1、第一套試題一（10分）、設(shè)是數(shù)域F上的線性空間的線性變換，分別為的三個互不相同的特征值，的特征向量。（1）證明：，是線性無關(guān)的；（2）證明：+不是的特征向量。二（10分）、求矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。三（10分）、求矩陣 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 四（12分）、設(shè)有正規(guī)矩陣，試求酉矩陣，使為對角陣。 五（10分）、設(shè)。驗證： 六（12分）、驗證矩陣為正規(guī)矩陣，并求的譜分解。七（14分）、設(shè)。計算（1）的譜半徑；（2），；（3）設(shè)，證明：，其中是的任何一種范數(shù)。八（12分）、討論下列矩陣冪級數(shù)的斂散性。（1）， （2）九（10分）、在以下題目中任選一個。（1） 設(shè)有Hermite矩陣試證：是正定的充

2、要條件，是存在可逆矩陣使（2） 試證：矩陣相似于矩陣，其中為非零常數(shù), 為任意常數(shù).（3） 設(shè)為一個階矩陣且滿足，證明：相似于一個對角矩陣。第一套試題答案一（10分）、證明：（1）設(shè)+=0， 用作用式兩端，有+=0 -，有 再用作用式兩端，有 -，有。由于互不相等，因此，將其代入，有，利用，有。故，是線性無關(guān)的。（2）用反證法。假設(shè)+是的屬于特征值的特征向量，于是有即由于，線性無關(guān)，因此，這與互不相等矛盾。所以，+不是的特征向量。二（10分）、解:三（10分）、解: ， 。四（12分）、解：令解齊次方程組解齊次方程組解齊次方程組五（10分）、解：； 又，； 顯然六（12分）、解：由于，所以是正

3、規(guī)矩陣。由 得的特征值為 。屬于特征值的正交單位特征向量為 ；屬于的單位特征向量為。因此 的正交投影矩陣為 ； 所以的譜分解為 七（14分）、解：的特征多項式為，則特征值為，。（1）的譜半徑為。（2）容易計算的1范數(shù)為；的范數(shù)為；因為，則的特征多項式為，所以的特征為，故的2范數(shù)為。 （3）證明：設(shè)的特征值是，對應(yīng)的特征向量為，則，。兩邊取范數(shù)，得，從范數(shù)的相容性，得，因為，則，這樣。由于上式對任意的特征值都成立，故 。 八（12分）、討論下列矩陣冪級數(shù)的斂散性。解：（1）設(shè)，則的特征值為， 從而的譜半徑為。因為冪級數(shù)的收斂半徑為， 則，從而是發(fā)散的。 （2），則的特征值為，從而的譜半徑為。因為冪級數(shù)的收斂半徑為， 則，故是絕對收斂的。 九（10分）、在以下題目中任選一個。（4） 證：必要性：充分性：因為是Hermite矩陣，所以是正規(guī)矩陣，因此存在酉矩陣使又正定，所以都大于0；因此則（2）證: , , 顯然 的行列式因子為:， 的行列式因子為:， 于是 與具有相同的行列式因子, 從而 （3）證：設(shè)是的任意一個特征值，是的屬于特征值的特征向量，即，那么由，可得，于是的特征值為2和3. 注意到,所以.另一方面，所以，。設(shè)，則。于是的基礎(chǔ)解系有個解向量，即有個線性無關(guān)的特征向量。再看的基