1、1.3 空間幾何體的表面積與體積 柱體、錐體、臺體的表面積與體積整體設計教學分析本節一開始的“思考”從學生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關系，目的有兩個：其一，復習表面積的概念，即表面積是各個面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.接著，教科書安排了一個“探究”，要求學生類比正方體、長方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺的表面積問題，并通過例1進一步加深學生的認識.教學中可以引導學生討論得出：棱柱的展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺的展形圖是由梯形組成的平

2、面圖形.這樣，求它們的表面積的問題就可轉化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問題.教科書通過“思考”提出“如何根據圓柱、圓錐的幾何結構特征，求它們的表面積？”的問題.教學中可引導學生回憶圓柱、圓錐的形成過程及其幾何特征，在此基礎上得出圓柱的側面可以展開成為一個矩形，圓錐的側面可以展開成為一個扇形的結論，隨后的有關圓臺表面積問題的“探究”，也可以按照這樣的思路進行教學.值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺都有統一的表面積公式，得出這些公式的關鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長與對應的側面展開圖中的邊長之間的關系，教學中應當引導學生認真分析，在分別學習了圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式后，可以引導學生用運

3、動、變化的觀點分析它們之間的關系.由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統一在圓臺的表面積公式之下.關于體積的教學.我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的“大小”沒有比較大小的含義，而是要用具體的“數”來定量的表示幾何體占據了多大的空間，因此就產生了度量體積的問題.度量體積時應知道：完全相同的幾何體，它的體積相等；一個幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個幾何體叫做等積體.相同的兩個幾何體一定是等積體，但兩個等積體不一定相同.體積公式的推導是建立在等體積概念之上

4、的.柱體和錐體的體積計算，是經常要解決的問題.雖然有關公式學生已有所了解，但進一步了解這些公式的推導，有助于學生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個“探究”，要求學生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關系.教學中，可以引導學生類比圓柱與圓錐之間的體積關系來得出結論.與討論表面積公式之間的關系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺體的體積公式后，安排了一個“思考”，目的是引導學生思考這些公式之間的關系，建立它們之間的聯系.實際上，這幾個公式之間的關系，是由柱體、錐體和臺體之間的關系決定的.這樣，在臺體的體積公式中，令S=S，得柱體的體積公式；令S=0，得錐體的體積公式.值得注意的是在教學過程

5、中，要重視發揮思考和探究等欄目的作用，培養學生的類比思維能力，引導學生發現這些公式之間的關系，建立它們的聯系.本節的重點應放在公式的應用上，防止出現：教師在公式推導過程中“糾纏不止”，要留出“空白”，讓學生自己去思考和解決問題.如果有條件，可以借助于信息技術來展示幾何體的展開圖.對于空間想象能力較差的學生，可以通過制作實物模型，經過操作確認來增強空間想象能力.三維目標1.了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式（不要求記憶），提高學生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養學生的應用意識，增加學生學習數學的興趣.2.掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法，提高學生的運算能力，培養學生轉化、化歸以及類比

6、的能力.重點難點教學重點：了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式及其應用.教學難點：表面積和體積計算公式的應用.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.在過去的學習中，我們已經接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導學生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、臺體的側面展開圖是怎樣的？你能否計算？思路2.被譽為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運數量如此之多，每塊又

7、如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230米，塔高146.5米，你能計算建此金字塔用了多少石塊嗎？推進新課新知探究提出問題 在初中，我們已經學習了正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1），你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關系嗎？正方體及其展開圖(1)長方體及其展開圖(2)圖1棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？如何根據圓柱、圓錐的幾何結構特征，求它們的表面積？聯系圓柱、圓錐的側面展開圖，你能想象圓臺側面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺的上、下底面半徑分別是

8、r,r，母線長為l，你能計算出它的表面積嗎？圓柱、圓錐和圓臺的表面積之間有什么關系？活動：學生討論和回顧長方體和正方體的表面積公式.學生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個面的面積的和.讓學生思考圓柱和圓錐的側面展開圖的形狀.學生思考圓臺的側面展開圖的形狀.提示學生用動態的觀點看待這個問題.討論結果：正方體、長方體是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.棱柱的側面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個面的面積的和；棱錐的側面展開圖是由多個三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的

9、各個面的面積的和；棱臺的側面展開圖是由多個梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺的各個面的面積的和.它們的表面積等于側面積與底面積的和，利用它們的側面展開圖來求得它們的側面積，由于底面是圓面，其底面積直接應用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側面展開圖是矩形，圓錐的側面展開圖是扇形.我們知道，圓柱的側面展開圖是一個矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長為l，那么圓柱的底面面積為r2,側面面積為2rl.因此，圓柱的表面積S=2r2+2rl=2r(r+l).圖2圖3圓錐的側面展開圖是一個扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l，那么它的表面積S=r2+rl=r(r+l).點評：將空間圖形問題

10、轉化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.圓臺的側面展開圖是一個扇環（圖4），它的表面積等于上、下兩個底面的面積和加上側面的面積，即S=(r2+r2+rl+rl).圖4圓柱、圓錐、圓臺側面積的關系：圓柱和圓錐都可以看作是圓臺退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺，圓錐可看作是上底面退化成一點的圓臺，觀察它們的側面積，不難發現：S圓柱表=2r(r+l)S圓臺表=(r1l+r2l+r12+r22)S圓錐表=r(r+l).從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側面積公式都可以看作由圓臺側面積公式演變而來.提出問題 回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統一成一種形式嗎

11、？并依次類比出柱體的體積公式？ 比較柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)；V錐體=(S為底面積，h為錐體的高)；V臺體=h(S,S分別為上、下底面積，h為臺體的高).你能發現三者之間的關系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺體？其體積公式是否可以看作臺體體積公式的“特殊”形式？活動：讓學生思考和討論交流長方體、正方體和圓柱的體積公式.讓學生類比圓柱、圓錐和圓臺的表面積的關系？討論結果：棱長為a的正方體的體積V=a3=a2a=Sh；長方體的長、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=r2h=Sh，可以類比

12、，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.圓錐的體積公式是V=(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V= (S為底面面積，h為高).由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的.由于圓臺（棱臺）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差，得到圓臺（棱臺）的體積公式V=(S+S)h,其中S，S分別為上、下底面面積，h為圓臺（棱臺）高.注意：不要求推導公式，也不要求記憶.柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體.因此

13、柱體、錐體可以看作“特殊”的臺體.當S=0時，臺體的體積公式變為錐體的體積公式;當S=S時，臺體的體積公式變為柱體的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的“特殊”形式.柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關系,如圖5：圖5應用示例思路1例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC（圖6），求它的表面積.圖6活動：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體SABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過

14、點S作SDBC，交BC于點D.因為BC=a,SD=,所以SSBC=BC·SD=.因此，四面體SABC的表面積S=4×.點評：本題主要考查多面體的表面積的求法.變式訓練1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側面積為S，求圓錐的側面積.解：設圓錐的母線長為l，因為圓柱的側面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側=S，根據圓柱的側面積公式可得：圓柱的母線（高）長為，由題意得圓錐的高為，又圓錐的底面半徑為r，根據勾股定理，圓錐的母線長l=，根據圓錐的側面積公式得S圓錐側=rl=·r·.2.兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等

15、的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（ ）A.123B.1719C.345D.1927分析：因為圓錐的高被分成的三部分相等，所以兩個截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為123，于是自上而下三個圓錐的體積之比為()·2h·3h=1827，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1（81）（278）=1719.答案：B3.三棱錐VABC的中截面是A1B1C1，則三棱錐VA1B1C1與三棱錐AA1BC的體積之比是（ ）A.12B.14C.16D.18分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為14，將三棱錐AA1BC轉化為三棱錐A1ABC，這樣三棱錐VA1B

16、1C1與三棱錐A1ABC的高相等，底面積之比為14，于是其體積之比為14.答案：B例2 如圖7，一個圓臺形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（取3.14，結果精確到1毫升，可用計算器）圖7活動：學生思考和討論如何轉化為數學問題.只要求出每個花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積S=-()21 000(cm2)=

17、0.1(m2).涂100個這樣的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100個這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點評：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應用.變式訓練1.有位油漆工用一把長度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動前進，則油漆工完成任務所需的時間是多少?（精確到0.01秒）解：圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側面積，圓柱的側面積為S側=2rl=2·0.1·0.5=0.1m2，又圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動，圓柱形刷子每秒

18、滾過的面積為0.5 m2，因此油漆工完成任務所需的時間t=6.37秒.點評：本題雖然是實際問題，但是通過仔細分析后，還是歸為圓柱的側面積問題.解決此題的關鍵是注意到圓柱形刷子滾動一周所經過的面積就相當于把圓柱的側面展開的面積，即滾動一周所經過的面積等于圓柱的側面積.從而使問題迎刃而解.2.（2007山東濱州一模，文14）已知三棱錐OABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是_.分析：由題意得三棱錐的體積是(x-2)2+，由于x0，則當x=2時，三棱錐的體積取最大值.答案：例3 有一堆規格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm3）六角螺

19、帽（圖8）共重5.8 kg,已知底面是正六邊形，邊長為12 mm,內孔直徑為10 mm,高為10 mm，問這堆螺帽大約有多少個?（取3.14）圖8活動：讓學生討論和交流如何轉化為數學問題.六角帽表示的幾何體是一個組合體，在一個六棱柱中間挖去一個圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=×122×6×10-3.14×()2×102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個數為5.8×1 000÷(7.8×2.956)252(個).答：這堆螺帽大約

20、有252個.點評：本題主要考查幾何體的體積公式及其應用.變式訓練 如圖9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當水面的高度為3分米時，求所用的時間.（精確到0.01秒）圖9解：如圖10，設水面的半徑為r，則EH=r-2分米，BG=2分米，圖10在ABG中，EHBG，.AH=2分米,.r=分米.當水面的高度為3分米時，容器中水的體積為V水=·3()2+×4+42=立方分米,所用的時間為36.69秒.答：所用的時間為36.69秒.思路2例1 （2007山東煙臺高三期末統考，理8）如圖11所示，一個空間幾

21、何體的正視圖、側視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（ ）圖11A.1 B.C.D.活動：讓學生將三視圖還原為實物圖，討論和交流該幾何體的結構特征.分析：根據三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側棱PAAB，PAAC，ABAC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個幾何體的體積為V=.圖12答案：D點評：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時，首先根據三視圖確定該幾何體的結構特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標高考的熱點，應引起重視.變式訓練1.（2007

22、山東泰安高三期末統考，理8）若一個正三棱柱的三視圖如圖13所示，則這個正三棱柱的表面積為（ ）圖13A. B.C.D.分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為，正三棱柱的高為2，則底面等邊三角形的邊長為4，所以該正三棱柱的表面積為3×4×2+2××4×=24+.圖14答案：C2.（2007山東濰坊高三期末統考，文3）如果一個空間幾何體的正視圖與側視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個半徑為1的圓及其圓心，那么這個幾何體的體積為（ ）A.B.C.D.分析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長等于底面直徑2，則

23、圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為，所以這個幾何體的體積為V=.答案：A3.（2007廣東高考，文17）已知某幾何體的俯視圖是如圖15所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.圖15（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側面積S.解：由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐.設底面矩形為ABCD.如圖16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.圖16（1）V=×(8×6)×4=64.(2)設四棱錐側面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側面VAB、VC

24、D也是全等的等腰三角形，在VBC中，BC邊上的高為h1=,在VAB中，AB邊上的高為h2=5.所以此幾何體的側面積S=40+.點評：高考試題中對面積和體積的考查有三種方式，一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與的組合體有關的面積和體積的計算；三是在解答題中，作為最后一問.例2 圖17所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（取3.14）圖17活動：因為正方體的棱長為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒有被打透.這樣一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全

25、一樣的圓柱的側面積，這六個圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.解：正方體的表面積為16×6=96（cm2），一個圓柱的側面積為2×1×1=6.28（cm2），則打孔后幾何體的表面積為966.28×6=133.68（cm2）.答：幾何體的表面積為133.68 cm2.點評：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本的柱、錐、臺，再通過這些基本柱、錐、臺的表面積，進行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達為正方體的表面積與六個圓柱側面積的和是非常有創意的想法，如果忽略正方體沒有被打透這一點

26、，思考就會變得復雜，當然結果也會是錯誤的.變式訓練 圖18所示是由18個邊長為1 cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.圖18分析：從圖18中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個.另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后,左、右兩個面的表面積也是分別相同的.解：因為小正方體的棱長是1 cm，所以上面的表面積為12×9=9（cm2），前面的表面積為12×8=8（cm2），左面的表面積為12×7=7（cm2），則此幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=4

27、8( cm2).答：此幾何體的表面積為48 cm2.知能訓練1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（ ）A.B.64C.16D.96分析：設正方體的棱長為a，則6a2=96，解得a=4，則正方體的體積是a3=64.答案：B2.（2007山東臨沂高三期末統考，文2）如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為（ ）A.B.2C.3D.4分析：設圓錐的母線長為l，則l=2，所以圓錐的表面積為S=×1×(1+2)=3.答案：C3.正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為，則這個正三棱錐的體積是（ ）A.B.C.D.分析：可得正三棱錐的高h=3，于是V=.答案：D4.若圓柱

28、的高擴大為原來的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴大為原來的_倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴大為原來的4倍，則圓柱的體積擴大為原來的_倍.分析：圓柱的體積公式為V圓柱=r2h，底面半徑不變，高擴大為原來的4倍，其體積也變為原來的4倍；當圓柱的高不變，底面半徑擴大為原來的4倍時，其體積變為原來的42=16倍.答案：4165.圖20是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點.現在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?圖20分析：因為鋸掉的是正方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AG

29、F為底面，H為頂點的一個三棱錐.解：設正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3.三棱錐的底面是RtAGF，即FAG為90°，G、F又分別為AD、AA1的中點，所以AF=AG=.所以AGF的面積為.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點，所以AH=.所以鋸掉的部分的體積為.又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.6.（2007山東臨沂高三期末考試，理13）已知一圓錐的側面展開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是_.分析：如圖21，設圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得解得r=，所以圓錐的底面積為r2=.圖21答案：7.如圖22，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內裝水若干，將容器放倒，把一個側面作為底面，如圖23，這時水面恰好為