 6 7 8 9607050回本章目錄回總目錄yi50.060.068.06

32、9.671.171.772.372.873.2一階差分1081.61.50.60.60.50.4一階差比率0.80.20.940.41.00.830.8 由上表知，由上表知，yi的一階差比率大致相等。所以，結合散點圖分析，最后確的一階差比率大致相等。所以，結合散點圖分析，最后確定選用修正指數曲線模型進行預測比較適宜。定選用修正指數曲線模型進行預測比較適宜。 第二步，求模型的參數。第二步，求模型的參數。年 份 時 序銷售量19891990199101250.060.068.0合 計178.019921993199434569.671.171.7合 計212.419951996199767872.

33、372.873.2合 計218.311Iy111IIIIyIIyIIyIII1 -n0ii2121011 -n0ii1 -2nnii1 -2nnii132ccbnaccyybycnnnniniiinnnii310 .1784 .2124 .2123 .218=0.5556=-22.272=73.174回本章目錄回總目錄所求模型為：所求模型為：第三步，進行預測。第三步，進行預測。tty5556. 0272.22174.7306.735556. 0272.22174.7391998y（萬噸）回本章目錄回總目錄4.5 生長曲線趨勢外推法生長曲線趨勢外推法一、龔珀茲曲線模型及其應用一、龔珀茲曲線模型及

34、其應用龔珀茲曲線預測模型的形式為：龔珀茲曲線預測模型的形式為：tbkay 兩邊取對數：兩邊取對數：abkytlnlnln轉化為修正指數曲線，從而利用前面的公式得轉化為修正指數曲線，從而利用前面的公式得：11lnIlny1ln11IlnIIlnlnIlnyIIlnyIIlnyIIIln1 -n0ii2121011 -n0ii1 -2nnii1 -2nnii132bbankbbyyaybnnnniniiinnnii 龔珀茲曲線模型特別適用于對處在成熟期的龔珀茲曲線模型特別適用于對處在成熟期的商品進行預測，以掌握市場需求和銷售的飽和量。商品進行預測，以掌握市場需求和銷售的飽和量。因為從下面的圖形分析

35、就可看出這個飽和量就是因為從下面的圖形分析就可看出這個飽和量就是k或或ak。回本章目錄回總目錄龔珀茲曲線龔珀茲曲線0tykak(1) 0a1,0b1aky0t(2)0a1k0akyt(3)a1,0b1,b1注：可對這四個圖形做出分析。tbkay 的圖形的圖形回本章目錄回總目錄 例如，某公司例如，某公司1989197年的實際銷售額資料如下表，試利用龔珀茲曲線模年的實際銷售額資料如下表，試利用龔珀茲曲線模型預測型預測1998年的銷售額。年的銷售額。年 份時序（t）銷售額（萬元）(y)lgy1989199019910124.946.217.180.69370.79310.8561合 計2.34291

36、992199319943457.748.388.450.88870.92320.9269合 計2.73881995199619976788.739.4210.240.94100.97411.0103合 計2.9254（1）計算參數）計算參數k、a和和b。回本章目錄回總目錄11lgIlgy1lg11IlgIIlglgIlgyIIlgyIIlgyIIIlg1 -n0ii2121011 -n0ii1 -2nnii1 -2nnii132bbankbbyyaybnnnniniiinnnii313429. 27388. 27388. 29254. 2314713. 0=0.7782214713. 0177

37、82. 03429. 27388. 2=-0.31413141. 017782. 014713. 03429. 231=1.030673.10,4852. 0ka（2）把）把k、a和和b帶入公式帶入公式tbkay 即得預測模型：即得預測模型：ty7782. 04852. 073.10（3）進行預測。）進行預測。948. 94852. 073.1097782. 01998y（萬元） 已接近市場飽和點已接近市場飽和點k=10.73萬元。萬元。2001年預計銷售量可達年預計銷售量可達10.35萬元，產品處于萬元，產品處于生命周期的成熟階段的最高峰，銷量已無增長前景，并可能轉入下降趨勢。生命周期的成熟

38、階段的最高峰，銷量已無增長前景，并可能轉入下降趨勢。回本章目錄回總目錄bbbb1234t-1tttbtkay abkyttlnlnln1lnlnttyy211lnlnlnlnttttyyyybka2bka3bka4bka1tbkatbkaabklnlnabklnln2abklnln3abklnln4abktlnln1abktlnlnabbln1abbln12abbln13abbtln11abbtln1龔珀茲曲線模型一階差比率計算表二、皮爾曲線模型及其應用二、皮爾曲線模型及其應用1.皮爾曲線函數模型的形式皮爾曲線函數模型的形式bttaeLy1注：上面例題的差比率計算留做練習。回本章目錄回總目錄2

39、.皮爾曲線模型的參數估計皮爾曲線模型的參數估計)1(11111tbtbtteLaLyeLaLybttaeLy1) 1(1111bbttttbteeLayyyLeatbbtyeLey1111 211111111111tbtbtttbbtyeyLeyyyenLey注：上面的求和是從注：上面的求和是從t=1到到t=n-1;回本章目錄回總目錄22121221111111111111111111tttttttbttttttbyynyyyyyLeyynyyyynebttaeLy1btyLat1lnlntbyLant1lnln211lnnnbyLt1ln121lntyLnnba例：某公司某商品銷售資料如下表，試預測第例：某公司某商品銷售資料如下表，試預測第22期的銷售量。期的銷售量。回本章目錄回總目錄0.0056730.0055880.3320.337合 計0.0004000.0003610.0003610.0003610.0003240.0003240.0002890.0002