1、武漢重點(diǎn)中學(xué)八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期正方形專題培優(yōu)訓(xùn)練1.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上若正方形A1B1C1D1的邊長為1，B1C1O=60°，B1C1B2C2B3C3，則點(diǎn)A3到x軸的距離是（）ABCD2如圖，邊長為a的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形ABCD，圖中陰影部分的面積為（） Aa2Ba2C（1）a2D（1）a23.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，且G為BC的三等分點(diǎn)，R為EF中點(diǎn)，正方形BEFG的邊長為4，則

2、DEK的面積為（）A10B12C14D164.將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，An分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm25如圖所示，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a+b=10，ab=20，那么陰影部分的面積是 6.已知，如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過O作OEOF，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若AE=4，CF=3，則四邊形OEBF的面積為 7.如圖，分別以ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)作三個等邊三角形，即ABD，BCE，ACF請回答下列問題：（1）說明四邊形ADEF是什么

3、四邊形？（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？（3）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是菱形？（4）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是正方形？（5）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形不存在？（第（2）（3）（4）（5）題不必說明理由）8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OEFG為正方形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）將一個最短邊長大于的直角三角形紙片的直角頂點(diǎn)放在對角線FO上（1）如圖，當(dāng)三角形紙片的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)F重合，一條直角邊落在直線FO上時(shí)，這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分（即陰影部分）的面積為 ；（2）若三角形紙片的直角頂點(diǎn)不與點(diǎn)O，F(xiàn)重合，且兩條直

4、角邊與正方形相鄰兩邊相交，當(dāng)這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，試確定三角形紙片直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)（不寫求解過程），并畫出此時(shí)的圖形9.（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果GCE=45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且DCE=45°，BE=4，

5、DE=10，求直角梯形ABCD的面積10.如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM（1）求證：AMBENB；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長11.以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接這四個點(diǎn)，得四邊形EFGH（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，

6、當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC=（0°90°），試用含的代數(shù)式表示HAE；求證：HE=HG；四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由12.如圖所示，已知A、B為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上方一動點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點(diǎn)D作DD1l于點(diǎn)D1，過點(diǎn)E作EE1l于點(diǎn)E1（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)（此時(shí)E1與E重合），試說明DD1=AB；（2）在圖中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，試探求三條線段DD1、EE1、AB

7、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在直線l的下方時(shí)，請直接寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）13.（1）如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求EAF的度數(shù)（2）如圖，在RtABD中，BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且MAN=45°，將ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）在圖中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長14.正方形ABC

8、D中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，P是對角線AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFCD于點(diǎn)F如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF=CF（1）如圖2，若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PEPB且PE交CD于點(diǎn)E求證：DF=EF；寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點(diǎn)E請完成圖3并判斷（1）中的結(jié)論、是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明） 武漢重點(diǎn)中學(xué)八年級下學(xué)期正方形培優(yōu)試題答案1.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、

9、E3、E4、C3在x軸上若正方形A1B1C1D1的邊長為1，B1C1O=60°，B1C1B2C2B3C3，則點(diǎn)A3到x軸的距離是（）ABCD解：過小正方形的一個頂點(diǎn)W作FQx軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A3FFQ于點(diǎn)F，正方形A1B1C1D1的邊長為1，B1C1O=60°，B1C1B2C2B3C3，B3C3 E4=60°，D1C1E1=30°，E2B2C2=30°，D1E1=D1C1=，D1E1=B2E2=，cos30°=，解得：B2C2=，B3E4=，cos30°=，解得：B3C3=，則WC3=，根據(jù)題意得出：WC3 Q=30°

10、;，C3 WQ=60°，A3 WF=30°，WQ=×=，F(xiàn)W=WA3cos30°=×=，則點(diǎn)A3到x軸的距離是：FW+WQ=+=，故選：D2.如圖，邊長為a的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形ABCD，圖中陰影部分的面積為（）Aa2Ba2C（1）a2D（1）a2解：設(shè)BC與CD交于點(diǎn)E，連接AE在ABE與ADE中，ABE=ADE=90°，ABEADE（HL），BAE=DAEBAB=30°，BAD=90°，BAE=DAE=30°，DE=ADtanDAE=aS四邊形ABED=2SADE=

11、2××a×a=a2陰影部分的面積=S正方形ABCDS四邊形ABED=（1）a 2故選：D3.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，且G為BC的三等分點(diǎn)，R為EF中點(diǎn)，正方形BEFG的邊長為4，則DEK的面積為（）A10B12C14D16解：連DB，GE，F(xiàn)K，則DBGEFK，在梯形GDBE中，SGDB=SEDB（同底等高），SGDB公共三角形=SEDB公共三角形，即SDGE=SGEB，SGKE=SGFE，同理SGKE=SGFES陰影=SDGE+SGKE=SGEB+SGEF=S正方形GBEF=42=16故選D4.將n個邊長都

12、為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，An分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2解：連接正方形的中心和其余兩個頂點(diǎn)可證得含45°的兩個三角形全等，進(jìn)而求得陰影部分面積等于正方形面積的，即是5個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n1）=cm2故選C5.如圖所示，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a+b=10，ab=20，那么陰影部分的面積是20解：根據(jù)題意可得，陰影部分面積為兩個正方形面積和減去空白面積，即（a2+b2）=（

13、a2+b2ab）=（a2+b2+2ab3ab）=（a+b）23ab；代入a+b=10，ab=20可得陰影面積為（10×1020×3）÷2=20；故答案為206.已知，如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過O作OEOF，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若AE=4，CF=3，則四邊形OEBF的面積為解答：解：四邊形ABCD是正方形OA=OB，EAO=FBO=45°又AOE+EOB=90°，BOF+EOB=90°AOE=BOF，AEOBFOAE=BFBE=CFAB=3+4=7OA×OB= S四邊形OEBF=SAOB=

14、×OA×OB= 故答案為7.如圖，分別以ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)作三個等邊三角形，即ABD，BCE，ACF請回答下列問題：（1）說明四邊形ADEF是什么四邊形？（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？（3）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是菱形？（4）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是正方形？（5）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形不存在？（第（2）（3）（4）（5）題不必說明理由）解：（1）四邊形ADEF是平行四邊形（1分）等邊三角形BCE和等邊三角形ABD，BE=BC，BD=BA又DBE=60°ABE，ABC=6

15、0°ABE，DBE=ABC在BDE和BCA中，BDEBCA（2分）DE=AC在等邊三角形ACF中，AC=AF，DE=AF同理DA=EF四邊形ADEF是平行四邊形（4分）（2）當(dāng)BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形（5分）（3）當(dāng)AB=AC，或ABC=ACB=15°時(shí)，四邊形ADEF是菱形（6分）（4）當(dāng)BAC=150°且AB=AC，或ABC=ACB=15°時(shí)，四邊形ADEF是正方形（7分）（5）當(dāng)BAC=60°時(shí)，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形不存在（8分）8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OEFG為正方形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）將一

16、個最短邊長大于的直角三角形紙片的直角頂點(diǎn)放在對角線FO上（1）如圖，當(dāng)三角形紙片的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)F重合，一條直角邊落在直線FO上時(shí)，這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分（即陰影部分）的面積為；（2）若三角形紙片的直角頂點(diǎn)不與點(diǎn)O，F(xiàn)重合，且兩條直角邊與正方形相鄰兩邊相交，當(dāng)這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，試確定三角形紙片直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)（不要求寫出求解過程），并畫出此時(shí)的圖形解：（1）S=OEEF=；（2）如圖，正方形GFEO的面積為1，當(dāng)重合的面積為正方形GFEO的面積的一半時(shí)，有兩種情況：四邊形OSCB的面積為時(shí)，易證得四邊形ACOD為正方形，ABCDSC，

17、有四邊形OSCB的面積與正方形ACOD的面積相等，故有OD=OA=即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）四邊形FSCB的面積為時(shí)，易證得四邊形ACDF為正方形，ABCDSC，有四邊形FSCB的面積與正方形ACDO的面積相等，故有FD=FA=即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1）9.（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果GCE=45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），

18、B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積（1）證明：四邊形是ABCD正方形，BC=CD，B=CDF=90°，BE=DF，CBECDF（SAS）CE=CF （2分）（2）證明：如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF由（1）知CBECDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90°，又GCE=45°，GCF=GCE=45°CE=CF，GC=GC，ECGFCG（5分）GE=GF，GE=GF=DF+GD=BE+GD （6分）（3）解：如圖3，過C

19、作CGAD，交AD延長線于G在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90°，又CGA=90°，AB=BC，四邊形ABCG為正方形AG=BC（7分）DCE=45°，根據(jù)（1）（2）可知，ED=BE+DG（8分）10=4+DG，即DG=6設(shè)AB=x，則AE=x4，AD=x6，在RtAED中，DE2=AD2+AE2，即102=（x6）2+（x4）2解這個方程，得：x=12或x=2（舍去）（9分）AB=12S梯形ABCD=（AD+BC）AB=×（6+12）×12=108即梯形ABCD的面積為108（10分）10.如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等

20、邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM（1）求證：AMBENB；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長（1）證明：ABE是等邊三角形，BA=BE，ABE=60°MBN=60°，MBNABN=ABEABN即MBA=NBE又MB=NB，AMBENB（SAS）（5分）（2）解：當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小（7分）如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，A

21、M+BM+CM的值最小（9分）理由如下：連接MN，由（1）知，AMBENB，AM=EN，MBN=60°，MB=NB，BMN是等邊三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10分）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長（11分）（3）解：過E點(diǎn)作EFBC交CB的延長線于F，EBF=ABFABE=90°60°=30°設(shè)正方形的邊長為x，則BF=x，EF=在RtEFC中，EF2+FC2=EC2，（）2+（x+x）2=（12分）解得，x1=，x2=（舍去負(fù)值）正方形

22、的邊長為（13分）11.以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接這四個點(diǎn)，得四邊形EFGH（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC=（0°90°），試用含的代數(shù)式表示HAE；求證：HE=HG；四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由（1）解：四邊形EFGH的形狀是正方形（2）解：HAE=90°+a，在平行四邊形ABCD中ABC

23、D，BAD=180°ADC=180°a，HAD和EAB是等腰直角三角形，HAD=EAB=45°，HAE=360°HADEABBAD=360°45°45°（180°a）=90°+a，答：用含的代數(shù)式表示HAE是90°+a證明：AEB和DGC是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AE=DG，AHD和DGC是等腰直角三角形，HDA=CDG=45°，HDG=HDA+ADC+CDG=90°+a=HAE，AHD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEH

24、DG，HE=HG答：四邊形EFGH是正方形，理由是：由同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，HE=HG，GH=GF=EF=HE，四邊形EFGH是菱形，HAEHDG，DHG=AHE，AHD=AHG+DHG=90°，EHG=AHG+AHE=90°，四邊形EFGH是正方形12.如圖所示，已知A、B為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上方一動點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點(diǎn)D作DD1l于點(diǎn)D1，過點(diǎn)E作EE1l于點(diǎn)E1（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)（此時(shí)E1與E重合），試說明DD1=AB；（2）在圖中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，

25、試探求三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在直線l的下方時(shí)，請直接寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）解答：（1）證明：四邊形CADF、CBEG是正方形，AD=CA，DAC=ABC=90°，DAD1+CAB=90°，DD1AB，DD1A=ABC=90°，DAD1+ADD1=90°，ADD1=CAB，在ADD1和CAB中，ADD1CAB（AAS），DD1=AB；（2）解：AB=DD1+EE1證明：過點(diǎn)C作CHAB于H，DD1AB，DD1A=CHA=90°，DAD1+ADD1=90

26、76;，四邊形CADF是正方形，AD=CA，DAC=90°，DAD1+CAH=90°，ADD1=CAH，在ADD1和CAH中，ADD1CAH（AAS），DD1=AH；同理：EE1=BH，AB=AH+BH=DD1+EE1；（3）解：AB=DD1EE1證明：過點(diǎn)C作CHAB于H，DD1AB，DD1A=CHA=90°，DAD1+ADD1=90°，四邊形CADF是正方形，AD=CA，DAC=90°，DAD1+CAH=90°，ADD1=CAH，在ADD1和CAH中，ADD1CAH（AAS），DD1=AH；同理：EE1=BH，AB=AHBH=DD

27、1EE113（1）如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求EAF的度數(shù)（2）如圖，在RtABD中，BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且MAN=45°，將ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）在圖中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長解：（1）在RtABE和RtAGE中，AB=AG，AE=AE，RtABERtAGE（HL）BAE=GAE同理，GAF=DAF（2）MN2=ND2+DH2（3分）BAM=DAH，BAM+DAN=45°，HAN=DAH+DAN=45°HAN=MAN又AM=AH，AN=AN，AMNAHNMN=HN（5分）BAD=90°，AB=AD，ABD=ADB=45°HDN=HDA+ADB=90°NH2=ND2+DH2MN2=ND2+DH2（6分）（3）由（1）知，BE=EG，DF=F