1、常微分方程輔導（二）第二章 基本定理 1知道線素與線素場的概念，理解解的存在與唯一性定理的條件、結論，理解其證明方法解的存在與唯一性定理的條件： 方程的右端函數（1）在閉矩形域上連續；（2）在R上關于變量y滿足李普希茲(Lipschitz)條件，即存在常數N，使對于R上任何一對點和有不等式： 結論： 初值問題 在區間上存在唯一解 。其中。 2了解解的延展、延展解、不可延展解的概念，了解局部李普希茲條件，理解解的延展定理，了解其證明方法 3了解奇解定義、包絡線概念，掌握不存在奇解的判別法、包絡線的C-判別式，掌握奇解的包絡線求法 （1）不存在奇解的判別方法： 若方程在全平面上解唯一，則方程不存在

2、奇解； 若不滿足解唯一的區域上沒有方程的解，則方程無奇解（2）求奇解的包絡線求法 若L是曲線族的包絡線，則其滿足C判別式 在非蛻化條件下，從C 判別式解出的曲線是曲線族的包絡線 4掌握利用解的存在與唯一性定理、解的延展定理證明有關方程解的某些性質的基本方法本章重點：解的存在與唯一性定理，解的延展定理。下面結合作業給出一些例題解析。例1試繪出下列方程的積分曲線: 解 （1） 第（1)題 （2） 第（2)題例2判斷下列方程在什么樣的區域上保證初值解存在且唯一?（1) （2) 解 （1) 因為及在整個平面上連續, 且滿足存在唯一性定理條件, 所以在整個平面上, 初值解存在且唯一.（2) 因為及在整個

3、平面上連續, 且滿足存在唯一性定理條件, 所以在整個平面上, 初值解存在且唯一. 例3討論方程在怎樣的區域中滿足定理2.2的條件。并求通過的一切解.解 因為方程在整個平面上連續, 除軸外, 在整個平面上有界, 所以除軸外在整個平面上都滿足定理2.2的條件. 而后分離變量并積分可求出方程的通解為 其中 另外容易驗證是方程的特解. 因此通過的解有無窮多個, 分別是: 例4試用逐次逼近法求方程滿足初值條件的近似解.解 , 例5試證明：對任意的及滿足條件的, 方程的滿足條件的解在上存在. 證明 首先和是方程在的解. 易知方程的右端函數滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件. 現在考慮過初值 ()的解

4、, 根據唯一性, 該解不能穿過直線和. 因此只有可能向左右兩側延展, 從而該初值解應在上存在. 例6設在整個平面上連續有界, 對有連續偏導數, 試證明方程的任一解在區間上有定義.證明 不妨設過點分別作直線 和 .設過點的初值解為. 因為, 故在的某一右鄰域內,積分曲線位于之下, 之上.下證曲線不能與直線相交. 若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得. 矛盾. 此矛盾證明曲線不能與直線相交. 同理可證, 當時, 它也不能與相交. 故當 時解曲線位于直線, 之間.同理可證, 當時, 解曲線也位于直線, 之間. 由延展定理, 的存在區間為。 例7判斷下列方程是否有奇解? 如果有奇解,

5、求出奇解, 并作圖. （1） （2) 解 （1） 因為在半平面上連續, 當時無界, 所以如果存在奇解只能是, 但不是方程的解, 故方程無奇解. （2） 因為在的區域上連續, 當時無界, 所以如果方程有奇解, 則奇解只能是 顯然是方程的解, 是否為奇解還需要進一步討論. 為此先求出方程的通解 由此可見對于軸上點 存在通過該點的兩個解: 及 故是奇解. (如圖2-1所示)圖2-1 例8求一曲線, 具有如下性質: 曲線上任一點的切線, 在x, y軸上的截距之和為1.解 首先, 由解析幾何知識可知, 滿足 的直線都是所求曲線.設 (x, y) 為所求曲線上的點, (X, Y)為其切線上的點, 則過 (x, y) 的切線方程為.顯然有 此處 a 與 b 分別為切線在Ox 軸與Oy 軸上的截距. 故.解出y, 得到克萊洛方程,通解為 所以 , 即 為所求曲線方程. 例9求一曲線, 此曲線的任一切線在兩個坐標軸間的線段長等于a.解 設 (x, y) 為所求曲線上的點, (X,