1、直線的參數方程教學設計：人教A 版選修 44執教人：冷天存學校：云南師范大學實驗中學郵箱：354170862.com2018 年 10 月 12 日1直線的參數方程云南師范大學實驗中學冷天存：人教版普通高中課程標準實驗教科書數學（A 版）選修 44 坐標系與參數方程 P35P39，分兩節課完成，本教案是第一節課，內容主要在 P35P37內容本節內容是人教 A 版選修 44 第二講第三部分的內容直線是學生最熟悉的幾何圖形，在教材必修 2中學生已經學習了直線的五種方程.教科書先引導學生回顧了用傾斜角的正切表示的直線的點斜式方程，這是為推導直線的參數方程做準備，從代數變換的角度看，P35 的直線參&

2、#236;x = x0 +t cosa ,數方程í y = y（t為參數）就是點斜式的變形在提出“如何建立直線的參數方程？”后，教+t sin a.î0材引導學生借助向量工具探究直線的參數方程這一過程，教師引導學生通過類比、聯想的思想方法，將直線和學情分析方向向量起來，引入恰當的參數，從而建立直線的參數方程學生對事物的認識多是從直觀到抽象，從感性到理性而對事物的理解多以的經驗為基礎來建構或解釋現象，而并不是把知識從外界直接搬到記憶中高二學生的學習過程更是如此之前圓錐曲線的參數方程學生已經熟悉，也能夠理解各種曲線的參數的幾何意義，但是直線的參數方程還能否用角作為參數呢？這是完

3、全不同的，應該選擇那個量作為直線的參數呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修從未學習過，所以，在講本節課之前，提前對方向向量的知識作了補充學習，教學方法與教學節課的學習提前進行知識儲備教學方法：啟發探究式（教師設問引導，學生探究、合作解決）教學教學目標：多輔助教學（利用計算機和實物投影輔助教學）1利用直線的方向向量推導直線的參數方程，體會直線的普通方程與參數方程的；2. 理解并掌握直線的參數方程中參數t 的幾何意義；3. 通過直線參數方程的探究，體會參數的形成過程，培養嚴密地思考和嚴謹推理的習慣；4. 在學習過程中滲透類比、歸納、推理的數學思想方法，以及引領學生體會“根據幾何性質選取恰當的

4、參數，建立參數方程”的幾何問題代數化的教學重點思想1. 分析直線的幾何條件，選擇恰當的參數寫出直線的參數方程；2. 直線的參數方程中參數t 的幾何意義教學難點1. 直線的參數方程中參數t 的幾何意義；2. 直線參數方程中參數t 的幾何意義的初步應用2教程一課題引入問題 1已知直線l：x + y -1 = 0 與拋物線 y = x2 交于 A ，B 兩點，求M (-1, 2) 到 A ，B 兩點的距離之積解：法ìx + y -1 = 0-1- 5 3 + 5-1+ 5 3 - 5由可知兩交點坐標分別為 A(,) ， B(,)íy = x22222î=(-1- -1-

5、 5 )2 + (2 - 3 + 5 )2 × (-1- -1+ 5 )2 + (2 - 3 -5 )2所以 MA × MB2222=(3 - 5) × (3 + 5) =2 【設計意圖】通過幾何法求解距離，讓學生真切感受“計算過程”的繁瑣，為引課題做鋪墊問題 2有沒有比這種方法更簡便的算法？接著引課題“直線的參數方程”二直線的參數方程（直線的參數的發現與確定）探究 1一般地，設直線l 經過點M（0 x0，y0），且傾斜角為a ，動點M（x，y）為直線上任意一點，直線l 的方向向量記作e =（cosa，sina）,a Î0，p ) ，那么M 0 M /

6、/e ，因此根據共線向量的充要條件可知，存在實數t ，使得M 0 M =te ，即（x - x0，y - y0）=（t cosa，sina），于是，有ìx - x0 = t cosa（t 為參數）í y - y = t sin aî0因此，把上面的方程叫做經過點M（0 x0，y0），傾斜角為a 的直線l 的參數方程直線參數方程的文字表述：直線上任意動點的坐標等于定點相應坐標加上參數乘以傾斜角的正余弦注意：直線上的任意一個點對應一個參數t 【設計意圖】通過教師引導和啟發，由學生或在小組合作的基礎上，借助直線的方向向量建立起直線l 的參數方程這是本節課的其中一個重點和

7、關鍵3三參數t 的幾何意義探究 2直線l 的參數方程中參數t 的幾何意義是什么？方向向量 e =（cosa，sina）， 所以 e = 1 ，又因為 因為 M 0 M =te ，所以 M 0 M= te= te= t于是得到參數t 的幾何意義：直線l 上的動點 M 到定點 M 0 的距離，等于參數t 的絕對值探究 3參數t 的符號又有什么意義呢？當0 < a < p 時， sina > 0 ，所以直線l 的方向向量e 的方向總是向上的（1）若t > 0 ，由t= y - y0 Þ y - y > 0 Þ y > y ，可知點M 在點M 上

8、方，則M M 的方向向上；sina0000（2）若t < 0 ，由t= y - y0 Þ y - y < 0 Þ y < y ，可知點M 在點M 下方，則M M 的方向向下；sina0000（3）若t = 0 ，則 y = y0 ，從而點M 點M 0 重合【設計意圖】引導學生思考討論后獲取共識，直線的參數t 具有兩點意義：符號決定了動點相對于定點的位置，絕對值表示動點到定點的距離為后面參數的應用做鋪墊問題 3如果直線水平放置，那么直線上的定點和動點的起來？【設計意圖】以和我們的那個知識回顧數軸概念，理解數軸上的任意一點對應一個實數，點的坐標的絕對值剛好是對

9、應的點到原點的距離問題 4數軸是怎樣建立的？數軸上任意一點的坐標的幾何意義是什么？規定了、長度和正方向的直線叫數軸。已知數軸上兩點 A ， B 的坐標分別為 x ， x ，則線段 AB 的中點坐標為 xA +xB ， A ， B 兩點間AB2=xA - xBAB的距離為4=tA - tB類似地，有向直線類似于 x 軸，則 A ， B 兩點間的距離為的參數為 tA +tB ，線段 AB 的中點對應AB2【設計意圖】中在有向直線上確定兩點間的距離，以及兩點對應的參數，有些同學不能立刻理解，而用數軸上兩點間的距離以及線段中點的坐標來類比，就可以幫助學生很好的理解，這里類比思維起到了重要作用四直線參數

10、方程的應用例 1已知直線l 過點M (-1, 2) ，傾斜角為 3 p ，寫出直線l 的參數方程4解：因為直線l 過點M (-1, 2) ，且l 的傾斜角為 3 p ，4所以它的參數方程為ìx = -1-2 t,ïï2í（t為參數）2 t.2ï y = 2 +ïî變式 1已知直線l 過點M (-1, 2) ，斜率為-1，寫出直線l 的參數方程解：因為直線l 過點M (-1, 2) ，且l 的斜率為-1，所以它的傾斜角為 3 p ，從而直線的參數方程為4ìx = -1-2 t,ï2（t為參數）í&

11、#239; y = 2 +2 t.2ïî變式 2已知直線l 過點M (-1, 2) ，斜率為-1，且與拋物線 y = x2 交于 A ， B 兩點求線段 AB 的長和點 M (-1, 2) 到 A ， B 兩點的距離之積解：解法一（法）：因為直線l 過點M (-1, 2) ，且l 的斜率為-1，所以它的普通方程為 y - 2 = -(x +1) ，即 x + y -1 = 05ìx + y -1 = 0-1- 5 3 + 5-1+ 5 3 - 5由可知兩交點坐標分別為 A(,) ， B(,)íy = x22222îAB = 10 ， MA &#

12、215; MB= 2 所以解法二（參數法（一）：ìx = -1-2 t,ï2將直線l 的參數方程í（t為參數）代入拋物線方程得ï y = 2 +2 t.2ïît2 +2t - 2 = 0解之得t = -2 + 10= - 2 - 10， t1222AB = MA + MB= t1+ t2= 10 ，所以由參數t 的幾何意義得MA × MB=× t2= 2t1t1t2解法三（參數法（二）：ìx = -1-2 t,ï2將直線l 的參數方程í（t為參數）代入拋物線方程得ï y =

13、2 +2 t.2ïît2 +2t - 2 = 0ì+t =- 2ït所以由定理可知12íïît1t2 = -2所以由參數t 的幾何意義得AB = MA +=+ t=t - t=(t +t )2 - 4t t = 10 ，MBt1212121 2MA × MB=× t2= 2t1t1t2變式 3已知直線l 過點M (-1, 2) ，斜率為-1，且與拋物線 y = x2 交于 A ，B 兩點求線段 AB 中點Q 的坐標解：由變式 2 的解法 2 可知，AB 中點Q 對應的參數t= t1 +t2 =- 2 ，2

14、26ìx = -1-2 t = - 1 ,ï即Q(- 1 , )2 2322所以íï y = 2 +2 t = 3 .22ïî【設計意圖】這是中的一道例題，做了適當的改動，變成兩個問題求解，這樣安排便于學生更容易熟悉直線的參數方程，其次在變式 2 中，設計了三種方法求解，第一種剛好就是課題引入前的引例讓學生在解答的過程中去感受和體會引入參數的優越性，法容易想，但是不容易算，參數法的引入就使問題的計算趨于簡單化，這也是引入參數方程的目的所在例題小結：（1） 體會參數法在解決幾何問題時的方便性；（2） 數軸任意一點對應的坐標 x 相當于直

15、線上任意一點對應的參數t ；= (x +x )2 - 4x x ，直線上任意兩點間的距離（3）數軸上任意兩點 x ，x 之間的距離是12121 2=t - t=(t +t )2 - 4t t 剛好等于 A ， B 兩點對應的參數之差的絕對值AB12121 222練習經過點M (2,1) 作直線l ，交橢圓于 A ， B 兩點如果點M 恰好為線段 AB 的中點，求直線l 的方程 解：解法一：點差法設 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 )，則由題意可知ìx1 + x2 = 4,í y+ y = 2.î 12又因為點 A(x1, y1 ) ， B(x2 ,

16、y2 ) 在橢圓上，則有ì22ïí2ï+= 12ïî 164因此，直線l 的方程為 y = - 1 x + 2 2解法二：參數法設過點M (2,1) 的直線l 的參數方程為ìx = 2 + t cosa,í y = 1+ t sina （t 為參數），將其代入橢圓方程整理得,î7(3sin2 a +1)t2 + 4(cosa + 2sina )t - 8 = 0= - 4(cosa + 2sin a ) t + t所以123sin2 a +1因為點M (2,1) 為線段 AB 的中點，所以 t1 + t2 = 0 ，即2cosa + 2sina = 0于是直線l 的斜率為k = tan a = - 1 2因此，直線l 的方程為 y = - 1 x + 2 2【設計意圖】這是P37 的例 2，學生可能直接應用“點差法”進行求解，但是引入直線的參數方程后，直線的斜率可以應用參數的幾何意義計算，這樣可以是問題的解決更加簡單方便再次感受直線參數方程參數的方便性五本課小結ìx = x0 +t cosa ,1直線的參數方程í