1、第三章 正態分布一、教學大綱要求(一) 掌握內容1正態分布的概念和特征（1）正態分布的概念和兩個參數；（2）正態曲線下面積分布規律。 2標準正態分布 標準正態分布的概念和標準化變換。 3正態分布的應用（1）估計頻數分布；（2）制定參考值范圍。(二) 熟悉內容 標準正態分布表。(三) 了解內容 1利用正態分布進行質量控制2正態分布是許多統計方法的基礎二、教學內容精要(一)正態分布1.正態分布 若的密度函數（頻率曲線）為正態函數（曲線） (3-1)則稱服從正態分布，記號。其中、是兩個不確定常數，是正態分布的參數，不同的、不同的對應不同的正態分布。 正態曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫

2、軸間的面積總等于1。2正態分布的特征服從正態分布的變量的頻數分布由、完全決定。(1)是正態分布的位置參數，描述正態分布的集中趨勢位置。正態分布以為對稱軸，左右完全對稱。正態分布的均數、中位數、眾數相同，均等于。(2)描述正態分布資料數據分布的離散程度，越大，數據分布越分散，越小，數據分布越集中。也稱為是正態分布的形狀參數，越大，曲線越扁平，反之，越小，曲線越瘦高。(二)標準正態分布 1標準正態分布是一種特殊的正態分布，標準正態分布的， ，通常用（或Z）表示服從標準正態分布的變量，記為N（0，）。2標準化變換：，此變換有特性：若服從正態分布，則就服從標準正態分布，故該變換被稱為標準化變換。3.

3、標準正態分布表標準正態分布表中列出了標準正態曲線下從-到范圍內的面積比例。（三）正態曲線下面積分布1實際工作中，正態曲線下橫軸上一定區間的面積反映該區間的例數占總例數的百分比，或變量值落在該區間的概率（概率分布）。不同范圍內正態曲線下的面積可用公式3-2計算。 （3-2）。 2.幾個重要的面積比例軸與正態曲線之間的面積恒等于1。正態曲線下，橫軸區間內的面積為68.27%，橫軸區間內的面積為90.00%，橫軸區間內的面積為95.00%，橫軸區間內的面積為99.00%。（四）正態分布的應用某些醫學現象，如同質群體的身高、紅細胞數、血紅蛋白量，以及實驗中的隨機誤差，呈現為正態或近似正態分布；有些指標

4、（變量）雖服從偏態分布，但經數據轉換后的新變量可服從正態或近似正態分布，可按正態分布規律處理。其中經對數轉換后服從正態分布的指標，被稱為服從對數正態分布。 1. 估計頻數分布 一個服從正態分布的變量只要知道其均數與標準差就可根據公式（3-2）估計任意取值范圍內頻數比例。2. 制定參考值范圍 （1）正態分布法 適用于服從正態（或近似正態）分布指標以及可以通過轉換后服從正態分布的指標。 （2）百分位數法 常用于偏態分布的指標。表3-1中兩種方法的單雙側界值都應熟練掌握。表3-1 常用參考值范圍的制定概率（%）正態分布法百分位數法雙側 單 側雙側單側 下 限 上 限 下 限 上 限 90 95993

5、. 質量控制：為了控制實驗中的測量（或實驗）誤差，常以作為上、下警戒值，以作為上、下控制值。這樣做的依據是：正常情況下測量（或實驗）誤差服從正態分布。4. 正態分布是許多統計方法的理論基礎。檢驗、方差分析、相關和回歸分析等多種統計方法均要求分析的指標服從正態分布。許多統計方法雖然不要求分析指標服從正態分布，但相應的統計量在大樣本時近似正態分布，因而大樣本時這些統計推斷方法也是以正態分布為理論基礎的。三、典型試題分析1.正態曲線下、橫軸上，從均數到的面積為( )。 A95% B50% C97.5% D不能確定（與標準差的大小有關） 答案：B 評析 本題考點：正態分布的對稱性 因為無論，取什么值，

6、正態曲線與橫軸間的面積總等于1，又正態曲線以為對稱軸呈對稱分布，所以左右兩側面積相等，各為50%。 2若X服從以，為均數和標準差的正態分布，則X的第95百分位數等于( )。 A B C D 答案：B 評析 本題考點：正態分布的對稱性和面積分布規律正態分布曲線下范圍內面積占90%，則外的面積為10%，又據正態分布的對稱性得，曲線下橫軸上小于等于范圍的面積為95%，故X的第95百分位數等于。3若正常成人的血鉛含量X 近似服從對數正態分布，擬用300名正常人血鉛值確定99%參考值范圍，最好采用公式( )計算。（其中Y=logX） A. B C D答案：D 評析 本題考點：對數正態分布資料應用正態分布

7、法制定參考值范圍根據題意，正常成人的血鉛含量X 近似對數正態分布，則變量X 經對數轉換后所得新變量Y應近似服從正態分布，因此可以應用正態分布法估計Y 的99%參考值范圍，再求反對數即得正常成人血鉛含量X 的99%參考值范圍。因血鉛含量僅過大為異常，故相應的參考值范圍應是只有上限的單側范圍。正態分布法99%范圍單側上限值是均數+2.33倍標準差。4正常成年男子紅細胞計數近似正態分布,95%參考值范圍為3.605.84。若一名成年男子測得紅細胞計數為3.10，則醫生判斷該男子一定有病。評析 本題考點：參考值范圍的涵義該成年男子不一定有病。因為參考值范圍是指絕大多數正常人的指標值范圍,故不在此范圍內

8、的對象也可能是正常人。5.假定正常成年女性紅細胞數近似服從均值為4.18，標準差為0.29的正態分布。令X代表隨機抽取的一名正常成年女性的紅細胞數，求：（1） 變量X落在區間（4.00，4.50）內的概率；（2） 正常成年女性的紅細胞數95%參考值范圍。評析 本題考點：正態分布的應用 (1)根據題意，變量X近似服從正態分布，求變量X落在區間（4.00，4.50）內的概率，即是求此區間內正態曲線下的面積問題，因此，可以把變量X進行標準化變換后，借助標準正態分布表求其面積，具體做法如下： 變量落在區間(4.00,4.50)內的概率為0.5967。(2)問題屬于求某個指標的參考值范圍問題，因為正常成

9、年女性紅細胞數近似服從正態分布，可以直接用正態分布法求參考值范圍，又因該指標過高、過低都不正常，所以應求雙側參考值范圍，具體做法如下：下限為：上限為：95%的正常成年女性紅細胞數所在的范圍是。6.調查得成都市1979年996名女學生月經初潮年齡的分布如下，本資料宜用何法確定其雙側99%參考值范圍？試估計之。年歲 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 合計人數 7 44 153 244 269 191 61 16 8 1 2 996累計頻率% 0.7 5.1 20.5 45.0 72.0 91.2 97.3 98.9 99.7 99.8 100.0 評析 本題考點：參

10、考值范圍的制定解：本題所給資料明顯屬于偏態分布資料，所以宜用百分位數法估計其參考值范圍。又因此指標過大、過小均屬異常，故此參考值范圍應是雙側范圍。（1）求 首先要找到第0.5百分位數所在組，根據累計頻率第0.5百分位數在第1組，因此得=0，=7，=1代入第二章百分位數的計算公式得：=10+=10.71（歲）（2）求P95.5 先求第95.5百分位數所在組為“18”組，因此得 =985，=8，=1代入計算公式得：P95.5 =18+=18.25（歲）成都市女學生月經初潮年齡的雙側99%參考值范圍是10.7118.25（歲）。四、習 題（一）單項選擇題1.標準正態分布的均數與標準差分別為( )。

11、A0與1 B1與0 C0與0 D1與12.正態分布有兩個參數與，( )相應的正態曲線的形狀越扁平。 A越大 B越小 C越大 D越小3.對數正態分布是一種( )分布。 A正態 B近似正態 C左偏態 D右偏態4.正態曲線下、橫軸上，從均數-1.96倍標準差到均數的面積為( )。 A95% B45% C97.5% D47.5%5.標準正態分布曲線下中間90%的面積所對應的橫軸尺度的范圍是( )。A-1.64到+1.64 B到+1.64 C到+1.28 D-1.28到+1.28（二）名詞解釋1正態曲線2正態分布3. 標準正態分布4. 標準化變換（三）簡答題1.簡述醫學中參考值范圍的涵義及制定參考值范圍

12、的一般步驟。2.正態分布、標準正態分布與對數正態分布的聯系與區別。3.對稱分布在“ 1.96標準差”的范圍內，也包括95%的觀察值嗎？（四）計算題1.假定 5歲男童的體重服從正態分布，平均體重=19.5（kg），標準差=2.3（kg）。(1)隨機抽查一5歲男童的體重，計算概率： 其體重小于16.1 kg 其體重大于22.9 kg 其體重在14.6 kg到23.9 kg之間(2)試找出最重的5%、10%、2.5% 5歲男童的體重范圍。2.某年某地測得200名正常成人的血鉛含量（）如下，試確定該地正常成人血鉛含量的95%參考值范圍。3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6

13、 6 6 66 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 88 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10  10 10 10 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 1313 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 1515 15 15 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 1717 17 18 18 18 18 18 19 19

14、 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 2020 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 23 23 23 24 24 24 24 2424 25 25 26 26 26 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 31 31 3132 32 32 32 32 32 33 33 36 38 38 39 40 41 41 43 47 50 53 603.測得某地300名正常人尿汞值，其頻數表如表3-2，試用正態分布法和百分位數法估計該地正常人尿汞值的90%，95%，99%上限，討論用何法估計較適宜。 表3-2 300例正常人尿

15、汞值頻數表尿汞值例數尿汞值例數尿汞值例數049241648342728952-858329562125036460-164540564-202244 - 687214某市20歲男學生160人的脈搏數（次/分鐘），經正態性檢驗服從正態分布。求得76.10，=9.32。試估計脈搏數的95%、99%參考值范圍。5.將測得的238例正常人發汞值從小到大排列，最后14個發汞值如下，求95%單側上限。發汞值：2.6 2.6 2.6 2.6 2.7 2.7 2.7 2.8 2.8 3.0 3.3 4.0 4.1 4.3秩 次：225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 2

16、35 236 237 238五、習題答題要點 （一）單項選擇題1.A 2.C 3. D 4. D 5. A （二）名詞解釋1正態曲線：正態曲線（normal curve）是函數 , 對應的曲線。此曲線呈鐘型，兩頭低中間高，左右對稱。2正態分布：若指標的頻率曲線對應于數學上的正態曲線，則稱該指標服從正態分布（normal distribution）。通常用記號表示均數為，標準差為的正態分布。3標準正態分布:均數為0、標準差為1的正態分布被稱為標準正態分布（standard normal distribution），通常記為。4標準化變換：，此變換有特性：若服從正態分布，則就服從標準正態分布，故該

17、變換被稱為標準化變換（standardized transformation）。（二）簡答題1醫學中常把絕大多數正常人的某指標范圍稱為該指標的參考值范圍，也叫正常值范圍。所謂“正常人”不是指完全健康的人，而是指排除了所研究指標的疾病和有關因素的同質人群。制定參考值范圍的一般步驟：（1）定義“正常人”，不同的指標“正常人”的定義也不同。（2）選定足夠數量的正常人作為研究對象。（3）用統一和準確的方法測定相應的指標。（4）根據不同的用途選定適當的百分界限，常用95%。（5）根據此指標的實際意義，決定用單側范圍還是雙側范圍。（6）根據此指標的分布決定計算方法，常用的計算方法：正態分布法、百分位數法。

18、2. 三種分布均為連續型隨機變量的分布。正態分布、標準正態分布均為對稱分布，對數正態分布是不對稱的，其峰值偏在左邊。標準正態分布是一種特殊的正態分布（均數為0，標準差為1）。一般正態分布變量經標準化轉換后的新變量服從標準正態分布。對數正態分布不屬于正態分布的范疇，對數正態分布變量經對數轉換后的新變量服從正態分布。3.不一定。均數1.96標準差范圍內包含95%的變量值是正態分布的分布規律，不是對稱分布的規律。對稱分布不一定是正態分布。（三）計算題：1.解：（1）設該男童的體重為X kg,則 = = （2）設最重的5%，10%，2.5%男童體重的下限分別為kg， kg， kg 又 （kg） 因為正態分布關于均數對稱，所以 查標準正態曲線下面積表 故 （kg） 同理 （kg）2. 解：正常成人的血鉛含量近似對數正態分布，經對數轉換后應近似服從正態分布，所以對原始數據作對數變換，并編制頻數表，再利用正態分布法求95%參考值范圍。對數換算過程如表3-3所示。表3-3 200名正常成人血鉛含量（g /100g）對數值頻數表對數組段真數組段頻數0.45 3 10.55 4 50.65 5100.75 6200.85 8110.95 9211.0512291.1515251.2518301.3523201.4529161.5536 81.6545 3 1.