1、統籌規劃8-8.統籌規劃.題庫of 22教師版page 7地圖I歸教學目標1 .掌握合理安排時間、地點問題2 .掌握合理布線和調運問題.gim 知識點撥知識點說明:統籌學是一門數學學科，但它在許多的領域都在使用，在生活中有很多事情要去做時，科學的安排好先后順序， 能夠提高我們的工作效率. 我國著名數學家華羅庚教授生前十分重視數學的應用，并親自帶領小分隊推廣優選法、統籌法，使數學直接為國民經濟發展服務，他在中學語文課本中，曾有一篇名為統籌原理的文章詳，細介紹了統籌方法和指導意義. 運 籌學是利用數學來研究人力、物力的運用和籌劃，使它們能發揮最大效率的科學。 它包含的 內容非常廣泛，例如物資調運、

2、場地設置、工作分配、排隊、對策、實驗最優等等，每類問題都有特定的解法。運籌學作為一門科學，要運用各種初等的和高等的數學知識及方法，但是其中分析問題的某些樸素的思想方法，如高效率優先的原則、調整比較的思想、嘗試探索的方法等，都是我們小學生能夠掌握的。這些來源于生活實際的問題，正是啟發同學們學數學、用數學最好的思維鍛煉題目。本講主要講統籌安排問題、排隊問題、最短路線問題、場地設置問題等。這些都是人們 日常生活、工作中經常碰到的問題，怎樣才能把它們安排得更合理，多快好省地辦事，就是 這講涉及的問題。“節省跑空車的距離”是物資調運問題的一個原則。“發生對流的調運方案”不可能是最優方案。“小往大靠，支往

3、干靠”。例題精講板塊一、合理安排時間【例1】 一只平底鍋上最多只能煎兩張餅，用它煎 1張餅需要2分鐘（正面、反面各1分 鐘）.問：煎3張餅需幾分鐘？怎樣煎？【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】因為這只平底鍋上可煎兩只餅， 如果只煎1個餅，顯然需要2分鐘；如果煎2個餅， 仍然需要2分鐘；如果煎3個餅，所以容易想到：先把兩餅一起煎，需 2分鐘；再 煎第3只，仍需2分鐘，共需4分鐘，但這不是最省時間的辦法. 最優方法應該是： 首先煎第1號、第2號餅的正面用1分鐘；其次煎第1號餅的反面及第3號餅的正 面又用1分鐘；最后煎第2號、第3號餅的反面再用1分鐘；這樣總共只用3分鐘 就煎好了 3個餅

4、.（因為每只餅都有正反兩面， 3只餅共6面，1分鐘可煎2面，煎 6面只需3鐘.）【答案】3分鐘【鞏固】 烙餅需要烙它的正、反面，如果烙熟一塊餅的正、反面，各用去 3分鐘，那么用 一次可容下2塊餅的奉來烙21塊餅，至少需要多少分鐘？【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】2000年，小學生數學報，數學邀請賽【解析】先將兩塊餅同時放人鍋內一起烙，3分鐘后兩塊餅都熟了一面，這時取出一塊，第二塊翻個身，再放人第三塊，又烙了 3分鐘，第二塊已烙熟取出，第三塊翻個身， 再將第一塊放入烙另一面，再烙3分鐘，鍋內的兩塊餅均已烙熟.這樣烙 3塊餅，用去9分鐘，所以烙21塊餅，至少用21 3 9 63（

5、分鐘）.【鞏固】一只平底鍋上最多只能煎兩張餅，用它煎 1張餅需要2分鐘（正面、反面各1分 鐘）.問：煎2009張餅需幾分鐘？【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】我們歸納出煎1、2、3個餅分別需要2、2、3分鐘，我們可以繼續往下分析，煎 4 個餅最少需要4分鐘，煎5個餅需要3 2 5分鐘，煎6個餅需要6 2 2 6分鐘， 煎7個餅需要3 4 2 2 7分鐘，那么煎2009個餅至少需要2009分鐘.【答案】2009分鐘【例2】 星期天媽媽要做好多事情。擦玻璃要20分鐘，收拾廚房要15分鐘，洗臟衣服的領子、袖口要10分鐘，打開全自動洗衣機洗衣服要40分鐘，晾衣服要10分鐘。媽媽干完所有這

6、些事情最少用多長時間？【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】如果按照題目告訴的幾件事，一件一件去做，要 95分鐘。要想節約時間，就要想想在哪段時間里閑著，能否利用閑著的時間做其它事。 最合理的安排是：先洗臟衣 服的領子和袖口，接著打開全自動洗衣機洗衣服，在洗衣服的40分鐘內擦玻璃和收拾廚房，最后晾衣服，共需 60分鐘（見下圖）。洗領、袖,洗衣機洗衣服一璇衣服10W > -IQ ”廚房擦玻璃【鞏固】 媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用 2分鐘。小明估算了一下，完成這 些工作要花20分鐘。為了使客人早點喝

7、上茶， 按你認為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了 ？【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】華杯賽，初賽【解析】在這道題里，最合理的安排應該最省時間。 先洗開水壺，接著燒開水，燒上水以后， 小明需要等15分鐘，在這段時間里，他可以洗茶壺，洗茶杯，拿茶葉，水開了就 沏茶，這樣只用16分鐘。【答案】16分鐘【鞏固】 小明在家的一面墻上貼獎狀，一共有32張，給一張獎狀涂?t膠水需要 2分鐘，涂完膠水后要過2分鐘才能往墻上貼，貼的過程需要1分鐘，但是如果等待超過 6分鐘的話膠水就會干掉不能再貼，問：小明最快用多長時間能貼完所有的獎狀？【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】用最短時間

8、貼完所有的獎狀就相當于問如何最節省時間，這道題目應該從反面來考慮：時間如果浪費了，會浪費在等待上， 也就是說如果不想浪費時間， 我們最需要 做的就是不能等待.那么可以試驗一下，當第一張獎狀涂完的時候，這時候不能貼也不能等那么就只能繼續涂下一張，等第二張涂完了就可以繼續貼，但是這樣下去 到了最后一張的時候還是需要等待膠水可以粘貼的一段時間.那么繼續試驗先涂第一張 A然后涂B,然后涂C,這時候A等待了 4分鐘馬上貼上，再涂 一張D馬上貼上已經等待了 5分鐘的B,再涂一張E貼上已經等待6分鐘的C（題目中說等 待超過6分鐘就不可以，那么等于六分鐘應是可以的）這樣一直下去，會使每一張獎狀花費的時間就只有

9、涂的 2分鐘和貼的1分鐘， 那么總時間是96分鐘.【答案】96分鐘【例3】 小明騎在牛背上趕牛過河.共有甲、乙、丙、丁 4頭牛.甲牛過河需要 1分鐘， 乙牛過河需要2分鐘，丙牛過河需要 5分鐘，丁牛過河需要 6分鐘.每次只能趕 兩頭牛過河，那么小明要把這 4頭牛都趕到對岸，最小要用多少分鐘？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】要想用最少的時間，4頭牛都能過河，保證時間最短：第一步：甲與乙一起過河，并由小明騎甲牛返回，共用：2 1 3（分鐘）；第二步：返回原地的小明再騎丙與丁過河后再騎乙牛返回，共用了 6 2 8（分鐘）；第三步：最后小明騎甲與乙一起過河用了2分鐘；所以，小明要把這

10、4頭牛都趕到對岸，最小要用 3 8 2 13（分鐘）.【答案】13分鐘【鞏固】 有四個人在晚上準備通過一座搖搖欲墜的小橋.此橋每次只能讓 2個人同時通過，否則橋會倒塌.過橋的人必須要用到手電筒，不然會一腳踏空.只有一個手電筒.4個人的行走速度不同：小強用1分種就可以過橋， 中強要2分中，大強要5分中，最慢的太強需要10分中.17分鐘后橋就要倒塌了.請問：4個人要用什么方法才能全部安全過橋？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】 小強和中強先過橋，用2分鐘；再用小強把電筒送過去， 用1分鐘，現在由大強跟 太強一起過橋，用 10分鐘，過去以后叫中強把電筒送給小強用2分鐘，最后小強與中強一

11、起過河再用 2分鐘，他們一起用時間： 2 1 10 2 2 17（分鐘），正好 在橋倒塌的時候全部過河.（時間最短過河的原則是：時間長的一起過，時間短的來回過.這樣保證總的時間是最短的 ）.【答案】17分鐘【鞏固】 有一家五口人要在夜晚過一座獨木橋.他們家里的老爺爺行動非常不便，過橋需要12分鐘；孩子們的父親貪吃且不愛運動， 體重嚴重超標，過河需要時間也較長，8分鐘；母親則一直堅持勞作，動作還算敏捷，過橋要 6分鐘；兩個孩子中姐姐需要3分鐘，弟弟只要1分鐘.當時正是初一夜晚又是陰天，不要說月亮，連一 點星光都沒有，真所謂伸手不見五指.所幸的是他們有一盞油燈，同時可以有兩 個人借助燈光過橋.但要

12、命的燈油將盡，這盞燈只能再維持 30分鐘了！他們焦急萬分，該怎樣過橋呢？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】首先姐姐跟弟弟一起過，用時3分鐘，姐姐再回去送油燈，用時 3分鐘，老爺爺跟爸爸一起過河，用時12分鐘，弟弟將燈送回去，用時 1分鐘，弟弟和母親一起過， 用時6分鐘，弟弟送燈過河，用時 1分鐘，最后與姐姐一起過河，用時 3分鐘.一 共用時：3 3 12 1 6 1 3 29 （分鐘）.最后能夠安全全部過河【鞏固】 小強、小明、小紅和小蓉 4個小朋友效游回家時天色已晚，他們來到一條河的東岸，要通過一座小木橋到西岸，但是他們4個人只有一個手電筒，由于橋的承重量小，每次只

13、能過 2人，因此必須先由2個人拿著手電筒過橋，并由 1個人再將 手電筒送回，再由 2個人拿著手電筒過橋直到4人都通過小木橋.已知，小強單獨過橋要1分鐘；小明單獨過橋要1.5分鐘；小紅單獨過橋要 2分鐘；小蓉單獨過橋要2.5分鐘.那么，4個人都通過小木橋，最少要多少分鐘？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】迎春杯【解析】方法一：要想用最少的時間，4人都通過小木橋，可采用讓過橋最快的小強往返走， 將手電筒送回，這樣就能保證時間最短了.第一步：小強與小明一起過橋，并由小強帶手電筒返回，共用： 1.5 1 2.5（分鐘）；第二步：返回原地的小強與小紅過橋后再返回，共用了 2 1 3（分鐘

14、）；第三步：最后小強與小蓉一起過橋用了2.5分鐘；所以，4個人都通過小木橋，最少用 2.5 3 2.5 8（分鐘）.方法二：要想用最少的時間，4人都能過橋，保證時間最短還可以：第一步：小強與小明一起過橋，并由小強帶手電筒返回，共用： 1.5 1 2.5（分鐘）；第二步：返回原地的小紅與小蓉過橋后再由小明帶手電返回，共用了2.5 1.5 4（分鐘）；第三步：最后小強與小小明一起過橋用了1.5分鐘；所以，4個人都通過小木橋，最少用 2.5 4 1.5 8（分鐘）.【答案】8分鐘【例4】6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分

15、鐘.現在只有這一個水龍頭可用， 問怎樣安排這6人的打水次序，可使他們總的等候時間最短？這個最短時間是多 少？【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】第一個人接水時，包括他本人在內，共有6個人等候，第二個人接水時，有 5個人等候；LL第6個人接水時，只有他1個人等候.可見，等候的人越多（一開始時）， 接水時間應當越短， 這樣總的等候時間才會最少，因此，應當把接水時間按從少到多順序排列等候接水，這個最短時間是 3645546372 10 100（分）.【答案】100分【例5】 有甲、乙兩個水龍頭，6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿 6個人的 水桶所需時間分別是 5分鐘、4分鐘、3分

16、鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘.怎么安 排這6個人打水，才能使他們等候的總時間最短，最短的時間是多少？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】一人打水時，其他人需等待，為使總的等待時間盡量短，應讓打水所需時間少的人先打.安排需3分鐘的，然后5分鐘的，最后7分鐘的在甲水龍頭打；安排需 4 分鐘的，然后6分鐘的，最后10分鐘的在乙水龍頭打；在甲水龍頭3分鐘的人打時，有2人等待，占用三人的時間和為 （3 3）分；然后，需5分鐘的人打水，有 1人等待，占用兩人的時間和為（5 2）分；最后，需7分鐘的人打水，無人等待.甲 水龍頭打水的三個人，共用（3 3 5 2 7）分，乙水龍頭的三人，共用 （

17、4 3 6 2 10）分.等候總時間為 25分.【答案】25分【鞏固】 車間里有五臺車床同時出現故障，已知第一臺到第五臺修復時間依次為18, 30,17, 25, 20分鐘，每臺車床停產一分鐘造成經濟損失5元.現有兩名工作效率相同的修理工， 怎樣安排才能使得經濟損失最少？ 怎樣安排才能使從開始維 修到維修結束歷時最短？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】 一人修17、20、30,另一人修18、25 ;最少的經濟損失為：5 （17 3 20 2 30 18 2 25）910（元）. 因為（18 30 17 25 20） 2 55（分），經過組合，一人修需18, 17和20

18、分鐘的三臺,另一人修需30和25分鐘的兩臺，修復時間最短，為 55分鐘【鞏固】 理發室里有甲、乙兩位理發師，同時來了五位顧客，根據他們所要理的發型，分 別需要10、12、15、20和24分鐘，怎樣安排他們理發的順序，才能使這五人理 發和等候所用時間的總和最少？最少時間為多少？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】一人理發時，其他人需等待，為使總的等待時間盡量短，應讓理發所需時間少的人先理.甲先給需10分鐘的人理發，然后 15分鐘的，最后24分鐘的；乙先給需 12 分鐘的人理發，然后20分鐘的，甲給需10分鐘的人理發時，有2人等待，占用三 人的時間和為（10 3）分；然后，甲給需15分

19、鐘的人理發，有 1人等待，占用兩 人的時間和為（15 2）分；最后，甲給需 24分鐘的人理發，無人等待.甲理發的 三個人，共用（10 3 15 2 24）分，乙理發的兩個人，共用 （12 2 20）分.總 的占用時間為（10 3 15 2 24） （12 2 20） 128（分）.【答案】128分【鞏固】 設有十個人各拿著一只提桶同時到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第一個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，.如此下去，當只有兩個水龍頭時，如何巧妙安排這十個人打水，使他們總的費時時間最少？最少的時間是多少？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答所次以有 最了 1 次，9(1 2) 5 (

20、3 4)【答案】125分鐘10 計算4 (5 6) 38計算了 2 時間為【例6】 右圖是一張道路示意圖,(7 8) 2 (9 10) 1 125 分鐘.每段路上的數字表示小明走這段路所需要的時間（單位:分）.小明從A到B最快要幾分鐘?【考點】統籌規劃【題型】解答【關鍵詞】小學數學報【解析】我們采用分析排除法，將道路圖逐步簡化.從A到O有兩條路，-C- O用6分鐘， A- F- O用7分鐘，排除后者，可將 FO抹去，但AF不能抹去，因為從 A到B還有 其它路線經過 AF,簡化為圖.從 A到E還剩兩條路， Z O GA E用12分鐘， Z O Of E用10分鐘，排除前者，可將 CG GE抹去，

21、簡化為圖.從 A到D還 剩兩條路，Z Cf O D用12分鐘，Z HR D用13分鐘，排除后者，可將 AH HD 抹去，簡化為圖.從A到B還剩兩條路，Z O8 E- B用17分鐘，A-O8 D-B用16分鐘，排除前者，可將 OE EB抹去，簡化為圖.小明按C- M AB走最快，用16分鐘.【答案】用16分鐘【鞏固】 下圖為某三岔路交通環島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口C的機動車輛數如圖所示,圖中為，X2, X3分別表示該時段單位時間通過路段A B,ABBC CA的機動車輛數（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等八問：X1 , X2 , X3的大小關系.【

22、考點】統籌規劃【關鍵詞】十一學校考題【難度】3星【題型】解答X1X355 50x35, x2 x1 20 30 x110 , X3 x2 35 30 x2 5,所以X2X3X1X2X3X1【例7】 某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去，另一種是乘公共汽車去.顯然公共汽車的速度比自行車速度快，但乘公共汽車有一個等候時間（候車時間可以看成是固定不變的），在任何情況下，他總是采用時間最少的最佳方案.下表表示他到達A、B、C三地采用最佳方案所需要的時間 .為了到達離住地8千米的地方， 他需要花多少時間？并簡述理由 .目的地目的地距住地的墨程A地2仔12分計3日H硼4T18 SW【考點】統籌規劃【

23、難度】3星【題型】解答【解析】顯然A、B兩地所需時間與路程不成比例，所以不可能為A、B兩地均為騎自行車.如果A、B兩地均采用公共汽車，那么到達B地比A地多1千米，多用15.5 12=3.5分鐘，即公共汽車行 1千米需3.5分鐘，則等候時間為 12 2X3.5= 5分鐘.當達到A、B兩個較短的路程都采用公共汽車，那么到達C地采用的方式一定也是公共汽車，于是所需時間為4X 3.5+5= 19分鐘，與題中條件不符，所以開始假設不成立；.所以只能是到達 A采用自行車，到達B采用公共汽車，則C地采用的也是公共由C地比B地多1千米，多1815.5=2.5分鐘，那么行 3千米所需時間為 3X2.5= 7.5

24、 分鐘，等候時間為15.5 7.5 =8分鐘.那么行至8千米的路程及等候時間為 8X2.5+8=28 分鐘.【答案】28分鐘板塊二、合理安排地點【例8】 如圖，在街道上有 A、R C D E、F六棟居民樓，現在設立一個公交站，要想 使居民到達車站的距離之和最短，車站應該設在何處？.*.ABCDEF【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】 找最中間的那棟樓，可這時最中間的樓有兩個， 這該怎么辦呢？其實經過研究發現， 建在這兩個樓都一樣，路程和最短，所以可以建在 C或D .如果我們只要求建在 這條道路上的一點即可，那么CD之間及點 C D均可.【答案】C0間及點C、D均可【鞏固】 如圖，在

25、街道上有 A R C H E五棟居民樓，為使五棟樓的居民到車站的距離 之和最短，車站應立于何處？ABC【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】條件中只有五個樓的名字和排列順序，樓與樓的距離也不確定. 那么我們先來分析一下A E兩個點，不論這個車站放在 AE之間的那一點，A到車站的距離加上 E到 車站的距離就是AE的長度，也就是說車站放在哪兒不會影響這兩個點到車站的距 離之和；那么我們就使其他的3個點到車站的距離之和最短，再看為了使B、D兩個到車站的距離之和小，應把車站放在BD之間.同理，只要是在 BD之間，B、D到車站的距離之和也是不變的，等于BD最后，只需要考慮 C點到車站的距離最近

26、就行了.那么當然也就是把車站放在 C點了.這里就體現了一個“向中心靠攏的 思想”.【答案】C點【鞏固】 如圖，在街道上有 A B、C H E五棟居民樓，每棟樓里每天都有 20個人要坐車, 現在設立一個公交站，要想使居民到達車站的距離之和最短，應該設在何處？«««4eABCDE【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】如果不考慮樓里坐車的人數， 應該把車站放在 C點.因為每棟樓的人數相同所以數 量不影響選 擇，所以答案不影響，應該把車站放在C點.【答案】C點【鞏固】有1993名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規，問完成任務后應該在公路的什么地點集合，可以

27、使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總 和最小？【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】由于1993數目較大，不易解決.我們先從人數較小的情況入手.當只有2個人時，設2人宣傳崗位分別為 A1和A2 （如上圖），顯然集合地點選在 A1點或A2點或者A1A2之間的任何一個地點都可以.因為由A1、A2出發的人走過的路程總和都等于A1A2.% i 8 15C當有3個人時，則集合地點應該選在A2點（如上圖）.因為若集合地點選在 A1A2之間的B點，那時3個人所走的路程總和是 A1B+A2B+A3B= （A1B+A3B） +A2B=A1A3+A2B;若集合地點選在 A2A3之間的C點，那

28、時3個人所走的路程總和是： A1C+A2C+A3C= （A1C+A3。 +A2O=A1A3+A2C;而集合地點選在 A2點時，3個人所走路程總和僅是 A1A3.當然 A1A3比 A1A3+A2B及 A1A3+A2C都小.當有4個人時，由于集合地點無論選在 A1A4之間的任何位置，對 A1、A4崗位上的人來說， 這2人走的路程和都是 A1A4 （如上圖）.因此，集合地點的選取只影響 A2、A3崗位上的人 所走的路程，這就是說，問題轉化為“2個人站在A2和A3崗位的情形”.根據上面已討論的結論可知，集合地點應選在 A2或A3或者A2A3之間任何地點.當有5個人時，類似地可把問題轉化為“ 3 個人站

29、在A2、A3、A4崗位的情形”（如下圖） 根據已討論的結論可知，集合地點應選在A3點.% A 2 % S S依此遞推下去，我們就得到一個規律：當有偶數（2n）個人時，集合地點應選在中間一段AnAr+1之間的任何地點（包括An和Ar+1點）；當有奇數（2n+1）個人時，集合地點應選在正中間崗位Ar+1點.本題有1993=2X 996+1 （奇數）個人，因此集合地點應選在從某一端數起第997個崗位處.【答案】第997個崗位處【鞏固】 道路沿線有一些垃圾回收站點，現需要將每個回收站點的垃圾都運送到一個處理 場（處理場也可以設在站點上 ），希望所有站點到處理場的距離總和最短.若有 2個回收站點，請在下

30、面線上用標出這個處理場的位置.站點1站點2若有3個回收站點，請在下面線上用標出這個處理場的位置.站點1 11站點2|站點3若有4個回收站點，請在下面線上用標出這個處理場的位置.站點1 站點2 站點3站點4若有5個回收站點，請在下面線上用標出這個處理場的位置.*««V<站點1 |站點2|站點3|站點4|站點5若有59個回收站點，請說明這個處理場應設的位置.【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】站點1與站點2間的任意一點站點2站點2與站點3間的任意一點站點3站點30【例9】 在一條公路上每隔100千米，有一個倉庫（如圖）共有5個倉庫，一號倉庫存有10

31、噸貨物，二號倉庫有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其余兩個倉庫是空的.現 在想把所以的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1公里需要0.5元運輸費，那么最少要多少運費才行？一 二三四五IIIIIIIIlI10噸20噸40噸【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】做此類問題時我們都可以根據“小往大處靠”的原則進行判斷，觀察可知五號倉的最大，所以先把一號倉庫的10噸貨物往五號方向靠攏，先集中到二號倉庫，那么現在二號倉庫中就有 30噸貨物了.再根據“小往大處靠”的原則，那么這30噸貨物應該集中到五號倉庫中.所以所需的費用是：10 0.5 100 500（元），30 0.5 300

32、4500（元），共需要：500 4500 5000 （元）.【答案】5000元【鞏固】 在一條公路上，每隔10千米有一座倉庫（如圖），共有五座，圖中數字表示各倉庫 庫存貨物的重量.現在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運 輸1千米需要運費0.9元，那么集中到哪個倉庫運費最少？1Q噸60噸DE【題型】解答10抑3吸2吸ABC 【考點】統籌規劃【難度】3星【關鍵詞】人大附中，分班考試這道題可以用“小往大處靠”的原則來解決. 處理小勢力，A往E那個方向集中，集中到 大，所以繼續向E方向集中，B點集中到 是60噸，那么C E誰看成大勢力都可以. 以C點也要集中到D點.確定了集中地點， （

33、10 30 30 20 20 10 60 10） 0.9 1530 元E點60噸，存的貨物最多，那么先B, B變成40噸，判斷仍是E的勢力最 C點，C點變成60噸.此時C點和E點都 例如把E點集中到D點，D點是70噸.所 運輸費用也就容易求了.運費最少為：1530（元）.【鞏固】 在一條公路上，每隔 100千米有一座倉庫，共有 8座，圖中數字表示各倉庫庫存 貨物的重量（單位：噸），其中C G為空倉庫.現在要把所有的貨物集中存入一個 倉庫里，如果每噸貨物運輸 1千米需要0.5元，那么集中到那個倉庫中運費最少， 需要多少元運費？ABCDEFGH10302051060【考點】統籌規劃【難度】3星【題

34、型】解答【解析】根據這道題可以用“小往大處靠”的原則來解決.H點60噸，存的貨物最多，那么先處理小勢力，A往H那個方向集中，集中到 B, B變成40噸，判斷仍是 H的勢 力最大，所以繼續向 H方向集中，B點集中到D點，D點變成60噸.此時D點和H 點都是60噸，那么D H誰看成大勢力都可以.例如把 H點集中到F點，F點是70噸.把D點集中到E點，E點是65噸所以E點也要集中到F點.確定了集中地點 為 F 點，運輸費用也就容易求了. 運費最少為： （10 500 30 400 20 200 5 100 60 200） 0.5 16750（元）.【答案】16750元【鞏固】一條直街上有5棟樓，從左

35、到右編號為 1, 2, 3, 4, 5,相鄰兩樓的距離都是50米.第1號樓有1名職工在A廠上班，第2號樓有2名職工在A廠上班，第 5號樓有5名職工在A廠上班.A廠計劃在直街上建一通勤車站接送這5棟樓的職工上下班，為使這些職工到通勤車站所走的路程之和最小，車站應建在距1號樓多少米處？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】我愛數學夏令營【解析】如圖所示，“小往大處靠”的原則來解決，故應建在4號樓的位置，距1號1H 150米處.12345小結1對于集中貨物的，題，涉及至了重量，而集中到何小起決定作用的是貨物的重量, 而至于距離，僅僅只是為了計算所以對于這類問題老師要強調“小往大處靠”的原

36、 則.【答案】4號樓【例10】 某個班的20個學生的家庭住址在城市中的分布如圖（圓點是各個學生的家庭住 址，線段是街道），如果這個班的學生舉行一個聚會，為了盡量減少每個學生行 走路程總和，那么他們應該選擇 十字路口附近的地點。（橫線上填十 字路口的坐標，如 由所在的十字路口的坐標為 D3）。【考點】統籌規劃【關鍵詞】學而思杯,【難度】3星6年級，1試【題型】解答*一*LJ* .*42345678第10題B C D E F G【解析】先從橫著考慮，學生的分布情況如下那么應該選擇 C和D之間，觀察C和D之間的兩點靠 C近一點，所以選 C節再從豎著考慮，學生分布情況如下12345678g99-154

37、11431應該選在節點4上綜上所述，答案應該是 C4。【答案】C4【例11】右圖是A, B, C, D, E五個村之間的道路示意圖，。中數字是各村要上學的學生 人數，道路上的數表示兩村之間的距離（單位：千米）.現在要在五村之中選一個村建立一所小學.為使所有學生到學校的總距離最短，試確定最合理的方案.【考點】統籌規劃8-8.統籌規劃.題庫of 22教師版page 14【解析】“小往大處靠”的原則來解決，A點向C點集中，因為根據“小往大處靠”的原則，雖然A點40人比C點20人多，但是人最多的點是E點，所以大方向是向 E點的方向靠攏.那么 B點當然也要向 C點靠攏.C點就有80人了.此時人數最多 的

38、點變成了 C點了. D E又變成小勢力了，因此還是“小往大處靠”的原則，看 大方向，E點要向D點靠攏.此時D點變成85人了.那么D點比此時C點的80人 多了. C點又變成小勢力了.所以最終要集中在D點.也就是學校要設在 D點.【答案】D點【鞏固】 有七個村莊 A,自，L , A7分布在公路兩側（見右圖），由一些小路與公路相連， 要在公路上設一個汽車站， 要使汽車站到各村莊的距離和最小，車站應設在哪里？【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】三帆中學，分班考試【解析】 本題可簡化為“ B, C, D, E, F處分別站著1, 1, 2, 2, 1個人（見右圖），求一點， 使所有人走到這

39、一點的距離和最小”.顯然D E最大，靠攏完的結果變成了 D 4,E 3,所以車站設在D點.【答案】D點【鞏固】某鄉共有六塊麥地，每塊麥地的產量如右圖.試問麥場設在彳S處最好？（運輸總量 的千克千米數越小越好.）【考點】統籌規劃【題型】解答【解析】依據“小往大靠”，“支往干靠”.我們不妨以F-E-CD為干，顯然麥場設在 C點.當然你以其他路經為干，都會的到同樣結果.譬如：若以F-E-GA為干，那么依據“支往干靠”，D就靠到C, B移到G,當作“干”上一成員.【答案】C點【例1】（）右圖是 A, B, C, D, E五個村之間的道路示意圖，。中數字是各村要上學的 學生人數，道路上的數表示兩村之間的

40、距離（單位：千米）.現在要在五村之中選一個村建立一所小學.為使所有學生到學校的總距離最短，試確定最合理的方案【解析】“小往大處靠”的原則來解決， A點向C點集中，因為根據“小往大處靠”的原則， 雖然A點40人比C點20人多，但是人最多的點是 E點，所以大方向是向E點的方 向靠攏.那么B點當然也要向C點靠攏.C點就有80人了 .此時人數最多的點變成 了 C點了 .D、E又變成小勢力了，因此還是“小往大處靠”的原則，看大方向，E點要向D點靠攏.此時D點變成85人了.那么D點比此時C點的80人多了 .C點又 變成小勢力了 .所以最終要集中在 D點.也就是學校要設在 D點.說明：對于集中貨物的問題，涉

41、及到了重量，而集中到何處起決定作用的是貨物的重量，而 至于距離，僅僅只是為了計算所以對于這類問題老師要強調“小往大處靠”的原則.板塊三、合理布線和調運【例12】 新建的自來水廠要給沿公路的十個村莊供應自來水（如下圖，距離單位為千米 ），要安裝水管有粗細兩種選擇，粗管足夠供應所有村莊使用，細管只能供一個村用 水，粗管每千米要用 8000元，細管每千米要 2000元，如果粗細管適當搭配，互 相連接，可以降低費用，怎樣安排才能使這項工程費用最低？費用是多少元？ 自來少廠A BCDE FGH J30524232225【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】由于細管相對于粗管來講，價錢要少一些，

42、因此先假設都用細管. 那么從自來水廠到J村要鋪設10根細管，自來水廠到I村要鋪設9根細管，依次下去，我們用圖 表示鋪細管的情況.因為粗管是細管價格的 4倍，如果用細管代替粗管重疊數超過 4條費用更大，僅在3條或3條以下才會節約，而細管只能供應一村用水，所以粗 管從水廠一直接到 G村為止，再用三條細管連接 H、I、J三個村，這樣費用最低， 總費用：8000 （30 5 2 4 2 3 2） 2000 （2 3 2 2 5） 414000 （元）.【答案】414000元【例13】 有十個村莊，座落在從縣城出發的一條公路上，現要安裝水管，從縣城供各村自來水.可以用粗、細兩種水管，粗管每千米 7000

43、元，細管每千米 2000元.粗管足夠供應所有各村用水，細管只能供應一個村用水，各村與縣城間距離如右圖所示（圖中單位是千米），現要求按最節約的方法鋪設，總費用是多少？30524232225III-N II I縣城A1A2 A3 A4 A5 A6A7A8A9 A10【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】由于細管相對于粗管來講， 價錢要少一些，因此先假設都用細管. 那么從縣城到 A 村要鋪設10根細管，Ai村到外村要鋪設9根細管，依次下去，我們用圖表示鋪細 管的情況.因為粗管每千米7000元，細管每千米2000元，所以4根細管的價錢將大于1根粗管的價錢.這 樣一來，凡是超過 3根細管的路段

44、，都應改鋪粗管.因此，從縣城到A7村鋪1根粗管，A7村到七村鋪3根細管，&村到與村鋪2根細管，A村 到Aw村鋪1根細管.總費用為：7000 （30 5 2 4 2 3 2） 2000 （2 3 2 2 5 1） 36600（元）. 【答案】36600元【例14】北京、洛陽分別有11臺和5臺完全相同的機器，準備給杭州7臺、西安9臺，每臺機器的運費如右表，如何調運能使總運費最省？運費/無、到站杭州西安北京8001000700600【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：由表中看出，北京到杭州的運費比到西安便宜，而洛陽正相反，到西安的運費比到杭州便宜.所以，北京的機器應盡量運

45、往杭州，洛陽的機器應盡量運往西安.最佳的調運方案為：北京發往杭州 7臺，發往西安4臺，洛陽發往西安5 臺.總運費為 800 7 1000 4 600 5 12600（元）.方法二：本題也可以采用下面的代數方法解決，設北京調運杭州 x臺，調運西安（11 x） 臺，則洛陽應調運杭州（7 x）臺，調運西安9 （11 x） x 2（臺）， 總運費W 800x 100011 x） 7007 x） 600x 2） 800x 11000 1000x 4900700x 600x 1200 14700 300x,因為要使總運費 14700 300x 最小，需要 300x 最大.由于x是北京調運杭州的臺數，且 x

46、<7,所以當x 7時，總運費 W 14700 300 7 12600（元）最小.由x 7可知，北京調運杭州7臺，調運西安4臺，洛陽調運杭州 0臺，調運西安5臺.【答案】北京調運杭州 7臺，調運西安4臺，洛陽調運杭州 0臺，調運西安5臺【鞏固】 北京、上海分別有10臺和6臺完全相同的機器，準備給武漢11臺，西安5臺，每臺機器的運費如右表，如何調運能使總運費最省？運運費/入4站武漢西安北京500600上海7001000【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】與例題不同的是，北京、上海到西安的運費都比到武漢的高，沒有出現一高一低的 情況.此時，可以通過比較運輸中的差價大小來決定最佳方案

47、. 上表中第一行的差價為 600 500 100（元），第二行的差價為1000 700 300（元）.說 明從北京給西安多發 1臺機器要多付運費100元，而從上海給西安多發1臺機器要多付運費300元.所以應盡量把北京的產品運往西安，而西安只要5臺，于是可知北京調往西安5臺，其余5臺調往武漢，上海6臺全部調往武漢，總運費為： 600 5 500 5 700 6 9700（元）. 如果改為看表中的列，那么由于第一列的差價為700 500 200（元），第二列差價為1000 600 400（元），所以武漢需要的機器應盡量從上海調運，而上海只有6臺，不足的部分由北京調運.這個結論同前面得到的相同.【答

48、案】北京調往西安 5臺，其余5臺調往武漢，上海 6臺全部調往武漢【例15】北京和上海同時制成了電子計算機若干臺，除了供應本地外，北京可以支援外地10臺，上海可以支持外地 4臺.現決定給重慶8臺，漢口 6臺，若每臺計算機的 運費如右表，上海和北京制造的機器完全相同，應該怎樣調運，才能使總的運費 最省？最省的運費是多少？運費/完7站漢口重慶北京48上海35【考點】統籌規劃【難度】3星【題型】解答【解析】 方法一：本題中雖然上海到漢口的運費最少，只有3百元，但是上海到漢口比北京到漢口只節省（4 3 ）1百元，相比之下，上海到重慶比北京到重慶要節省（8 5 ）3百元.所以重慶所需臺數應由上海盡量滿足，

49、即上海的4臺全部調運重慶，北京再補給重慶4臺，漢口的6臺從北京調運.總運費為：5 4 8 4 4 6 76（百元）方法二：本題也可以采用下面的代數方法解決，設北京調運漢口 x臺，調運重慶（10 x）臺，則上海應調運漢口 （6 x）臺，調運重慶4 （6 x） x 2（臺），總運費W 4x 810 x） 3（6 x） 5（x 2） 4x 80 8x 18 3x 5x 10 88 2x,因 為要使總運費88 2x最小，需要2x最大.由于x是北京調運漢口的臺數， 且x 6, 所以當x 6時，總運費 W 88 2 6 76（百元）最小.由x 6可知，北京調運漢 口 6臺，調運重慶4臺，上海調運漢口 0臺

50、，調運重慶4臺.【答案】北京調運漢口 6臺，調運重慶4臺，上海調運漢口 0臺，調運重慶4臺.76百元【例16】 北倉庫有貨物35噸，南倉庫有貨物25噸，需要運到甲、乙、丙三個工廠中去.其 中甲工廠需要 28噸，乙工廠需要 12噸，丙工廠需要 20噸.兩個倉庫與各工廠 之間的距離如圖所示（單位：公里）.已知運輸每噸貨物 1公里的費用是1元，那 么將貨物按要求運入各工廠的最小費用是多少元？【考點】統籌規劃【題型】解答【解析】 通過分析將題目給的圖形先轉化為下圖,我們仍可以通過差價的大小來決定最佳方案.觀察上表各列兩數之差，最大的是第三列16 12 4,因此北倉庫的貨物盡可能的供應丙工廠，即北倉庫供

51、應丙20噸.在剩下的兩列中，第一列的差大于第二列的差，所以南倉庫的貨物盡可能的供應甲工廠，即南倉庫供應甲25噸.因為南倉庫貨物分配完，其余的甲需要的28 25 3 （噸）由北倉庫供應，即北倉庫供給丙后剩下的15噸貨物3噸給甲15 3 12（噸）給乙，相應的運費為：3 10 12 6 20 12 25 8 542（元）.運費/云站甲乙丙北倉庫io612南倉庫8516捶費/完、個站甲乙丙北倉庫35噸31220南倉庫25噸258-8.統籌規劃.題庫of 22教師版page 19【答案】542元【例17】A B兩個糧店分別有70噸和60噸大米，甲、乙、丙三個居民點分別需要30噸、40噸和50噸大米.從

52、A, B兩糧店每運1噸大米到三個居民點的運費如右圖所示： 如何調運才能使運費最少？運費/克、個站甲乙丙A04030B30020運費/羌、站甲乙丙A273B3105【考點】統籌規劃【難度】2星【題型】解答【解析】A, B糧店共有大米 70 60 130（噸），甲、乙、丙三個居民點需要大米30 40 50 120（噸），供應量與需求量不相等，但是我們仍可以通過差價的大小 來決定最佳方案.觀察上表各列兩數之差，最大的是第二列 10 7 3,因此A糧 店的大米應盡可能多地供應乙，即A供應乙40噸.在剩下的兩列中，第三列的差大于第一列的差，所以 A糧店剩下的30噸應全部供應丙.因為 A糧店的的大米已 分

53、配完，其余的由B糧店供應，即B供應甲30噸，供應丙20噸，調運方案如右表， 相應的運費為： 30 3 40 7 30 3 20 5 560（元）.【答案】560元【例18】40名學生參加義務植樹活動，任務是：挖樹坑，運樹苗。這40名學生可分為甲、乙、丙三類，每類學生的勞動效率如右表所示。如果他們的任務是：挖樹坑30個，運樹苗不限，那么應如何安排人員才能既完成挖樹坑的任務，又使樹苗運得【考點】統籌規劃最多？盒挖樹就1個/人）通樹苗«/A）人強（房）甲臭22015已臭1.21015商類0.8710【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】希望杯，五年級，二試，第 19題【解析】方法一：這三類學生

54、挖樹坑的相對效率是甲類：挖樹坑0.1,;20運樹苗挖樹坑1.2乙類：0.12運樹苗10丙類:挖樹坑 0.8運樹苗 10.114。由上可知，乙類學生挖樹坑的相對效率最高，其次是丙類學生，故應先安排乙類學生挖樹坑，可挖1.2 X 15=18（個），再安排丙類學生挖樹坑，可挖 0.8 X 10=8（個），還差30-18-8=4（個） 樹坑，由兩名甲類學生丟挖，這樣就能完成挖樹坑的任務，其余13名甲類學生運樹苗，可以運 13X20=260（棵）。方法二：設甲、乙、丙三類學生中挖樹坑的分別有x人、y人、z人，其中0<x<15, 0<y<15,0<z<10,則甲、乙、丙三類學生中運樹苗的分別有（15-x）人、（15-y）人、（10-z）人。要完成挖樹坑的任務， 應有2x+1.2y+0.8z=30,即20x >300-12 y-8 z,在完成挖樹坑任務的同時， 運樹苗的數量為 P=20（15- x）+10（15- y）+7（10-2）=520-20 x- lOy-7 z 將式子整理解得 p=520-300+12y+8z-lOy-7z=220