1、概率論與數理統計模擬試題A一、單項選擇題（每小題3分，共9分）1. 打靶 3 發，事件 表示“擊中 i 發” ， i = 0， 1， 2， 3。 那么事 件 表 示  (     )。( A )  全 部 擊 中 ；     ( B )  至少有一發擊中；( C ) 必 然  擊 中；      ( D )  擊 中 3 發2.設離散型隨機變量 x 的分布律為 則 常 數 A 應 為 (  

2、60; )。  ( A ) ；  ( B )    ；  (C)   ；  (D) 3.設隨機變量  ，服從二項分布 B ( n，p )，其中 0 < p < 1 ， n = 1， 2,， 那么，對于任一實數 x ，有 等 于   (    )。( A )  ;              ( B ) ;( C )&#

3、160; ;              ( D ) 二、填空題（每小題3分，共12分）1.設A , B為兩個隨機事件，且P(B)>0，則由乘法公式知 P(AB) =_2.設 且 有 , ,則 =_。3.某柜臺有4個服務員 ，他們是否需用臺秤是相互獨立的，在1小時內每人需用臺秤的概率為 ，則4人中至多1人需用臺秤的概率為 ： _。4.從1，2，10共十個數字中任取一個 ，然后放回 ，先后取出5個數字 ，則所得5個數字全不 相同的事件的概率等于 _。三、（10分）

4、已知   ， 求證  四、（10分）5個零件中有一個次品 ，從中一個個取出進行檢查 ，檢查后不放回 。直到查到 次品時為止 ，用x表示檢查次數 ，求  的分布函數 ： 五、（11分）設某地區成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血壓的概率為 20%,不胖不瘦者患高血壓病的概率為 10% ,瘦者患高血壓病的概率為5%,  試求 ： ( 1 ) 該地區居民患高血壓病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血壓, 則他屬于肥胖者的概率有多大？六、（10分）從兩家公司購得同一種元件，兩公司元件的失效時間分別是隨機變量

5、和，其概率密度分別是 ：    如果 與 相互獨立，寫出 的聯合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到時刻 兩家的元件都失效(記為A)， ( 2 ) 到時刻 兩家的元件都未失效(記為 B)， ( 3 ) 在時刻 至少有一家元件還在工作(記為 D)。七、（7分）證明：事件在一次試驗中發生次數x的方差一定不超過 。八、（10分）設 和 是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 又知隨機變量  ,  試求w 的分布律及其分布函數 。九、（11分）某廠生產的某種產品，由以往經驗知其強力標準差為 7.5 kg 且 強力

6、服從正態分布，改用新原料后，從新產品中抽取 25 件作強力試驗，算得    ， 問新產品的強力標準差是否有顯著變化 ？ ( 分別取 和 0.01， 已知 ，）十、（11分）在考查硝酸鈉的可溶性程度時，對一系列不同的溫度觀察它在 100ml 的水中溶解的硝酸鈉的重量，得觀察結果如下：從經驗和理論知 與 之間有關系式 且各 獨立同分布于 。 試用最小二乘法估計 a , b. 概率論與數理統計模擬試題A解答一、單項選擇題1. （B）;    2. (B);     3.(D)二、填空題1. P(B)P(A|B)

7、;    2. 0.3174;       3.        4.  =0.3024三、解 ： 因 ， 故可取                            &

8、#160;               其中  uN ( 0， 1 ) ， ， 且u與y相互獨立 。 從而  與y也相互獨立 。 又由于  于是  四、 的分布律如下表：五、 ( i= 1，2， 3 ) 分別表示居民為肥胖者 ，不胖不瘦者，瘦者B  ： “  居民患高血壓病 ”則   ，       ， &#

9、160;         ，  ，  由全概率公式 由貝葉斯公式 ，六、(x , h)聯合概率密度( 1 )  P(A) =    ( 2 )  ( 3 )  七、證 一 ： 設事件A在一次試驗中發生的概率為p ，又設隨機變量  則  ，   故 證二 ：    八、因 為     所以w的分布律為w 的分布函數為 九、要檢驗的假設為 ：  ； &

10、#160;     在  時 ， 故在   時 ，拒絕認為新產品的強力的標準差較原來的有顯著增大 。  當  時 ，   故 在 下 接 受 ，認為新產品的強力的標準差與原來的顯著差異 。  注: ：    改 為 ： 也 可 十、 概率論與數理統計模擬試題B一、單項選擇題（每小題3分，共9分）1. 現有5個燈泡的壽命 獨立同分布且 ( i = 1，2， 3，4，5 ) ，則5個燈泡的平均壽命 的方差 (     )

11、 。 ( A ) 5b;     ( B ) b;      ( C ) 0.2b;    ( D ) 0.04b2. 是 ( C是常數)的(     ) 。( A )  充分條件,但不是必要條件；( B )  必要條件，但不是充分條件； ( C ) 充分條件又是必要條件；( D )  既非充分條件又非必要條件；3. 離散型隨機變量 的分布律為 ,( k = 1，2，),的充分必要條件是(    )。( A

12、 ) b > 0 且 ；         ( B )且 ；( C ) b =  且 ；      ( D )  且 b > 0；二、填空題（每小題3分，共12分）1. 甲乙兩人獨立地向目標射擊一次,他們的命中率分別為0.75及0.6。現已知目標被命中，則 它是甲和乙共同射中的概率是_。2.從1，2，10共十個數字中任取一個，然后放回,再依次取出4個數字 ，則所得5個數字全不相同的事件的概率等于 _。3. 設 A , B 是兩個相互獨立的隨機事件，且 知 ， 則  

13、= _。4. 設A,B為兩個隨機事件，且 P(B) > 0，則由乘法公式知 P(AB) =_。 三、（10分）設  相互獨立，均服從0-1分布， 且 .求  的概率分布。四、（10分）對同一目標進行三次獨立射擊，第一、二、三次射擊的命中概率分別為0.4 、 0.5、0.7，試求至少有一次擊中目標的概率 。五、（10分）某產品的件重近似服從正態分布 ,隨機抽取17件算出樣本均值 (克), 樣本方差 =6.20 ( ) 求總體均值 的95%的置信區間 .(注 : , ）六、（8分）設二維隨機變量 的概率分布為 與 是否相互獨 立？ 七、（10分）設隨機變量服從

14、指數分布 ，其概率密度為 其 中 是 常 數. 求證： 八、（10分）在考查硝酸鈉的可溶性程度時 ，對一系列不同的溫度觀察它在100ml的水中溶解的硝酸鈉的重量 ，得觀察結果如下：從經驗和理論知 與 之間有關系式 ： 且各  獨立同分布于 。 試用最小二乘法估計a , b. 九、（10分）某種電子元件的壽命x的概率密度 某總機使用150小時內 ,上述三個元件都不失效的概率是多少？三個元件都失效的概率是多少 ？十、（11分）兩臺機床加工同樣的零件 ，第一臺出現廢品的概率為 0.05 ，第二臺出現廢品的概率為0.02 ，加工的零件混放在一起 ，若第一臺車床與第二臺車床加工的零件數為5 :

15、 4，求( 1 ) 任意地從這些零件中取出一個為合格品的概率 ； ( 2 ) 若已知取出的一個零件為合格品 ，那么，它是由哪臺機床生產的可能性較大？概率論與數理統計模擬試題B解答一、單項選擇題1. (C);   2. (C);   3.(D) 二、填空題1. 0.5;    2.  =0.3024 ;    3. ;  4. P(B)P(A|B)三、           四、P = 1 - P三次

16、均未擊中    = 1 - (1 - 0.4)(1 - 0.5)(1 - 0.7)  = 0.9 五、 均 值 的 95%的 置 信 區間 為 ： (507.75 - 3.29 , 507.75 + 3.29) = (504.46 , 511.04) 六、 ， 的邊緣分布率分別為顯然       1，2，3 所以 與 不獨立 。 七. E= 八 ，           九、記第i支電子元件的壽命為   (

17、i =1，2，3 )P 三個元件都不失效 = P 三個元件都失效= 十 ( i =1,2)   “  所取的零件由第i臺機床加工” B   “  取出的零件為合格品 ; 則        由全概率公式 由貝葉斯公式   故它由第一臺機床生產可能性較大 概率論與數理統計模擬試題C一、填空題（每小題3分，共15分）1  設A，B，C是隨機事件， 則A，B，C三個事件恰好出現一個的概率為_。2  設X，Y是兩個相互獨立同服從正態分布 的隨機變量，則E(

18、|X-Y|)=_。3  是總體X服從正態分布N ，而 是來自總體X的簡單隨機樣本，則隨機變量 服從_，參數為_。4  設隨機變量X的密度函數 ，Y表示對X的5次獨立觀察終事件 出現的次數，則DY=_。5  設總體X的密度函數為 是來自X的簡單隨機樣本，則X的最大似然估計量 _。二、選擇題（每小題3分，共15分）1設 ,則下列結論成立的是（   ）（A） 事件A和B互不相容；（B） 事件A和B互相對立；（C） 事件A和B互不獨立；（D） 事件A和B互相獨立。2將一枚硬幣重復鄭n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數，則X與Y的相關系數等于（

19、   ）。（A）-1  （B）0  （C）1/2  （D）13設 分別為隨機變量 的分布函數，為使 是某一隨機變量的分布函數，在下列給定的各組值中應取（   ）。3設 是來自正態總體 的簡單隨機樣本， 是樣本均值，記 則服從自由度為n-1的t分布隨機變量為（   ）。5設二維隨機變量（X，Y）服從二維正態分布，則隨機變量 不相關的充分必要條件為（   ）。三、（本題滿分10分）假設有兩箱同種零件，第一箱內裝50件，其中10件一等品，第二箱內裝30件，其中18件一等品。現從兩箱中隨意挑出

20、一箱，然后從該箱中先后隨機取兩個零件（取出的零件均不放回），試求：（1） 先取出的零件是一等品的概率；（2） 在先取出的零件是一等品的下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。四、（本題滿分10分）假設在單位時間內分子運動速度X的分布密度為 ，求該單位時間內分子運動的動能 的分布密度，平均動能和方差。五、（本題滿分10分）設隨機變量X與Y獨立，同服從0,1上的均勻分布。試求：六、（本題滿分10分）某箱裝有100件產品，其中一、二和三等品分別為80件、10件、10件，現從中隨機抽取，記 ，試求：（1）隨機變量 的聯合分布；（2）隨機變量 的相關系數。七、（本題滿分15分）設總體X的密度函數為 是來

21、自X的簡單隨機樣本，試求：八、（本題滿分15分）某化工廠為了提高某種化學藥品的得率，提出了兩種工藝方案，為了研究哪一種方案好，分別對兩種工藝各進行了10次試驗，計算得假設得率均服從正態分布，問方案乙是否能比方案甲顯著提高得率 ？        概率論與數理統計模擬試題C解答概率論與數理統計模擬試題D一、填空題（每小題3分，共15分）1甲、乙二人獨立地向同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現已知目標被命中，則它是甲命中的概率是_。2設X和Y為兩個隨機變量，且 ，則 。3設隨機變量X與Y獨立， ,且 ，則 。4設 是來自正態總

22、體N（0，1）的簡單隨機樣本，令 為使 服從 分布，則a=_,b=_.5設由來自正態總體 的一個容量為9的簡單隨機樣本計算得樣本均值為5，則未知數 的置信度為0.95的置信區間為_。二、選擇題（每小題3分，共15分）1當事件A與事件B同時發生時，事件C必發生，則（   ）。2設隨機變量X服從指數分布，則隨機變量Ymin（X，2）的分布函數（   ）。（A）是連續函數；         （B）至少有兩個間斷點；（C）是階梯函數；      

23、;   （D）恰好有一個間斷點。3設隨機變量X和Y獨立同分布，記UXY，VX +Y ,則隨機變量U與V也（   ）。（A）不獨立；             （B）獨立；（C）相關系數不為零；     （D）相關系數為零。4設總體X服從正態 分布， 是來自X的簡單隨機樣本，為使 是 的無偏估計量，則A的值為（   ）。5對正態總體的數學期望進行假設檢驗，如果在顯著水平 下，接受假

24、設 ，則在顯著水平 下，下列結論中正確的是（   ）。（A）必接受 ；      （B）可能接受，也可能有拒絕 ；（C）必拒絕 ；  （D）不接受，也不拒絕 。三、（本題滿分10分）三架飛機：已架長機兩架僚機，一同飛往某目的地進行轟炸，但要到達目的地，一定要有無線電導航。而只有長機有此設備。一旦到達目的地，各機將獨立進行轟炸，且每架飛機炸毀目標的概率均為0.3。在到達目的地之前，必須經過高射炮陣地上空。此時任一飛機被擊落的概率為0.2，求目標被炸毀的概率。四、（本題滿分10分）使用了 小時的電子管在以后的 小時內損

25、壞的概率等于 ，其中 是不依賴于 的數，求電子管在T小時內損壞的概率。五、（本題滿分10分）設隨機變量X與Y獨立同服從參數為1的指數分布。證明 相互獨立。六、（本題滿分10分）設二維隨機變量（X，Y）的聯合密度函數為 （1）       計算 ;（2）       求X與Y的密度函數；（3）       求ZXY 的密度和函數。七、（本題滿分15分）設總體X服從正態 分布， 是來自X的一個樣本， 是未知參數。（1）&

26、#160;      區域 的最大似然估計量 ；（2）       是否是 的有效估計？為什么？八、（本題滿分15分）設有線性模型其中 相互獨立，同服從正態 分布：（1）       試求系數 的最小二乘估計；（2）       求 的無偏估計量；（3）       求構造檢驗假設 的統計量。概率論與數理統計

27、模擬試題D解答考研試題A1999年全國碩士研究生入學考試數學試題三（四）（概率統計部分）一、 填空題（每小題3分）（4）在天平上重復稱量一重為a的物品，假設各次稱量結果相互獨立且同服從正態分布 若以 表示n次稱量結果的算術平均值，則為使n的最小值應不小于自然數_.(5)設隨機變量 (i,j=1,2,n;n>1)獨立同分布， , 則行列式 的數學期望EY=_.二、選擇題（每小題3分）(5) 在電爐上安裝了4個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機的。在使用過程中,只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度t0，電爐就斷電。以E表示事件“電爐斷電”，設 為4個溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值，則事件

28、E等于（ ）。(A) ;   (B) ；(C) ； (D) 十一、（8分）設0.05，1.25，0.80，2.00是來自總體X的簡單隨機樣本值，已知Y=lnX服從正態分布N(,1).（1） 求X的數學期望E(X),(記E(X)為b).（2） 求的置信度為0.95置信區間.（3）; 利用上述結果求b的置信度為0.95置信區間.十二、（8分）設A,B是二隨機事件，隨機變量試證明隨機變量X和Y不相關的充分必要條件是A與B相互獨立。 解 答一、 填空題（4）1,3；（5）8/9二、 選擇題  （5）C十一、（1）Y的概率密度函數為于是 (2)當置信度 時，標準正

29、態分布的分位數為1.96，由于 ，所以其中 從而（-0.98，0.98）就是 的置信度為0.95置信區間.（3）由于函數 嚴格單調增加，所以b的置信度為0.95置信區間是( ) .十二、記 ,由數學期望的定義，知由于XY只有兩個可能值1和-1，所以從而， 因此，Cov(X,Y)=0當且僅當 , 即X和Y不相關當且僅當事件A與B相互獨立。考研試題B1999年全國碩士研究生入學考試數學試題四（三）（概率統計部分）一、 填空題（每小題3分）(5)設隨機變量X服從參數為的Poisson分布，且已知E(X-1)(X-2)=1,則_.二、 選擇題（每小題3分）(4)設隨機變量X和Y的方差存在且不等于0，則

30、D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y(A) 不相關的充分條件，但不是必要條件；(B) 獨立的必要條件，但不是充分條件；(C) 不相關的充分必要條件；(D) 獨立的充分必要條件.(5)假設隨機變量X服從指數分布，則隨機變量Y=min(X,2)的分布函數(B)是連續函數;   (B)至少有兩個間斷點;(B)是階梯函數;    (D) 恰好有一個間斷點十一、（8分）設二維隨機變量(X,Y)在矩形 上服從均勻分布，試求邊長X和Y的面積S的概率密度f(s). 十二、（8分）已知隨機變量 和 的概率分布而且 .(1)求 和 聯合分布；(2)問 和 是否

31、獨立？為什么？解 答一、 填空題（5）1二、 選擇題  （4）C；（5）D十一、二維隨機變量(X,Y)的概率密度為設 為S的分布函數，則當 時，F(s)=0, 當 時，F(s)=1.設0<s<2. 曲線xy=s與矩形G的上邊交于點（s,1）,位于曲線xy=s上方的點滿足xy>s,位于曲線xy=s下方的點滿足xy<s, 于是于是 十二、（1）由 ，可得 因此， 和 聯合分布如下：（2）由以上結果，得 而 ，所以 和 不是獨立的。考研試題C2000年全國碩士研究生入學考試數學試題三（四）（概率統計部分）一、 填空題（每小題3分）(4) 設隨機變量X的概率密度為若k

32、使得 ，則k的取值范圍是_.（5）假設隨機變量X在區間-1,2上服從均勻分布；隨機變量則方差DY=_.二、選擇題（每小題3分）(5) 在電爐上安裝了4個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機的。在使用過程中,只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度t0，電爐就斷電。以E表示事件“電爐斷電”，設 為4個溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值，則事件E等于（ ）。(A) ;   (B) ；(C) ； (D) 。十一、（8分）設0.05，1.25，0.80，2.00是來自總體X的簡單隨機樣本值，已知Y=lnX服從正態分布N(,1).（1） 求X的數學期望E(X),(記E(X)為b).（2） 求的置信度為0.95置信區間.（3）; 利用上述結果求b的置信度為0.95置信區間.十二、（8分）設A,B是二隨機事件，隨機變量試證明隨機變量X和Y不相關的充分必要條件是