1、第三章1、已知A = (aj)是n階正定Hermite矩陣，在n維線性空間Cn中向量0 =(x,x2，川,4), P =(yi,y2,l|,yn)定義內積為 3,B) =(xABh(1) 證明在上述定義下，cn是酉空間；(2) 寫出Cn中的Canchy-Schwarz不等式。.2 1-11-32、已知A = |求N(A)的標傕正交基。1 1-10 1提示：即求方程AX =0的基礎解系再正交化單位化。3、已知308：-1-26(1)A= 3-16,(2)A= -10320-5_-1-14_試求酉矩陣U，使得uhau是上三角矩陣。提示：參見教材上的例子4、試證：在Cn上的任何一個正交投影矩陣P是半

2、正定的Hermite矩陣。5、驗證下列矩陣是正規矩陣，并求酉矩陣 U ,使UHAU為對角矩陣，已知13I 1 3/2 i 卜、6_1_ 3V276d)A =1 i6 2731 12 732 10(2) A = 1ii4 3i 4i-6 -2i10 , (3)A=- -4i 4-3i -2-6i 906+2i -2-6i 0-16 / 66、試求正交矩陣Q,使QTAQ為對角矩陣，已知一 2(1)A= -2.0-21-201-20(2)A =10-11-10-111011HT7、試求矢I陣P ,使P AP = E (或P AP = E ),已知1(1)A= -iJ -ii 1 i22-20 1 ,

3、 (2)A= 2 5 -412_2 H 5 _18、設n階酉矩陣U的特征根不等于 1 ,試證：矩陣E +U滿秩，且H = i(E-U)(E+U)是Hermite矩陣。反之，若H是Hermite矩陣，則E + iH滿秩，且U = (E + iH )(E iH ) 是酉矩陣。證明：若|E +U |=0,觀察恨E-U|=0知-1為U的特征值，矛盾，所以矩陣E+U滿H1秩。HH =( ( E- U( E U =( 一 i E) U (HE,段 H H = H ,只要口口.-i E U(EU) i WU -E) (U1 )HH=(E U舊U) E= U E (U-) HH=U U U U-故 H H =

4、 HHermite矩陣只能有實數特征值可得由E+iH = i(iE H) =0知i為H的特征值。由E +iH =0,即 E +iH 滿秩。U HU =(E iH h)4(E -iH H)(E iH )(E - iH )=(E iH )(E - iH )(E iH )(E -iH) 11=(E iH) (E iH)(E -iH)(E iH ) = E9、若S,T分別是實對稱和實反對稱矩陣，且 det(E -T -iS)第0 ,試證：(E +T +iS)(E -T iS)"*是酉矩陣。證明：1 H(E T iS)(E -T -iS) (E T iS)(E -T -iS) =(E T iS

5、) (E -T -iS)(E T iS)(E-T -iS)=(E T iS)二E T iS)(E-T -iS)(E-T -iS)，= EA與B的特征值相同。10、 設A, B均是實對稱矩陣，試證：A與B正交相似的充要條件是證明：相似矩陣有相同的特征值。A與B正交相似n A與B的特征值相同。若A與B的特征值相同，又 A, B均是實對稱矩陣。所以存在正交陣Q, P使QTAQ=A =PTBP= (QPT)T A(QPT) = B 其中 QPT 為正交陣。11、 設A, B均是Hermite矩陣，試證：A與B酉相似的充要條件是 A與B的特征值相同。 證明：同上一題。12、設A, B均是正規矩陣，試證：

6、與B酉相似的充要條件是 A與B的特征值相同。同上一一2.HEr 013、 設A是Hermite矩陣，且 A2 = A,則存在酉矩陣U ,使得U H AU = | r0 0一，一 2 _ .H Er014、 設A是Hermite矩陣，且 A = E ,則存在酉矩陣 U ,使得U AU = |。；0 -J15、 設A為正定Hermite矩陣，B為反Hermite矩陣，試證：AB與BA的特征值實部為 0。 證：A為正定Hermite矩陣=A = LH L , L為滿秩的。EE -AB| =).E -LH LB =|LH|zE -LBLH|(LH )J , (LBLH)H = LBH LH =-LBL

7、HLBLH是反Hermite矩陣，反Hermite矩陣的特征值實部為 0,所以AB的特征值實部為 0。16、 設A, B均是Hermite矩陣，且A正定，試證： AB與BA的特征值都是實數。證明：同上題。 EE - AB = EE - LH LB = LH 九ELBLH(LH)H _ HH . HHH(LBL ) =LB L = LBL , LBL是Hermite矩陣，Hermite矩陣的特征值為頭數，所以AB的特征值是實數。17、設A為半正定Hermite矩陣，且A * 0 ,試證：'A + E > 1。證明：A的特征值為 "之0 ,矩陣的行列式等于特征值之積。A +

8、 E特征值為九i+1,a + e =n(1 +1)>118、 設A為半正定Hermite矩陣，A#0 , B是正定Hermite矩陣，試證：A + B| > BH證明：B=LHL, L為滿秩的。a + b =|a + lhl|=|lh (LH)，AL/+ E L =|(LH),AL,+ e|lHL二(Lh)jALa +e b (LH尸AL為半正定Hermite矩陣，由上題(lD,al' + E >1 ,H 11A + B = (L )-AL- + E B > B19、 設A為正定Hermite矩陣，且AWUn>n,則人=£。證明：存在 U wun

9、x A=UAUH , A=diag(%,H|,Kn),%A0。又 AwUn*' H_E -AHA = U .山 H U ,UH =./= i2 =1= i =1= A-U.Uh -UEU h -E20、 試證：(1)兩個半正定 Hermite矩陣之和是半正定的；(2)半正定 Hermite矩陣與正定Hermite矩陣之和是正定的。提示：考查Xh(A B)X21、 設A是正定Hermite矩陣，B是反Hermite矩陣，試證：A+B是可逆矩陣。提示：A為正定Hermite矩陣=A = LH L , L為滿秩的。A + B = LH| E +(LH尸BL| L (LH)、BL是反Hermi

10、te矩陣，特征值、實部為0, E +(LH),BL/=口(1+九i)00,所 以 A + B| 0022、 設A, B是n階正規矩陣，試證： A與B相似的充要條件是 A與B酉相似。證明：充分性，酉相似=相似。HHn：n必要性，A, B是n階正規矩陣，A=Ui AiUi,B=U2 A2U2,UiU ，又A與B相似，A與B的特征值相同，可設HHHHn：nAi =L , A = U1AlU1 =U1 U2BU2 U1,U2 U1 w UH23、 設A =A,試證：總存在t>0,使得A+tE是正定Hermite矩陣，A-tE是負定 Hermite 矩陣。提示：A的特征值為Ki ,則A+tE的特征

11、值為九i +t24、 設A是正定Hermite矩陣，且A還是酉矩陣，則 A = E。提示：25、 設A、B均為正規矩陣。且 AB = BA ,則AB與BA均為正規矩陣。提示：用P 1 5 0定理， A, B可以同時酉對角化。26、 設AH = A,試證：U =(A + E)(AE)是酉矩陣。提示：U HU =(A E)(AE)iH(A E)(A E) 一 一 一 一 KA -E) (-A E)(A E)(A-E) 二(A E)(A E)(A -E)(A -E),，=E27、設A為n階正規矩陣，%,%,|,Kn為A的特征值，試證：AH A的特征值為I 巾Il%川 1"%|2。提示:uh

12、au =,所以AHA的特征值n nHHHH28、 設A = C ，試證：(1) A A和AA 都是半正定的Hermite矩陣；(2) A A和AA 的非零特征值相同。提示：(1) XH AHAX =(AX)H(AX)>0(2) AHAX="X n AAH AX = %AX ,特征值的重數也相同，參見 P19129、 設A是正規矩陣，試證：(1)若Ar =0 ( r為自然數)，則A=0 ; (2)若A2 = A,則 AH = A ； (3)若 A3 = A2,則 A2 = A。 , HH30、設A = A B - B ,求證以下三條件等價:(1) A+ B為正規矩陣(2) AB =BA(3) (AB)H = -AB解：(1) = (2) (A + B)H(A + B) = (A+B)(A + B)H = AHB + BH A = ABH +BAH 由AH = ABH = -B= AB = BA o(2) = (3) AB=BA，由 AH =A,BH =-B= AB =-BH AH =-(AB)H(2)=(1) (A + B)H(A + B)=(AB)(A + B),由AB =BA= (A-B)(A