1、實驗二 離散時間傅里葉變換1 實驗原理1、經由正、逆離散時間傅里葉變換表達的信號傅里葉表示式是信號分析的一個關鍵部分。X()=（3.9）（3.10）類似地，當LTI系統用于濾波時，作為沖擊響應離散時間傅里葉變換的頻率響應，提供了LTI系統簡介的描述。離散時間傅里葉變換X()是的周期復值函數，周期總是2，并且基周期通常選在區間-，）上。對離散時間傅里葉變換DTFT來說有兩個問題：（1）DTFT的定義對無限長信號是有效的。（2）DTFT是連續變量的函數。在MATLAB中，任何信號（向量）必須是有限長度的，僅此就是第一點成為問題。因此，不可能使用MATLAB計算無限長信號的DTFT。有一個值得注意的

2、例外情形，當能從變換定義式推導出解析式并只是計算它時，可以使用MATLAB計算無限長信號的DTFT。2、對于頻率抽樣問題。MATLAB擅長在有限網格點上計算DTFT。通常選擇足夠多的頻率以使繪出的圖平滑，逼近真實的DTFT。對計算有利的最好選擇是在（-，）區間上一組均勻地隔開的頻率，或者對共軛對稱變換選擇0,區間。采用上述抽樣辦法，DTFT式變成X()= DTFT的周期性意味著在-<0區間上的數值是那些對k>N/2的數值。因為上市是在有限數量的頻率點=2k/N處計算，并在有限范圍內求和，因此它是可計算的。由于信號長度必須是有限的（0n<L），這個求和式不適用于xn=un的情形

3、。在對DTFT進行抽樣時，并不要求N=L，盡管通常經由DFT進行計算。在正確應用FFT計算N點DFT前，需要對xn進行時間混疊。3、 計算DTFT需要兩個函數，MATLAB的freqz函數計算無限長信號，dtft（h，H）函數計算有限長信號的DTFT。2 實驗要求理解數值計算在離散時間傅里葉變換中的作用。3 實驗內容1. 脈沖信號的DTFT(1)要求：設矩形脈沖rn= 1 0n<L 0 其他a.證明rn的DTFT可由（3.13）得出，記asinc（，L）（3.14）b.使用dtft函數計算12點脈沖信號的DTFT。繪出在區間-<上對的DTFT。把實部和虛部分開繪出。另繪出DTFT的

4、幅度。選擇頻率樣本的數量是脈沖長度的5到10倍，以使繪出的圖看上去平滑。用不同數量的頻率樣本做試驗。c.注意asinc函數零點的位置是規律分布的。對奇數長脈沖，比如L=15的脈沖重復進行DTFT計算并繪出幅度，同樣再次檢驗零點位置，注意峰值高度。d.對于asinc函數零點的間距與asinc函數的直流值，確定出通用規則。（2）程序M文件function H,W = dtft(h,N)N=fix(N);L=length(h);h=h(:);if(N<L) errorendW=(2*pi/N)*0:(N-1)'mid=ceil(N/2)+1;W(mid:N)=W(mid:N)-2*pi

5、;W=fftshift(W);H=fftshift(fft(h,N);%bnn=0:11;u=ones(1,12);X,W=dtft(u,72);subplot(221),plot(W,real(X);grid,title('REAL RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('REAL A')subplot(222),plot(W,imag(X);grid,title('IMAGE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('IMAG

6、E A')subplot(223),plot(W,abs(X);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|H(w)|')subplot(224),plot(W,angle(X);grid,title('PHASE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('DEGREES')運行結果%cnn=0:14;u=ones(1,15);X,W=dtft(u,90);Y,W=dtft

7、(X,90);subplot(111),plot(W,abs(Y);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|H(w)|')運行結果%d如圖L=12時由R(ejw)=0得sin(wL/2)=0即wL/2=k*pi 則w=k*pi/36所以零點間距為pi/6直流值：12零點間距*直流值=(pi/6)*12=2*pi（3） 結果分析使用dtft函數可以快速準確的計算出脈沖信號的DTFT，頻率樣本的數量越大時，繪出的圖形越平滑。2. asinc的M文件（1） 內容編寫一

8、個MATLAB的函數如asinc（，L） ，直接從（3.14）式計算在頻率格上的asinc(,L)。該函數應有兩個輸入：長度L和頻率的向量。函數必須檢查被零清除的情形，如=0時。直接計算混疊sinc函數（3.13）式得到的脈沖信號的DTFT。繪出幅度。保存該圖以便將其與用dtft得到的結果進行比較。(2)程序%asinc函數function y=asinc(w,L) N=length(w); for i=1:N if w(i)=0 y(i)=L; else y(i)=sin(1/2*w(i)*L)/sin(1/2*w(i); end end L=12;N=84; W=(2*pi/N)*0:(N

9、-1)' W=W-pi;H=asinc(W,L); figure(3)plot(W,abs(H); grid,title('MAGNITUDE RESPONSE');xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('|H(W)|')運行結果3. 無限長信號的DTFT通常不可能計算一個無限長信號的DTFT，但指數信號計算比較容易。當|a|<1, 有 利用freqz函數可以計算上式： 與dtft類似，freqz有兩個輸出：交換數值（HH）和頻率格點（WW），第四個輸入參數是可以選擇的，但如將其設定為whole

10、,則輸出向量WW指定頻率格點的范圍是從到。如果省略第四個參數，頻率格點由區間上等間距的N個點組成。4.指數信號（1）內容：對于信號xn=un,使用freqz函數計算其DTFT。A. 對在區間-<上繪出幅度與相位特性。這需要從freqz返回的X,W向量的移位。解釋為什么幅度特性是的偶函數，而相位特性是的奇函數。B. 推算一階系統的幅度特性與相位特性的表示式。C. 直接以這些表達式來計算幅度特性與相位特性，并與用freqz函數計算出得結果相對比。（2） 程序%aN=1000;a=1,-0.9;b=1;X,W=freqz(b,a,N);W=-pi:0.1:pi;X=freqz(b,a,W);s

11、ubplot(211),plot(W,abs(X);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|X(w)|')subplot(212),plot(W,angle(X);grid,title('PHASE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('DEGREES')運行結果b假設一階差分方程：yn=xn+ayn-1,其系統方程H()=其幅度,相位%cw=-pi:0.1:pi;x=1./(1-exp(-j.*w);subplot(211),plot(w,abs(x);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),y