1、高等數學I（1）試題選編 1求函數的極限（1）； （2）；（3） ； （4） ；（5）； （6）。2求數列的極限： （1） ； （2）；（3），其中為正的常數。3研究并確定。4求之值使5設，確定之值，使得當時為無窮小；當時為無窮大。6設在內有定義，且單調增加，存在，求證在處連續。7確定的間斷點，并判定其類型。8求 的間斷點，并指出各間斷點的類型。9求的間斷點，并判定其類型。10求的間斷點，并判定其類型。11設，確定的連續區間，并指出間斷點的類型。12寫出分段函數的表達式。13設有次多項式，若此多項式的第一個系數與最后一個系數異號，求證方程至少有一個正根。14，若在上連續，且存在，求證

2、在上有界。15求證 在處連續但不可導。16常數取何值時 在處連續且可導？17設，求。18設，求。19設，求。20設，求。21設，求。22設是由方程所確定，求。23，求由所確定的函數的導數。24設，其中存在且，求及。25設，其中為常數，求及。26設是由方程組所確定，求之值。27設，求。28設，求。29設，求。30設可微，若，試求，使。31求曲線在點處的切線和法線方程。32求方程所表示的曲線在處的切線方程與法線方程。33設在二階可導，且曲線與拋物線在內有一個交點，求證在內至少存在一點，使。34設在連續，在內可導，且有。求證存在使（為自然數）。35設在上可導，試證明使。36設在上二階可導，。求證在存

3、在一點，使。37設在閉區間上二階可導，且，求證。38求極限。 （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）（其中為不等于零的常數）。39確定的單調區間。40設可微函數由方程所確定，試求此函數的單調區間。41已知在處有極值，試確定系數，并求出所有極值與曲線的拐點。42求證方程只有一個正根。43求函數在上的最大值與最小值。44外切于半徑為1的定圓的等腰三角形，在什么條件下它的面積最小?45欲做一個橫截面為等腰梯形的水槽，且梯形的腰長及下底長均為b。問水槽的兩側壁間的夾角為何值時，此水槽有最大的橫截面積？46證明不等式：(1)設,求證.；(2)設,求證。47求曲線對應于的曲

4、率及曲率半徑。48求函數的連續區間，可導區間，單調區間，凹凸區間，極值點，拐點和漸近線。49求下列不定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12）（13） （14） （15） （16）50求下列不定積分：（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） 51設，求。52求下列定積分： （1），其中為正的常數，為自然數； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）。53求極限。54研究反常積分的斂散性。55設 ，證明。56設 ，研究。57求極限。58設 ，其中為連續函數，且，若在處連續，求之值。59設處處連續且滿足方程，求。

5、60求在上的最小值和最大值。61已知周期為的函數在上為連續的奇函數。求證也是以為周期的周期函數。62設，其中處處連續，求。63設為任意的二次多項式，試證，利用上述結果證明：對任意閉區間，恒有。64證明。（）65設在上連續且單調減少，證明有。66求下列曲線所圍成的平面圖形的面積： （1） （2）（3） （4）67求過點與且對稱軸平行于軸，開口向下的拋物線，使它與軸所圍成的平面圖形面積最小。68拋物線與圓相交于三點，問為何值時拋物線與公共弦所圍成的平面圖形面積最大？并求此最大面積，其中為定值，且。69已知曲邊三角形由拋物線及直線所圍成，求：（1）曲邊三角形的面積； （2）該曲邊三角形繞軸旋轉所成旋

6、轉體的體積V。70求由和它在處的法線所圍成的平面圖形繞軸旋轉所成的旋轉體的體積。71求由直線與拋物線所包圍的圖形繞直線旋轉所得的旋轉體的體積。72已知一立體，以長半軸，短半軸的橢圓為底，而垂直于長軸的截面都是等邊三角形，求其體積。73一個瓷質容器，內壁和外壁的形狀分別為拋物線繞軸的旋轉面，容器的外高為10，比重為，把它鉛直地浮在水中，再注入比重為3的重溶液。問要保持容器不沉沒，注入的溶液其最大深度是多少？（長度單位為厘米）74求曲線之全長。75一物體由靜止開始做直線運動，在秒末的速度為，問（1）在第三秒時物體離開出發點的距離是多少米？（2）需要多長時間走完343米？162求微分方程滿足的特解。

7、163求微分方程滿足的特解。164求微分方程的通解。165求微分方程滿足的特解。166求微分方程滿足的特解。167求的通解。168求的通解。169求微分方程滿足初始條件的特解。170求的通解。171微分方程的哪一條積分曲線以原點為拐點，且在原點處以為其切線？172求微分方程的通解。173求的通解。174求的通解。175求的一個特解。176已知可導，試確定使是全微分方程，并求此全微分方程的通解。177設曲線積分在右半平面內與路徑無關，其中可導，且，求。178設是一階線性微分方程的三個相異特解。求證：為一常數。179設在左半平面內有一條過點的曲線，其上任一點處的切線斜率為，求此曲線方程。180一單

8、擺長為，質量為，作簡諧振動，假定其往來擺動的偏角很小。試求其運動方程，并確定每振動一次的時間。參考答案：1（1） （2）2 （3） （4） （5） （6）22（1）1 （2） （3）30 4 57。8。9 10 11的連續區間為，12 1617 1819 2021 2223 24250， 26 2728 2930 31切線：；法線：32切線：；法線38（1）1 （2） （3）0 （4）（5） （6） （7）1 （8）39在上單調增加；在上單調減少。40在上單調增加；在上單調減少。4143 44當外切三角形為等邊三角形時面積最小。45 47 48連續區間；可導區間，單減區間；單增區間；極小值點，極大值點；上凹區間，上凸區間，拐點和；漸近線。49（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）50（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）5152（1） （2） （3）（4） （5） （6）53 54發散 56不存在57 58