1、 二項式定理 【學習目標】1理解并掌握二項式定理，了解用計數原理證明二項式定理的方法 2會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題【要點梳理】要點一：二項式定理1.定義一般地,對于任意正整數,都有：()，這個公式所表示的定理叫做二項式定理， 等號右邊的多項式叫做的二項展開式。式中的做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：，其中的系數（r=0，1，2，n）叫做二項式系數，2二項式(a+b)n的展開式的特點：(1)項數：共有n+1項，比二項式的次數大1；(2)二項式系數：第r+1項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；(3)次數：各項的次數都等于二項式的冪指數n字母a降冪

2、排列，次數由n到0；字母b升冪排列，次數從0到n，每一項中，a，b次數和均為n；3.兩個常用的二項展開式：()要點二、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：（）公式特點：它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數是；字母b的次數和組合數的上標相同；a與b的次數之和為n。 要點詮釋： （1）二項式(a+b)n的二項展開式的第r+1項和(b+a)n的二項展開式的第r+1項是有區別的，應用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置的 （2）通項是針對在(a+b)n這個標準形式下而言的，如(ab)n的二項展開式的通項是（只需把b看成b代入二項式定理）。要點三：二項式系數及其性質1.楊輝三角和二項

3、展開式的推導。在我國南宋，數學家楊輝于1261年所著的詳解九章算法如下表，可直觀地看出二項式系數。展開式中的二項式系數,當依次取1,2,3,時,如下表所示: 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表叫做二項式系數的表, 也稱楊輝三角(在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角),反映了二項式系數的性質。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等于它肩上的兩個數的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數，可以考慮在這n個括號中取r個b，則這種取法種數為，即為的系數 2.的展開

4、式中各項的二項式系數、具有如下性質：對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即；增減性與最大值：二項式系數在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數時，二項展開式中間一項的二項式系數最大；當n為奇數時，二項展開式中間兩項的二項式系數，相等，且最大.各二項式系數之和為，即；二項展開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和，即。要點詮釋：二項式系數與展開式的系數的區別：二項展開式中，第r+1項的二項式系數是組合數，展開式的系數是單項式的系數，二者不一定相等。如(ab)n的二項展開式的通項是，在這里對應項的二項式系數都是，但項

5、的系數是，可以看出，二項式系數與項的系數是不同的概念3.展開式中的系數求法（的整數且）如：展開式中含的系數為要點詮釋：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結合為一項，利用二項式定理解決。要點四：二項式定理的應用1.求展開式中的指定的項或特定項（或其系數）.2.利用賦值法進行求有關系數和。二項式定理表示一個恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a、b取不同的特殊值）可解決與二項式系數有關的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況。設(1) 令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=1，則(4)(5)3.利用二項式定理

6、證明整除問題及余數的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關的不等式問題：有些不等式，可應用二項式定理，結合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當刪去(縮小)，或把某些負項刪去(放大)，使等式轉化為不等式，然后再根據不等式的傳遞性進行證明。；（）如：求證：【典型例題】類型一、求二項展開式的特定項或特定項的系數例1. 求的二項式的展開式【思路點撥】 按照二項式的展開式或按通項依次寫出每一項，但要注意符號【解析】解一： 解二：【總結升華】記準、記熟二項式(a+b)n的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條件，對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡捷舉一反三：【變式】求二項式的展開式

7、【答案】 （1）解法一： 解法二：。例2（1）求的展開式的第四項的系數；（2）求的展開式中的系數及二項式系數【思路點撥】先根據已知條件求出二項式的指數n，然后再求展開式中含x的項因為題中條件和求解部分都涉及指定項問題，故選用通項公式【解析】（1）的展開式的第四項是，的展開式的第四項的系數是（2）的展開式的通項是，的系數，的二項式系數【總結升華】1.利用通項公式求給定項時避免出錯的關鍵是弄清共有多少項,所求的是第幾項,相應的是多少；2. 注意系數與二項式系數的區別；3. 在求解過程中要注意冪的運算公式的準確應用。舉一反三：【變式1】求的展開式的第3項的二項式系數和系數；【答案】10，80；【變式

8、2】求(x3)5的展開式中x5的系數；【答案】（1）Tr1依題意155r5，解得r2故(2)240為所求x5的系數例3.（1）(2x2)6的展開式中的常數項；（2）求的展開式中的有理項.【思路點撥】常數項就是項的冪指數為0的項，有理項，就是通項中x的指數為正整數的項，可以根據二項式定理的通項公式求?！窘馕觥浚?）Tr1(2x2)6-r(1)r·26- r·依題意123r0，解得r4故·2260為所求的常數項（2）通項為有理項，,即是6的倍數,又因為,所以=0,6,12故展開式中的有理項為,.【總結升華】 使二項展開式的某一項為常數項，就是使這一項不含“變元”，一般

9、采用令變元的指數為零的方法解答這類問題。求有理項是對x的指數是整數情況的討論，要考慮到一些指數或組合數的序號的要求舉一反三：【變式】 求二項式的展開式中的常數項及有理項 設二項式的通項為，令，得r=8。令，即r=0，2，4，6，8時，。，。 二項式的展開式中的常數項是第9項：；有理項是第1項：x20，第3項：，第5項：，第7項：，第9項：類型二、 二項式之積及三項式展開問題例4求的展開式中的系數.【思路點撥】 將變形為，要使兩個因式的乘積中出現，根據式子的結構可以分類討論：當前一個因式為1時，后面的應該為；當前一個因式為時，后面的應該為；當前一個因式為時，后面的應該為；也可以利用通項公式化簡解

10、答?！窘馕觥拷夥ㄒ唬?，的通項公式（），分三類討論：（1）當前一個因式為1時，后面的應該為，即；（2）當前一個因式為時，后面的應該為，即；（3）當前一個因式為時，后面的應該為，即；故展開式中的系數為。解法二：的通項公式（），的通項公式,（），令,則或或，從而的系數為?！究偨Y升華】當多個不同的二項式相加或相乘時，可以依據題意進行恰當的分類或分步計算，也可以直接利用通項公式化簡后求解。舉一反三：【變式】求(x2)10(x21)的展開式中x10的系數；【答案】 (x2)10x1020x9180x8 (x2)10(x21)的展開式中x10的系數是1180179例5求的展開式中的系數【思路點撥】要把上式展

11、開，必須先把三項中的某兩項結合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開【解析】（法一），顯然，上式中只有第四項中含的項，展開式中含的項的系數是（法二）：展開式中含的項的系數是【總結升華】有些題中，常出現三項式展開或兩個二項式乘積的展開問題，所用解法一般為二項式定理展開，或將三項式轉化為二項式舉一反三：【變式1】的展開式中含項的系數是 ；【答案】【變式2】在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數【答案】在(x+1)5展開式中，常數項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數項為25=32，含x的項為 展開式中

12、含x的項為 ，此展開式中x的系數為240類型三、有關二項式系數的性質及計算的問題例6已知（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式中系數最大的項?！舅悸伏c撥】 利用展開式的通項，得到系數的表達式，進而求出其最大值。【解析】（1）展開式的通項：，故展開式中二項式系數最大的項為：（2）設第項的系數最大，則，化簡得，解得:， ，故所求展開式中系數最大的項為：【總結升華】求展開式中系數最大的項，一般是解一個不等式組。舉一反三：【變式】求展開式中系數最大的項?！敬鸢浮吭讲皇堑臉藴识検?，不一定是中間項系數最大。設項系數最大，有。，解得。k是非負整數，k=8。第8項系數最大，即。類型四、利用賦值

13、法進行求有關系數和。例7. 若，則_（用數字作答）【思路點撥】求展開式的各項系數之和常用賦值法【解析】令，則，即【總結升華】賦值法是解決二項展開式的系數和的有效方法，通過對二項展開式中的字母或代數式賦予允許值，以達到解題目的舉一反三：【變式1】若，則 ,【答案】0；令,得答案0.【變式2】 已知，則等于（ ）A63 B64 C31 D32【答案】 逆用二項式定理得：，所以n=6，所以。故選A。類型四、 二項式定理的綜合運用例8. 求證：對任何非負整數n，33n26n1可被676整除。 【思路點撥】 注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二項展開式去證明 【解析】 當n=0時，原式=0，可被676整除 當n=1時，原式=0，也可被676整除 當n2時，原式 每一項都含262這個因數，故可被262=676整除 綜上所述，對一切非負整數n，33n26n1可被676整除 【總結升華】 此類整除問題（或余數問題）可以用二項式定理證明，證明的關鍵在于將被除式進行恰當的變形，使其能寫成二項式的形式，展開后的每一項中都會有除式這個因式，就可證得整除或求出余數舉一反三：【變式】除以的余數是 .【答案】；故除以的余數是.例9. 求證