1、 浙教版數學八年級上冊第二章特殊三角形復習一、知識結構本章主要學習了等腰三角形的性質與判定、直角三角形的性質與判定以及勾股定理、HL定理等知識，這些知識點之間的結構如下圖所示：二、重點回顧1等腰三角形的性質：等腰三角形兩腰_；等腰三角形兩底角_(即在同一個三角形中，等邊對_)；等腰三角形三線合一，這三線是指_、_、_，也就是說一條線段充當三種身份；等腰三角形是_圖形，它的對稱軸有_條。2等腰三角形的判定：有_邊相等的三角形是等腰三角形；有_相等的三角形是等腰三角形（即在同一個三角形中，等角對_）。注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對嗎？3等邊三角形的性質：等邊三角形各條邊_，各內角_

2、，且都等于_；等邊三角形是_圖形，它有_條對稱軸。4等邊三角形的判定：有_邊相等的三角形是等邊三角形；有三個角都是_的三角形是等邊三角形；有兩個角都是_的三角形是等邊三角形；有一個角是_的_ 三角形是等邊三角形。5直角三角形的性質：直角三角形兩銳角_；直角三角形斜邊上的中線等于_；直角三角形兩直角邊的平方和等于_（即勾股定理）。30°角所對的直角邊等于斜邊的_6直角三角形的判定：有一個角是_的三角形是直角三角形；有兩個角_的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于_的三角形是直角三角形。一條邊上的中線等于該邊長度的一半，那么該三角形是直角三角形，但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形，但

3、有助于解題。7直角三角形全等的判定：斜邊和_ 對應相等的兩個直角三角形全等。8角平分線的性質：在角內部到角兩邊_在這個角的平分線上。三、重點解讀1學習特殊三角形，應重點分清性質與判定的區別，兩者不能混淆。一般而言，根據邊角關系判斷一個圖形形狀通常用的是判定，而根據圖形形狀得到邊角關系那就是性質；2等腰三角形的腰是在已知一個三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個三角形是等腰三角形時千萬不能將理由說成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關系，而且它也是今后研究直角三角形問題較為常用的輔助線，熟練掌握可

4、以為解題帶來不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關系，解題時應注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“”就認定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長為3和4，就認為另一邊一定是5；5“HL”是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當然，以前學過的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法對于直角三角形全等的判定同樣有效。切記! 兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒有邊邊角定理。因此在證明全等時千萬不要這樣做。本章解題時用到的主要數學思想方法：

5、分類討論思想（特別是在語言模糊的等腰三角形中）（留意后面的例題） 方程思想：主要用在折疊之后產生直角三角形時，運用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長（留意后面的例題） 等面積法四、典型例題（一）、角平分線+平行線1、在ABC中，三內角互不相等，BO平分ABC，CO平分ACB。過O點作EF, 使EFBC。（1）圖中有幾個等腰三角形？（2）猜測線段BE、CF、EF有什么數量關系，并說明理由。 2、在ABC中，ABC=ACB，BO平分ABC， CO平分ACB,過O點作EF，使EFBC，且EBO=30°。若BE=5，ABC的周長為_。（二）、角平分線+垂線3、如圖：AB=A

6、C，1=2，AECD于F交BC于點E，求證：AB=CE。4、如圖，ABC是等腰直角三角形，其中A=90°，BD平分ABC交AC于點D，CEBD交BD的延長線于點E，求證：BD=2CE (三)、直角三角形的一個銳角平分線+斜邊上的高線F5、如圖，在ABC中，ACB=90°，AE平分CAB，CDAB于D，它們交于點F，CFE是等腰三角形嗎？試說明理由.（四）、等邊三角形的幾個基本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=CE，連接AD、BE交于點F。AFE=_。7、如圖點A、C、E在同一直線上，ABC和CDE都是等邊三角形，M、N分別是AD、BE的中點。說明： CMN是等邊三角形。8

7、、已知等邊ABC和點P，設點P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，ABC的高為h，若點P在一邊BC上（圖1），此時h3=0，可得結論h1+h2+h3=h，請你探索以下問題：當點P在ABC內（圖2）和點P在ABC外（圖3）這兩種情況時，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關系，請寫出你的猜想，并簡要說明理由 （五）、等腰直角三角形的幾個基本應用9、在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEM于E。(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1位置時，說明ADCCEB的理由；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2位置時，說明DE=ADBE的理由；ABCD

8、EMN圖2ABCDMN圖3(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3位置時，試問DE、 AD、BE有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并說明理由.ABCDEMN圖110、如圖，在直角ABC中，C=90，AC=BC，D，E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點。求證：MDE是等腰直角三角形。（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程11、觀察下面表格中所給出的三個數a，b，c，其中a，b，c為正整數，且a<b<c （1）：試找出他們的共同點，并證明你的結論,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c

9、21+b=c （2）：當a=21時，求b，c的值12、如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60°，且BQ=BP，連結CQ。（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由ABCD13、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求這個三角形的面積分析：對于沒有圖形的大題（指需要過程的題目），最好自己畫圖，與人方便，與己方便。解：設這個等腰三角形為ABC，高為AD，設BD為x，則AB為（16-x）， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32

10、x+x2 x=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=4814、矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在DC邊上的點G處，求BE的長。EGCDBA（七）、需要分類討論的（主要是由語言的模糊造成要討論）有一個角等于50°，另一個角等于_的三角形是等腰三角形。有一個直角三角形的兩條直角邊為3，4，則第三條邊長為_ 如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長。（八）作圖題如圖，求作一點P，使PC=PD,并且使點P到AOB兩邊的距離相等，并說明你的理由

11、作圖題的基本要求：結論不能丟。格式：什么什么即為所求。【考點精練】一、基礎訓練1如圖1，在ABC中，AB=AC，A=50°，BD為ABC的平分線，則BDC=_° （1） （2） （3）2如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_3如圖3，一個頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形，則1+2=_度4如圖4，在等腰直角ABC中，B=90°，將ABC繞頂點A逆時針方向旋轉60°后得到ABC，則BAC等于_ （4） （5） 5如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山的另

12、一邊同時施工從AC上的一點B取ABD=135°，BD=520米，D=45°，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點E離D的距離約為_米（精確到1米）6等腰ABC的底邊BC=8cm，腰長AB=5cm，一動點P在底邊上從點B開始向點C以0.25cm/秒的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間應為_7如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20°，且AE=AD，則CDE=_ （7） （8） （9）8如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44°，CDAB于D，則DCB等于（ ） A44° B68° C46°

13、; D22°9如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮既要符合設計要求，又要節省材料，則在庫存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（ ）AL1 BL2 CL3 DL410如圖10，在ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點，且BD=BC=AD則A等于（ ）A30° B36° C45° D72° （10） （11）11同學們都玩過蹺蹺板的游戲如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB當蹺蹺板的一頭A著地時，OAC=25&#

14、176;，則當蹺蹺板的另一頭B著地時，AOA等于（ ） A25° B50° C60° D130°12、直角三角形的兩條直角邊長為a,b,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. += 如圖所示，在ABC中，AB=6，AC=9，ADBC于點D，M為AD上任一點，則MC2-MB2等于 二、能力提升13如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，求它的底邊長14（計算型說理題）已知如圖ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E使CE=CD試判斷DB與DE之間

15、的大小關系，并說明理由。15如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三個條件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形三、應用與探究16如圖，ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點 （1）若AD=BE=CF，問DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論 （2）若DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論直角三角形1）直角三角形的定義：有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形。

16、直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質。又叫Rt三角形。2）直角三角形的性質：（1）直角三角形兩個銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半；且三邊比為1比根號3比2；（4）在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°；（5）在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2 (勾股定理)；（6）直角三角形斜邊上的高h等于該直角三角形外接圓半徑斜邊上的中線等于該直角三角形內切圓半徑.( 7) 直角三角形的垂直平分線交

17、于斜邊的中點。（8）直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。3)直角三角形的判定：（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形；（2）一個三角形,如果這個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形；（3）若a2+b2=c2，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊直角三角形（勾股定理的逆定理）；（4）若三角形30°內角所對的邊是某一邊的一半 ,那么這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形；（5）兩個銳角互余的三角形是直角三角形.4）直角三角形角的性質若直角三角形ABC中

18、C=90°，則sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos（90°-A）=sin（180°-A）cosA=sin（90°-A）=-cos（180°-A）tanA=-tan（180°-A）對于特殊角30°，45°，60°，15°，75°，90°sin30°=cos60°=1/2sin45°=cos45°=2/2sin60°=cos30°=3/2sin75°=cos15°=（根號6+根號2

19、）/4 cos75°=sin15°=（根號6-根號2）/4tan75°=2+根號3 tan15°=2-根號3sin90°=1 cos90°=0 tan90°=無限大等腰三角形1)等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形2）等腰三角形的性質：1.等腰三角形的兩個底角相等。 （簡寫成“等邊對等角”）2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡寫成“三線合一”）3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5.等腰三角形的

20、一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半6等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高(需用等面積法證明)7等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸3）.等腰三角形的判定：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）在一個三角形中，一邊上的高線與此邊上的中線，及此邊對角角平分線中任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。等邊三角形等邊三角形也稱正三角形。1)等邊三角形的定義：有三邊都相等的三角形是等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。2)等邊三角形的性質：（具有等腰三角形的所有性質，結合定義更特殊）1等邊三角形的內角都相等，且為60

21、度2等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合（三線合一）3等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線3）等邊三角形的判定：（首先考慮判斷三角形是等腰三角形）（1）三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）（2）三個內角都相等的三角形是等邊三角形 ,且每個角都為60°（3）有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形等腰直角三角形定義等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質：穩定性，兩直角邊相等 直角邊夾亦直角銳角45，斜邊上中線角平分線垂線 三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因

22、為等腰直角三角形的兩個小角均為45度，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；那么設內切圓的半徑r為1，則外接圓的半徑R就為（根號2加1），所以r:R=1:（根號2加1）。關系等腰直角三角形的邊角之間的關系 ：（1）三角形三內角和等于180°；（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和；（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊.等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角

23、形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等.（三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等）.（2）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍。（3）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。（4）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的二分之一。注意！三角形的內心、重心都在三角形的內部.鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點。）銳角三角形垂心、外心在三角形內部。黃金三角形1、名稱定義所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值；對應的還

24、有：黃金矩形等。2、黃金三角形的分類黃金三角形分兩種： 一種是等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°；這種三角形既美觀又標準。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：(5-1)/2. 另一種也是等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：(5-1)/23、黃金三角形的特征黃金三角形是一個等腰三角形，它的頂角為36°，每個底角為72°.它的腰與它的底成黃金比當底角被平分時，角平分線分對邊也成黃金比，并形成兩個較小的等腰三角形這兩三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于產生螺旋形曲線黃金三角形的一個幾何特征是：它是唯一一種能夠由5個與其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。把五個黃金三角形稱為“小