1、衡水獨家秘籍之 2019 高中期末復習專題五函數與方程問題求解舉例【方法綜述】函數的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系式或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組或構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.方程的思想與函數的思想密切相關，對于函數y=f(x)(如果y=ax2+bx+c可以寫成f(x)=ax2+bx+c,即y=f(x)的形式)，當y=0時，就轉化為方程f(x)=0，也可以把函數式y=f

2、(x)看作二元方程yf(x)=0，函數與方程這種相互轉化的關系很重要，我們應熟練掌 握.下面我們就具體看一下函數與方程的應用舉例.【要點回顧】1.函數零點的理解：(1)函數的零點、方程的根、函數圖象與x軸的交點的橫坐標，實質是 同一個問題的三種不同表達形式；(2)若函數f(x)在區間a,b上的圖象是一條連續的曲線， 且f(a)f(b)v0，則f(x)在區間(a,b)內有零點，反之不成立.2.函數零點的判定常用方法：(1)零點存在性定理；(2)數形結合法；(3)解方程f(x)=0.3.曲線的交點問題：(1)曲線交點坐標即為方程組的解，從而轉化為方程的根；(2)求曲線y=f(x)與y=g(x)的交

3、點的橫坐標，實際上就是求函數y=f(x)g(x)的零點，即求f(x)g(x)=0的根.【典型例題】1求函數的零點例1.求函數f(x)=x33x+2的零點.解令f(x)=x3x+2=0，(x+2)(x1)2=0. x=2或x=1，3函數f(x)=x3x+2的零點為一2,1.評注 求函數的零點，就是求f(x)=0的根，利用等價轉化思想， 把函數的零點問題轉化為 方程根的問題，或利用數形結合思想把函數零點問題轉化為函數圖象與x軸的交點問題.2判斷函數零點的個數x2例2.已知函數f(x)=ax+r(a1)，判斷函數f(x)=0的根的個數.x rIx一2解 設f1(x)=ax(a1),f2(x)=-，貝

4、Uf(x)=0的解，即為(x)=f2(x)的解，即為z. I I函數f1(x)與f2(x)的交點的橫坐標.x一2在同一坐標系下，分別作出函數f1(x)=ax(a1)與f2(x)=- 的圖象(如圖所示).x1所以方程f(x)=0的根有一個.評注 利用數形結合的思想解決，在同一坐標系下作出f1(x)與f2(x)兩函數的圖象，從而觀察出兩函數的交點個數(即為原函數的零點的個數)3.確定零點所在的區間例3.設函數y=x3與y=一2的圖象的交點為(xo,yo)，貝Uxo所在的區間是()A. (0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)f(x)的零點在(1,2)內.答案B評注 本題考查函數零

5、點性質的應用，利用了函數與方程的轉化思想， 體現對運算能力和理 解能力的要求.4利用函數零點的存在性求參數范圍例4.關于x的二次方程x2+(m1)x+1=0在0,2上有解，求實數m的取值范圍.解設f(x)=x2+(m1)x+1,x0,2,又f(0)=10,由題意得解得一3wnW1,解得n0,02,(m- 1j40,= =y yX X= =y y的圖象的交點的橫坐標即為2 21 1 - - 2 2的零點，f(1)=1故m的取值范圍為nW1.評注本題實質是對一元二次方程根的個數的討論，解題過程中利用了函數與方程的轉化、分類討論思想、方程與不等式的轉化等知識，對運算能力和分析問題的能力有很高的要求4

6、.判斷方程解的存在性例5.已知函數f(x)=3x32x2+1，判斷方程f(x)=0在區間1,0內有沒有實數解？分析 可通過研究函數f(x)在1,0上函數的變化情況判斷函數是否有零點，從而判定方程是否有解.32解 因為f(1)=3X(1)2X(1)+1= 40,所以f(1)f(0)1 ,f(6)1,f( 6)1得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6) 0時g(x)單調遞增；當a0時，g(x)單調遞減，即函數g(x)為單調函數，故g(x)僅有一個零點.因此方程f(x)=1僅有一個根故選A.答案A評注 在區間a,b上單調且圖象連續的函數y=f(x)，若f(a)f(b)0時，f(x)=x3x，則函

7、數g(x)=f(x)x+3的零點的集合為()A. 1,3 B.3,1,1,3C. 2 一，1,3 D.2 一，1,3【答案】D【解析】/是定義在上的奇函數，當x時，令 V ,則 ,()() (),()令()，當 時，解得，或，解得當 V 時,在區間上有解，則的取值范圍是()C.D.函數 ()故選：D.的零點的集合為4若關于x的方程的一個根在區間內，另個根在區間A.內,【答案】【解析】則實數 的取值范圍為2=7x-(m+13 x m2,設函數f(x)(0,1) 上，另一根在區間V ,(1,2),即實數m的取值范圍是(-4,故選：A.5.設函數當時,當函數方程V ，解得：-4vm2,-2);，給出

8、下列四個命題:是奇函數;時，方程只有一個實數根;可能是上的偶函數;最多有兩個實根其中正確的命題是(A.BC.D.【答案】A【解析】當時，函數，則函數曰 K疋奇函數，故正確當，時，函數在上是增函數，且值域為，則方程只有一個實數根，故正確若函數是上的偶函數，則，即，不存在等式在上成立，故錯誤當，時，方程有二個實根：，/ ,因此，方程最多有兩個實根錯誤綜上所述，正確的命題有故選6.已知函數，則方程在內方程的根的個數是()A. 0 B.1 C.2 D.3【答案】D_.若函數f(x)恰有2個零點，則 入的取值范圍是 _，則由圖象可得時,有兩個交點,有兩個根.時，由圖象可得有一個交點,有一個根.綜上，方程

9、內方程的根的個數是，故選D.7.已知入R,函數f(x)=，當入=2時，不等式f(x)0的解集是【解析】(n)要使在區間上恒成立，需滿足【答案】(1,4)【解析】由題意得或，所以或，即，不等式f(x)0的解集是當時，,此時,即在上有兩個零點；當時，由在上只能有一個零點得綜上，的取值范圍為&已知函數，若f(0)=-2,f(1)=1，則函數g(x)=f(x)+x的零點個數為.【答案】3【解析】由已知當xw0時f(x)=-x2+bx+c,由待定系數得：解得c=-2,b=-4:)，令f (x)+x=0,分別解之得xi=2,X2=-1,X3=-2，即函數共有3個零點.故答案為：3.9.已知函數.(I)若函數 在區間和 -上各有一個零點，求 的取值范圍;(n)若在區間上恒成立，求 的取值范圍.【答案】；(2)-.【解析】(I)因為函數 在區間和 -上各有一個零點，所以有所以的取值范圍為：-解得-解得：無解或-或 無解 所以-所以的取值范圍為：- -.10.如圖所示，定義域為上的函數是由一條射線及拋物線的一部分組成利用該圖提供的信息解決下面幾個問題(1)求的解析式；(2)若 關于的方程有一個不冋解，求 的取值范圍；(3)若-，求x的取值集合【答案】(1)_-；(2)-；(3