1、數列的通項公式一. 給出數列的前幾項，寫出數列的一個通項公式111 11.1 -1,4，一8,16，32,川2 3,33,333,3333,1“3 6 5,6565,6516565,12344 2,25,29,213,217川5 5,0,一5,0,5,0, 一5,0,川 6,，川v f'廠'3漢5 5沢7 7疋9 9疋117 2,46, 81 01 2,1 41 6| 1 820 ,二. 遞推數列的通項公式的求法1 .公式法：直接可以判斷數列是等差數列或等比數列已知數列：an中,a 1=8,a 4 =4,滿足 an 2 -'2an 彳 an = 0, n ：- N ,(

2、1)求數列an的通項公式.(2)求5 =囘|+|a2| +川+|an|.2. 疊加法：形如anan f n1已知數列：an ?中，若6 = 3,an彳=an ，求的通項公式.2已知數列an /中，若ai = 3,nan彳=n 2 an n,求、an啲通項公式3已知數列：an 中，若a1 = 1, an = an 4 ，求'an .啲通項公式.2n13. 疊乘法：形如an彳=f n an1 數列 On 沖，a1 =1,an1 嚴,求an.n +12 數列 Q 沖 4 =1,S = n2an,求a“.2 正項數列 玄？中，a1, n 7 a； 1 -na； a.an 1 =0,求a.4.

3、利用an二Sn -Sn4，n 一2求通項公式1 .數列3中,a1=1,a n2S；2Sn -1n-2 ,求an.2設數列CaJ的前n項和為Sn=2n2 + n+3,求數列 低的通項公式.5待定系數法kb1h一形如 an+1二kan+b,變形為 a.+i- k ank -1J例 1 數列 a :中 ,a 1=1,a n+1=2an +3,求an.二 形如an+1=kan+b qn,變形為 空1上 幕 -或 鴛上 理 -q q q q q qq例2設數列 d?的前n項和為Sn,已知a1 = 1, Sn+1=4an+21設bn =an1 2an,證明數列:bn /是等比數列.2求數列CaJ的通項公式

4、6. 形如an1 =pan qan用特征根法：設 Xr 十 x2 = p, x1，x2 = -q. 設an 1 - xany an - xanJ化為等比數列.例：數列 Can?中,a 1=1,a 2=17,a n+2=5an+1-6a n，求a.法 1 :為=2an.2-2an1 =3an 1-2anan2an= 15 3兩式相減:lx2 =3 an也3an十=2(an卑一紙)=a -3a14 -2nn _1n _1nnan =15 3-14 2=5 3 -7 2法2：當為x2時，a n=c1xin - c2x2 =c 2n c 3na2c1 3q; a2 = 4q 9c2 = o)= 7,

5、q = 5, a* = 5 3n -7 -2n7. 取倒數法：例：已知數列 ：an 中,a1 =1,aa( n_2),求 anaJ3_ 111111123解：-,1,1 n1n , an ：an an3 qan3 33n 28. 形如an+ = pan(p 0,q),用取對數法：lgan = qlg an +lg p例: 1 數列/中,a：;，2,a . 2anj,求a“. 2 數列 f a 沖，印=3耳 t =a；,求a.n9. 迭代法：例：設數列 gn 呻,a t =1,a2 =8,an = 、an4an/ n_ 3 . 1 求 an與anj的關系式；2 求 an.10. 歸納，猜想,證明

6、法/ 例：數列an中各項均正數，Sn=T an +丄，求an.2 I an 丿11. 方程組法：例：各項均正數的數列 an, bn,若 ai =1,bi =2,且 an,bn,an 出成等差數列, bn,ani,bni成等比數列，求玄.©.12不動點法：若f t二t,則稱t為函數f x的不動點.設函數 f x = ax ； c = O,ad -bc = O 若數列 CaJ 滿足 an = f ann 1 即an二a an二 .給定初始值 a f a .c anl d定理1.若函數f x有兩個相異的不動點p、q.即方程ex2亠d - a x - b = 0 有兩個相異實根p q.則有數

7、列aP是以為首項，“空幸lan-qj印-qa-eq為公比的等比數列.例1.已知數列Bn沖，滿足a1 =2且an =3an5, n_ 2, nN*,求數列的通項公式5an+3解：構造函數f5,易求得函數f x有兩個相異的不動點為 p=-1,q=1.由定理1可得數列 心 是以 埜=3為首相，以k二 空 =-4為公比的等比數列.J an _ 1a-13-5n -1an 1nJ3 V 1*所以=an= ,n e N .an T3D -1定理2：若函數f x只有唯一的不動點p,即方程ex2 d - a x-b =0只有唯一解p. 則有數列是以為首項，以 上乞為公差的等差數列.lanpja1pa+d例2：已知數列：an計，滿足a2,且an二如 】，n_ 2, n，N*,求數列 茁的通項公式.甌+24x -1r 1解：構