1、第一章 三角形的證明本章總體設計介紹本章是八年級上冊第七章平行線的證明的繼續，在“平等線的證明”一章中，我們給出了 8 條基本事實，并從其中的幾條基本事實出發證明了有關平行線的一些結論. 運用這些基本事實和已經學習過的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論.在這之前，學生已經對圖形的性質及其相互關系進行了大量的探索，探索的同時也經歷過一些簡單的推理過程，已經具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，從而為本章進一步嚴格證明三角形有關定理打下了基礎.本章所證明的命題都和等腰三角形、直角三角形有關，主要包括：1.等腰三角形的性質和判定定理；2.直角三角形的性質定理和判定定理；3.線段的垂直平分

2、線性質和判定定理；4.角平分線性質定理和判定定理。本章教學建議對于已有命題的證明，教學過程中要注意引導學生回憶過去的探索、說理過程，從中獲取嚴格證明的思路；對于新增命題，教學過程中要重視學生的探索、證明過程，關注該命題與其他已有命題之間的關系；對于整章的命題，注意關注將這些命題納入一個命題系統，關注命題之間的關系，從而形成對相關圖形整體的認識。對于證明的方法，除了注重啟發和回憶，還應注意關注證明方法的多樣性，力圖通過學生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在比較中選擇適當的方法。證明過程中注意揭示蘊含其中的數學思想方法，如轉化、歸納、類比等。作為初中階段幾何證明的最后階段，教學中應要求學生掌握綜

3、合法和分析法證明命題的基本要求，掌握規范的證明表述過程，達成課程標準對證明表述的要求。1.等腰三角形（一）一、學生知識狀況分析在八年級上冊第七章平行線的證明，學生已經感受了證明的必要性，并通過平行線有關命題的證明過程，習得了一些基本的證明方法和基本規范，積累了一定的證明經驗；在七年級下，學生也已經探索得到了有關三角形全等和等腰三角形的有關命題，這些都為證明本節有關命題做了很好的鋪墊。二、教學任務分析本節將進一步回顧和證明全等三角形的有關定理，并進一步利用這些定理、公理證明等腰三角形的有關定理，由于具備了上面所說的活動經驗和認知基礎，為此，本節可以讓學生在回顧的基礎上，自主地尋求命題的證明，為此

4、，確定本節課的教學目標如下：1知識目標：理解作為證明基礎的幾條公理的內容，應用這些公理證明等腰三角形的性質定理；在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結論，能夠借助數學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理；熟悉證明的基本步驟和書寫格式。2能力目標：經歷“探索發現猜想證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續和必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；鼓勵學生在交流探索中發現證明方法的多樣性，提高邏輯思維水平；3情感與價值目標啟發引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關系；培養學生合作交流的能力，以

5、及獨立思考的良好學習習慣.4教學重、難點 重點：探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等。三、教學過程分析學生課前準備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實驗用）；教師課前準備：制作好的幾何畫板課件.本節課設計了六個教學環節：第一環節：回顧舊知 導出公理；第二環節：折紙活動 探索新知；第三環節：明晰結論和證明過程；第四環節：隨堂練習 鞏固新知；第五環節：課堂小結；第六環節：布置作業。第一環節：回顧舊知 導出公理活動內容：提請學生回憶并整理已經學過的8條基本事實中的5條：1.兩直線被第三條直線所截,如果同

6、位角相等,那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）；4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）；5.三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）；在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（推論）兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS），并要求學生利用前面所提到的公理進行證明；2.回憶全等三角形的性質。活動目的：經過一個暑假，學生難免有所遺忘，因此，在第一課時，回顧有關內容，既是對前面學習內容的一個簡單梳理，也為后續有關證明做了知識準備；證明這個推論，可以讓學生熟悉證明的基本要求和步驟，為后面的其他證明做好

7、準備?；顒有Чc注意事項：由于有了前面的鋪墊，學生一般都能得到該推論的證明思路，但由于有了一個暑假的遺忘，可能部分學生的表述未必嚴謹、規范，教學中注意提請學生分析條件和結論，畫出簡圖，寫出已知和求證，并規范地寫出證明過程。具體證明如下：已知：如圖，A=D,B=E,BC=EF.求證：ABCDEF.證明：A=D,B=E（已知），又A+B+C=180°，D+E+F=180°（三角形內角和等于180°），C=180°-(A+B)，F=180°-(D+E)，C=F（等量代換）。又BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）。第二環節：折紙活動 探索新知活動

8、內容：在提問：“等腰三角形有哪些性質？以前是如何探索這些性質的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質嗎？并根據折紙過程，得到這些性質的證明嗎？”的基礎上，讓學生經歷這些定理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學生先獨自折紙觀察、探索并寫出等腰三角形的性質，然后再以六人為小組進行交流，互相彌補不足?；顒幽康模和ㄟ^折紙活動過程，獲得有關命題的證明思路，并通過進一步的整理，再次感受證明是探索的自然延伸和發展，熟悉證明的基本步驟和書寫格式?；顒有Чc注意事項：由于有了教師引導下學生的活動，以及具體的折紙操作，學生一般都能得到有關等腰三角形的性質定理，當然，可能部分學生得到的定理并不全面，在學生小組的交

9、流中，通過同伴的互相補充，一般都可以得到所有性質定理。當然，在教學過程中，教師應注意小組的巡視，提醒學生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關系從而得到“三線合一”。第三環節：明晰結論和證明過程活動內容：在學生小組合作的基礎上，教師通過分析、提問，和學生一起完成以上兩個個性質定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明,其余學生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的結果以及具體證明方法，給學生明晰證明過程。（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合活動目的：和學生一起完成性質定理的證明，可以讓學生自主經歷命題的證明過程；明晰證明過程，意圖

10、給學生明晰一定的規范，起到一種引領作用；活動2，則是前面命題的直接推論，力圖讓學生形成拓廣命題的意識，同時也是一個很好的鞏固練習。第四環節：隨堂練習 鞏固新知活動內容：學生自主完成P4第2題：如圖（圖略）,在ABD中,C是BD上的一點，且ACBD，AC=BC=CD，（1）求證：ABD是等腰三角形；（2）求BAD的度數。活動目的：鞏固全等三角形判定公理的應用，復習等腰三角形“等邊對等角”的用法。第五環節：課堂小結活動內容：讓學生暢談收獲，包括具體結論以及其中的思想方法等。活動目的：形成及時總結語反思的意識與習慣，提高學生能力?；顒有Чc注意事項：教師注意對學生的感想進行適當的引導，并在學生交流的

11、基礎上，明晰部分收獲供學生共享，如：1、具體有關性質定理；2、通過折紙活動對獲得的定理給予了嚴格的證明，為今后解決有關等腰三角形的問題提供了豐富的理論依據3、體會了證明一個命題的嚴格的要求，體會了證明的必要性第六環節：布置作業P5習題1,2.四、教學反思本節關注學生已有活動經驗的回顧過程，關注了 “探索發現猜想證明”的活動過程，關注了學生自主探究過程，學生學習的主體性發揮較好，應該說取得了較好的教學效果。當然，在具體活動中，如何在學生活動與規范表達之間形成一個恰當的平衡，具體各部分時間比例的分配可能還需要根據班級學生具體狀況進行適度的調整。1. 等腰三角形（二）一、學生知識狀況分析在八年級上冊

12、第七章平行線的證明，學生已經感受了證明的必要性，并通過平行線有關命題的證明過程，習得了一些基本的證明方法和基本規范，積累了一定的證明經驗；在七年級下，學生也已經探索得到了有關三角形全等和等腰三角形的有關命題；而前一課時，學生剛剛證明了等腰三角形的性質，這為本課時拓展等腰三角形的性質、研究等要三角形的判定定理都做了很好的鋪墊。二、教學任務分析本節將利用前一課時所證明的等腰三角形的性質定理，進一步研究等腰三角形的一些特殊性質，探索等邊三角形的性質。為此，確定本節課的教學目標如下：1知識目標：探索發現猜想證明等腰三角形中相等的線段，進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性；2能力目標：經

13、歷“探索發現猜想證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續和必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學生的學習能力和思維能力，提高學生學習的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質：對稱性，發展學生的幾何直覺；3情感與價值觀要求鼓勵學生積極參與數學活動，激發學生的好奇心和求知欲體驗數學活動中的探索與創造，感受數學的嚴謹性4教學重、難點重點：經歷“探索發現一一猜想證明”的過程，能夠用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論三、教學過程分析本節課設計了六個教學環節：第一環節：提出問題，引入新課；第二環節：自主探

14、究；第三環節：經典例題 變式練習；第四環節：拓展延伸、探索等邊三角形性質； 第五環節： 隨堂練習 及時鞏固 ；第六環節：探討收獲 課時小結。第一環節：提出問題，引入新課活動內容：在回憶上節課等腰三角形性質的基礎上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發現其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結論嗎?活動目的：回顧性質，既為后續研究判定提供了基礎；同時，直接提出新的問題，過渡自然，引入本課研究內容，而新的問題是原有性質的一個自然拓廣，有助于提高學生提出問題的能力。第二環節：自主探究活動內容：在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的

15、線段，并嘗試給出證明?；顒幽康模鹤寣W生再次經歷“探索發現猜想證明”的過程，進一步體會證明的必要性，并進行證明，從中進一步體會證明過程，感受證明方法的多樣性?；顒有Чc注意事項：活動中，教師應注意給予適度的引導，如可以漸次提出問題：你可能得到哪些相等的線段？你如何驗證你的猜測？你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法？通過學生的自主探究和同伴的交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎上探究出：等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等并對這些命題給予多樣的證明。如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學生得到了下面的證明

16、方法：已知：如圖，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的角平分線求證：BD=CE證法1：AB=AC，ABC=ACB(等邊對等角)1=ABC，2=ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對應邊相等) 證法2：證明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的對應邊相等)在證明過程中，學生思路一般還較為清楚，但畢竟嚴格證明表述經驗尚顯不足，因此，教學中教師應注意對證明規范提出一定的要求，因此，注意請學生板書其中部分證明過程，借助課件展示部

17、分證明過程；可能部分學生還有一些困難，注意對有困難的學生給予幫助和指導。第三環節：經典例題 變式練習活動內容：提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在學生思考的基礎上，研究課本“議一議”：在課本圖14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一個什么結論?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么結論?活動目的：提高學生變式能力、問題拓廣能力，發展學生學習的自主性。活動注意事項與效果：教學中應注意對學生的引導，因為學生先前這樣的經驗比較少，可能學生一時不知如何研究問

18、題，教師可以引導學生思考：把底角二等份的線段相等如果是三等份、四等份結果如何呢?從而引出“議一議”。由于課堂時間有限，如果學生全部解決上述問題，時間不夠，可以在引導學生提出上述這些問題的基礎上，讓學生證明其中部分問題，而將其余問題作為課外作業，延伸到課外；當然，也可以對不同的學生提出不同的要求，如普通學生僅僅證明其中部分問題，而要求部分學優生解決所有的問題，甚至要求這部分學優生思考“還可以提出哪些類似問題，你是如何想到這些問題的”。在學生解決問題的基礎上，教師還應注意揭示蘊含其中的思想方法。下面是學生的課堂表現：生在等腰三角形ABC中，如果ABD=ABC，那么BD=CE這和證明等腰三角形兩底角

19、的角平分線相等類似證明如下：AB=AC，ABC=ACB(等邊對等角)又ABD=ABC, ACE=ACB,ABD=ACE在BDC和CEB中，ABD=ACE，BC=CB，ACB=ABC,BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對應邊相等)生如果在ABC中，AB=AC, ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE也是成立的因為AB=AC，所以ABC=ACB，利用等量代換便可得到ABD=ACE，BDC與CEB全等的條件就能滿足，也就能得到BD=CE由此我們可以發現：在ABC中，AB=AC，ABD=ABC，ACE=ACB，就一定有BD=CE成立生也可以更直接地說：在ABC中，AB=AC，ABD

20、=ACE，那么BD=CE 師這兩位同學都由特殊結論猜想出了一般結論請同學們把一般結論的證明過程完整地書寫出來(教師可巡視指導)下面我們來討論第(2)問，請小組代表發言生在ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE由此我們得到了一個更一般的結論：在ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE證明如下：AB=AC又AD=AC，AE=AB，AD=AE在ADB和AEC中，AB=AC，A=A，AD=AE，ADBAEC(SAS)BD=CE(全等三角形的對應邊相等)生一般結論也可更簡潔地敘述為：在ABC中，如果AB=AC，AD

21、=AE，那么BD=CE師這里的兩個問題都是由特殊結論得出更一般的結論，這是我們研究數學問題常用的一種思想方法，它會使我們得到意想不到的效果例如通過對這兩個問題的研究，我們可以發現等腰三角形中，相等的線段有無數組這和等腰三角形是軸對稱圖形這個性質是密不可分的第四環節：拓展延伸，探索等邊三角形性質活動內容：提請學生在上面等要三角形性質定理的基礎上，思考等邊三角形的特殊性質：等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60°.已知：如圖，ABC中，AB=BC=AC求證：A=B=C=60°.證明：在ABC中，AB=AC，B=C(等邊對等角) 同理：C=A，A=B=C（等量代換） 又A

22、+B+C180°（三角形內角和定理），A=B=C60°活動效果：學生一般都能得到這些定理的證明，能規范地寫出對于“等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60°”的證明過程： 第五環節： 隨堂練習 及時鞏固 活動內容：在探索得到了等邊三角形的性質的基礎上，讓學生獨立完成以下練習。1. 如圖,已知ABC和BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD 活動意圖：在鞏固等邊三角形的性質的同時，進一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規范證明的書寫格式。 第六環節：探討收獲 課時小結本節課我們通過觀察探索、發現并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結論歸納出一般結論，四、教學

23、反思本節課關注了問題的變式與拓廣，實際上引領學生經歷了提出問題、解決問題的過程，因而較好地提高了學生的研究能力、自主學習能力，但也應注意根據學生的情況進行適度的調整，因為學生先前這樣的經驗較少，因而對一些班級學生而言，完成全部這些教學任務，可能時間偏緊，為此，教學中可以適當減少一些內容，將部分內容延伸到課外，當然，也可以設計為兩個課時，將研究過程進一步展開。1. 等腰三角形（三）1、 學生知識狀況分析 本節課是等腰三角形的第三課時，通過前面兩課時的學習，學生已經掌握了等腰三角形的相關性質，并知道了用綜合法證明命題的基本要求和步驟。為學習等腰三角形的判定定理奠定了知識和方法的基礎。2、 教學任務

24、分析 本節課的主要任務是探索等腰三角形的判定定理，在復習性質定理的基礎上，引導學生反過來思考猜想新的命題，并進行證明。這樣可以發展學生的逆向思維能力，同時引入反證法的基本證明思路，學習與運用反證法也成為本課時的教學任務之一。因此，本節課的教學目標定為： 1探索等腰三角形判定定理2理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明3.了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用。4.培養學生的逆向思維能力。3、 教學過程分析 本節課的教學過程設計了以下六個環節：復習引入-逆向思考，定理證明-鞏固練習-適時提問 導出反證法-拓展延伸-課堂小結。第一環節：復習引入 活動過程：通過問題串回顧等腰三角形的性質

25、定理以及證明的思路，要求學生獨立思考后再進交流。 問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？ 問題2.我們是如何證明上述定理的？ 問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立么？如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等？ 活動意圖：設計是問題串是為引出等腰三角形的判定定理埋下伏筆。學生獨立思考是對上節課內容有效地檢測手段。第二環節：逆向思考，定理證明活動過程與效果：教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數學結論的一條途徑例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就

26、是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?生如圖，在ABC中，B=C，要想證明AB=AC，只要構造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應邊就可以了師你是如何想到的? 生由前面定理的證明獲得啟發，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把ABC分成兩個全等的三角形師很好同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然后分組討論生我們組發現，如果作BC的中線，雖然把ABC分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們全等因為我們得到的條件是兩個三角形對應兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的后兩種方法是可行的師那么就請同學們任選一種方法按要求將推理證明過程書寫出來(教師

27、可讓兩個同學在黑板上演示，并對推理證明過程講評)(證明略)師我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊我們不僅發現了幾何圖形的對稱美，也發現了數學語言的對稱美第三環節：鞏固練習活動過程與效果：將書中的隨堂練習提前到此，是為了及時鞏固判定定理。引導學生進行分析。已知：如圖，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求證：AB=AC證明：ADBC，1=B(兩直線平行，同位角相等)，2=C(兩直線平行，內錯角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角對等邊)第四環節：適時提問 導出反證法活動過程與效果：我

28、們類比歸納獲得一個數學結論，“反過來”思考問題也獲得了一個數學結論如果否定命題的條件，是否也可獲得一個數學結論嗎?我們一起來“想一想”：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等你認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?有學生提出：“我認為這個結論是成立的因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發現，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因為它的條件和結論都是否定的”的確如此像這種從正面人手很難證明的結論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?我們來看一位同學的想法：如圖，在ABC中，已知BC，此時AB與Ac要么相等，要么不相等假設AB

29、=AC，那么根據“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法，假設有兩個角是直角，不妨設A=90°，B=90°，可得A+B=180°，但ABA+B+C=180°, “A+B=180°”與“A+B+C=180°”相矛盾，因此ABC中不可能有兩個直角引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢?引出反證法。都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題

30、的結論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊”，最后結合實例了解了反證法的含義第五環節：拓展延伸 活動過程與效果：在一節課結束之際，為培養學生思維的綜合性、靈活性特安排了2個練習。一個是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉換求圖形的周長。另一個是一個開放性的問題，考察學生多角度多維度思考問題的能力。學生在獨立思考的基礎上再小組交流。NMCBAD1.如圖，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，設AB=12，AC=18，求AMN的周長. .2.現有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發,

31、將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數? 第六環節：課堂小結（1）本節課學習了哪些內容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？ （3）結合本節課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區別和聯系（4）舉例談談用反證法說理的基本思路1. 等腰三角形（四）一、學生知識狀況分析在前兩節課，學生已經經歷了獨立探索發現定理的過程，并能基本規范地證明相關命題，這些都為本節課進一步探索發現相關定理提供了較好的知識基礎和活動經驗基礎。二、教學任務分析本節課，學生將探究等邊三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性質定理，應該說，這兩個定理的證明和探索相對而言，并不復雜，更多的是

32、前面定理的直接運用，因此，本節課可以更多地讓學生自主探索。但第一個定理證明中，需要分類討論，因此注意揭示其中的分類思想；第2個定理結論比較特殊，直接從定理條件出發，學生一般難能得到這個結論，因此，教科書中設計了一個學生活動，在活動的基礎上“無意”中發現了其特殊的結論，這實際上也是一種數學發現的方法，因此也應注意讓學生體會。為此，確定本節課的教學目標：1知識目標理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30º角的直角三角形性質及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。2能力目標經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維經歷實際操作，探索含有3

33、0º角的直角三角形性質及其推理證明過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學生的能力。3情感與價值觀要求積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學重點等邊三角形判定定理的發現與證明.含30°角的直角三角形的性質定理的發現與證明.4教學難點含30°角的直角三角形性質定理的探索與證明.引導學生全面、周到地思考問題.三、教學過程分析學具準備：兩個帶30度角的三角板。本節課設計了六個教學環節：第二環節：自主探索；第三環節：實際操作 提出

34、問題；第四環節：變式訓練 鞏固新知；第五環節：暢談收獲 課時小結；第六環節：布置作業。第一環節：提問問題，引入新課活動內容：教師回顧前面等腰三角形的性質和判定定理的基礎上，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質呢？又如何判別一個三角形是等腰三角形呢？從而引入新課?；顒幽康模洪_門見山，引入新課，同時回顧，也為后續探索提供了鋪墊?；顒有Ч涸诶蠋煹囊龑拢话銓W生都能得出等邊三角形的性質；對于等邊三角形的判別，學生可能會出現多種情況，如直接從等邊三角形性質出發，當然也可能有學生考慮分步進行，現確定它是等腰三角形，再增補條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時提出問題：如果

35、已知一個三角形是等邊三角形的基礎上，如何確定它是等邊三角形呢？下面是實際教學中的部分師生活動實況：生等腰三角形已經有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底相等，等腰三角形就成了等邊三角形生等邊三角形的三個內角都相等，且分別都等于60°我認為等腰三角形的三個內角都等于60°，等腰三角形就是等邊三角形了(此時，部分同學同意此生的看法，部分同學不同意此生的看法，引起激烈地爭論教師可讓同學代表充分發表自己的看法)生我不同意這位同學的看法因為任何一個三角形滿足這個條件都是等邊三角形根據等角對等邊，三個內角都是60°，所以它們所對的邊一定相等但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什

36、么條件時便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費!師給三個角都是60°，這個條件的確有點浪費，那么給什么條件不浪費呢?下面同學們可在小組內交流自己的看法(2)你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結論嗎?把你的證明思路與同伴交流(教師應給學生自主探索、思考的時間)第二環節：自主探索活動內容：學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結論，教師適時要求學生給出相對規范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導學生總結出下表：性質判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中

37、線、高互相重合有一角是60°等邊三角形三個角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形活動目的：經歷定理的探究過程，即明確有關定理，同時提高學生的自主探究能力?；顒幼⒁馐马椗c效果：由于有了第1環節的鋪墊，學生多能探究出：頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形；底角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；三條邊都相等的三角形是等邊三角形。對于前兩個定理的形式相近，教師可以進一步提出要求：能否用更簡捷的語言描述這個結論嗎?從而引導學生得出：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。在學生得出這些結論的基礎上

38、，教師注意引導學生說明道理，給出證明的思路，選擇部分命題，給與嚴格的證明，由于“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”的證明需要分類討論，因此，可以以此問題作為對學生證明的要求，并與同伴交流證明思路并要求學生思考證明中的注意事項，從而點明其中的分類思想，提請學生注意：思考問題要全面、周到第三環節：實際操作 提出問題 活動內容：教師直接提出問題：我們還學習過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相

39、等關系，有哪些線段存在倍數關系，你能得到什么結論？說說你的理由活動目的：讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發現結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半活動注意事項與效果：學生一般可以得出下面兩種圖形：其中第1個圖形是等邊三角形，對于該圖學生也可以得出BD=AB，從而得出：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半注意，教學過程中，教師應注意引導學生說明為什么所得到的三角形是等邊三角形。具體的說明過程可以如下：方法1：因為ABDACD，所以AB=AC又因為RtABD中，BAD=60°，所以ABD=60&#

40、176;，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形方法2：圖(1)中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30°+30°=60°，所以B=C=BAC=60°，即ABC是等邊三角形如果學生不能很快得出30度所對直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標出各個字母，并要求學生思考其中哪些線段直接存在倍數關系，并在將三角板分開，思考從中可以得到什么結論。然后在學生得到該結論的基礎上，再證明該定理。定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BAC=30°

41、求證：BC=AB分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發，延長BC至D，使CD=BC，連接AD證明：在ABC中，ACB=90°，BAC=30°B=60°.延長BC至D，使CD=BC，連接AD(如圖所示)ACB=90°ACB=90°AC=AC，ABCADC(SAS)AB=AD(全等三角形的對應邊相等)ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)BC=BD=AB第四環節：變式訓練 鞏固新知活動1：直接提請學生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°嗎?如果

42、是，請你證明它在師生分析的基礎上，給出證明：已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=AB求證：BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.ACB=90°，ACD=90°又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等邊三角形B=60°在RtABC中，BAC=30°注意事項：該命題的證明中輔助線較復雜，但恰有前面原命題探究活動過程的鋪墊，可以給學生一些啟示，因此，教學中，教師可以引導學生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？活動2 ：

43、呈現例題，在師生分析的基礎上，運用所學的新定理解答例題。例題等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高CD的長.分析：觀察圖形可以發現在RtADC中，AC=2a而DAC是ABC的一個外角，而DAC=×15°=30°，根據在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15°DAC=ABC+ACB=15°+15°=30°CD=AC=×2a= a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)活動目的：在例題求解中鞏固新知。

44、第五環節：暢談收獲 課時小結讓學生對課堂學習進行小結，注意總結具體的知識、結論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。第六環節：布置作業 四、教學反思本節課，難點在于探究兩個定理：“在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”和“直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半”，由于設計了三角板操作的實踐活動，有效地突破了難點，因而，課堂學生思維非常靈活，方法多樣，取得較好的效果。2直角三角形（一）一、學情分析直角三角形全等的條件和勾股定理及其逆定理在前面已由學生通過一些直觀的方法進行了探索，所以學生對這些結論已經

45、有所了解，對于它們，教科書努力將證明的思路展現出來例如以前我們曾用割補法驗證過勾股定理，而此處對勾股定理的證明應以我們認定的幾條公理和由此推出的定理為依據進行，雖然證明的方法有多種，但對學生來說，這些都有難度，因此教科書將其兩種證明方法放在“讀一讀中，供有興趣的學生閱讀，不要求所有學生掌握，其逆定理的證明方法對學生來說也是有一定難度的二、教學目標1知識目標：（1）掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應用定理解決與直角三角形有關的問題。（2）結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立2能力目標： （1）進一步經歷用幾何符號和圖形

46、描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維（2）進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理的能力3教學重點、難點重點了解勾股定理及其逆定理的證明方法結合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立難點勾股定理及其逆定理的證明方法三、教學過程本節課設計了七個教學環節：第一環節：創設情境，引入新課；第二環節：講述新課；第三環節：議一議；第四環節：想一想；第五環節：隨堂練習；第六環節：課時小結；第七環節：課后作業。1：創設情境，引入新課通過問題1，讓學生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質。問題1一個直角三角形房梁如圖所示，其中BCAC， BAC=

47、30°，AB=10 cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分別是B1、C1，那么BC的長是多少? B1C1呢?解：在RtABC中，CAB=30°，AB=10 cm，BCAB×105 cmCB1AB，B+BCB190°又A+B90°BCB1 A30°在RtACB1中，BB1BC×5 cm25 cmAB1ABBB1102.57.5(cm)在RtC1AB1中，A30°B1C1 AB1× 7.53.75(cm)解決這個問題，主要利用了上節課已經證明的“30°角的直角三角形的性質”由此提問：“一般的直角三角

48、形具有什么樣的性質呢?”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數方格和割補圖形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請同學們打開課本P18，閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導出的定理，證明勾股定理的方法2：講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請有興趣的同學課后閱讀（1）勾股定理及其逆定理的證明已知：如圖，在ABC中，C90°，BCa，ACb，ABc求證：a2+b2c2證明：延長CB至D，使BDb，作EBDA，并取BEc，連接ED、AE(如圖)，則ABCBEDBDE90°，EDa(

49、全等三角形的對應角相等，對應邊相等)四邊形ACDE是直角梯形S梯形ACDE(a+b)(a+b) (a+b)2ABE180°(ABCEBD)180°90°90°，ABBESABEc2S梯形ACDESABE+SABC+SBED，(a+b) 2 c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2c2 + ab,a2+b2c2教師用多媒體顯示勾股定理內容，用課件演示勾股定理的條件和結論，并強調具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形

50、”的結論你能證明此結論嗎?師生共同來完成已知：如圖：在ABC中，AB2+AC2BC2求證：ABC是直角三角形分析：要從邊的關系，推出A90°是不容易的，如果能借助于ABC與一個直角三角形全等，而得到A與對應角(構造的三角形的直角)相等，可證證明：作RtABC，使A90°，ABAB，AC、AC(如圖)，則AB2AC2.(勾股定理)AB2AC2BC2，ABAB，ACBC2BC2BCBCABCABC（SSS）AA90°(全等三角形的對應角相等)因此，ABC是直角三角形總結得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形（2）互逆命題和互逆

51、定理觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系?在前面的學習中還有類似的命題嗎?通過觀察，學生會發現：上面兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結論，結論是第二個定理的條件這樣的情況，在前面也曾遇到過例如“兩直線平行，內錯角相等”，交換條件和結論，就得到“內錯角相等，兩直線平行”又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半”交換此定理的條件和結論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”。3：議一議觀察下面三組命題：學生以分組討論形式進行，最后在教師的引導下得

52、出命題與逆命題的區別與聯系。讓學生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區別與聯系，要能夠清晰地分別出一個命題的題設和結論，能夠將一個命題寫出“如果；那么”的形式，以及能夠寫出一個命題的逆命題?；顒又校處煈⒁饨o予適度的引導，學生若出現語言上不嚴謹時，要先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結?；顒訒r可以先讓學生觀察下面三組命題： 如果兩個角是對頂角，那么它們相等如果兩個角相等，那么它們是對頂角如果小明患了肺炎，那么他一定發燒如果小明發燒，那么他一定患了肺炎三角形中相等的邊所對的角相等三角形中相等的角所對的邊相等上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎?與同伴交流不難發現，每組第二個命題的條件

53、是第一個命題的結論，第二個命題的結論是第一個命題的條件在兩個命題中，如果一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題請同學們判斷每組原命題的真假逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第三組中，原命題和逆命題都是真命題由此我們可以發現：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題4：想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結論，然后

54、把結論變換成條件，條件變換成結論，就得到了逆命題請學生寫出命題“如果兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？從而引導學生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎? 并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們為互逆定理.其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理 能舉例說出我們已學過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內錯角相等”與“內錯角相等，兩直線平行”“全等三角形對應邊相等”和“三邊對應相等的三角形全等”、“等邊對等角”和“等角對等邊”等5：隨堂練習說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假;(1

55、)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內旁內角互補；(3)如果ab0，那么a0， b0分析互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應不會有什么困難，尤其是對以“如果那么”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定困難可先分析命題的條件和結論，然后寫出逆命題解：(1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2)同旁內角互補，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3)如果a0，60，那么ab0原命題是假命題，而逆命題是真命題6：課時小結這節課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結合數學和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步發展了演繹推理能力7：課后作業習題15第1、2、3、4題四、教學反思學生對于命題和逆命題中題設和結論分析和把握不是太準，部分學生尤其是在語言表述方面仍然有些欠缺，作為教師要關注到