1、1二階常系數齊次線性方程定義二階常系數齊次線性方程定義二階常系數齊次線性方程解法二階常系數齊次線性方程解法小結小結 思考題思考題 作業作業n階常系數齊次線性方程解法階常系數齊次線性方程解法第五節第五節 常系數齊次線性微分常系數齊次線性微分方程方程齊次齊次常系數常系數常系數齊次常系數齊次常系數齊次常系數齊次常系數齊次常系數齊次第十二章第十二章 微分方程微分方程2n階階0 qyypy方程方程)(xfqyypy 二階常系數非齊次線性方程二階常系數非齊次線性方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 線性微分方程線性微分方程常系數常系數二階二階常系數常系數齊次齊次線性線性二階常系數齊次線性微分方

2、程二階常系數齊次線性微分方程一、定義一、定義形如形如3- - 特征方程法特征方程法rxey 將其代入方程將其代入方程, 0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二階二階設設解解得得特征方程特征方程二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程常系數常系數齊次齊次線性方程線性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二階二、二階常系數齊次常系數齊次線性方程解法線性方程解法其中其中r為待定常數為待定常數. 4,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,

3、22xrey 兩個兩個 特解特解 y)0( 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根特征根特征根r的不同情況決定了方程的不同情況決定了方程02 qprr特征方程特征方程xre12Cxre2 1C21yy常數常數線性無關線性無關的的 得得齊次齊次方程的通解為方程的通解為rxey 設設解解其中其中r為待定常數為待定常數. 5有兩個相等的實根有兩個相等的實根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為xrexCC1)(21 代代入入到到，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprru

4、pru, 0 u,)(xxu ,12xrxey 2y常數常數 12yy. 0 qyypy化簡得化簡得.)(為為待待定定函函數數其其中中xu0 0 二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程設設)(xu,1xre取取則則知知 yxre1xrxe1 1C2C得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為rxey 其中其中r為待定常數為待定常數. 設設解解6有一對共軛復根有一對共軛復根,1 ir ,2 ir ,)(xie xrey22 )0( )(21211yyy xex cos )(21212yyiy xex sin )sincos(21xCxCeyx 0,21 qyypyyy為為方方程程為了得到

5、實數形式的解為了得到實數形式的解,常數常數 21yy重新組合重新組合二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程的兩個的兩個線性無關線性無關的解的解.rxey 其中其中r為待定常數為待定常數. xrey11 xie)( 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為用歐拉用歐拉(Euler)公式公式:xixeixsincos 設設解解7稱為稱為.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解為故所求通解為 y例例由常系數齊次線性方程的特征方程的根由常系數齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法確定其通解的方法二階常系數齊次線性微分方程二階常系數

6、齊次線性微分方程特征方程法特征方程法. .特征根特征根xexCC221)( 8.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解為故所求通解為 y例例二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程特征根特征根)2sin2cos(21xCxCex 1 212ri ，9例例 解初值問題解初值問題 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程0924162 rr特征根特征根43 r所以方程的通解為所以方程的通解為41 CxexCy432)4( xexCCy4322433 二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程4(二重根

7、二重根)00 12 C特解特解.)4(43xexy 0023412()xCC x ey 1001)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程特征方程0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應項通解中的對應項rxkkexCxCC)(121 sin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx 二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程三、三、n階階常系數齊次線性方程解法常系數齊次線性方程解法若是若是k重根重根r若是若是k重共軛重共軛復根復根 i 11注意注意一個根都對應著通解中的一項一個根都對應著通解中的一項, nnyCyCyCy 2211二階常

8、系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程n次代數方程有次代數方程有n個根個根, 而特征方程的每而特征方程的每且每一項各且每一項各一個任意常數一個任意常數.12二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程例例 求方程求方程解解052)4( yyy的通解的通解.特征方程特征方程, 052234 rrr021 rr故所求通解為故所求通解為特征根特征根xCCy21 . 0)52(22 rrr即即和和.214,3ir )2sin2cos(43xCxCex 13特征根特征根),( 11單根單根 r故所求通解故所求通解 xeCy1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)1)(1(2

9、2 rr.022)4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例,)(32,共軛復根共軛復根二重二重ir 對應的特解對應的特解xey 1,cos2xy ,sin3xy ,cos4xxy xxysin5 xxCCcos)(32xxCCsin)(54 二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程14(3) 根據特征根的不同情況根據特征根的不同情況,得到相應的通解得到相應的通解 (1) 寫出相應的特征方程寫出相應的特征方程(2) 求出特征根求出特征根二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程四、小結四、小結二階常系數齊次線性方程二階常系數齊次線性方程02 qprr0 qyyp

10、y特征根的情況特征根的情況通解的表達式通解的表達式實根實根21rr xrxreCeCy2121 實根實根21rr 212()r xyCC x e復根復根)sincos(21xCxCeyx 求通解的步驟求通解的步驟:1 2ri，15思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程16思考題解答思考題解答, 0 y ,ln22yyyyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 則則0 zz特征根特征根1 rxxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 特征方程特征方程012 r二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性方