1、精選優質文檔-傾情為你奉上14.1 變量與函數重要知識點講解1、常量與變量在一個變化過程中，數值發生變化的量叫做_，始終不變的量叫做_。2、函數一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量和，并且對于的每一個確定的值，都有唯一的值與其對應，那么我們就說_是自變量，是的_。3、在一個函數關系式中，如果當時，那么叫做當自變量的值為時的_。4、自變量的取值范圍確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮函數關系式有意義，而且還要注意_使實際問題有意義。5、函數的圖像（1）對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的_與_，在坐標平面內描出相應的點，這些點組成的圖形，就是這個函數的_。（2）描點法畫函數

2、圖像的一般步驟是：_；_；_；（3）當函數圖像從左向右上升時，函數值隨自變量的變大而_；當圖像從左向右下降時，函數值隨自變量的變大而_。（4）函數的表示方法：共有_種，分別是_法、_法、和_法。答案：1、變量，常量；2、唯一，函數；3、函數值；4、自變量的取值；5、（1）橫坐標，縱坐標，圖像；（2）列表，描點，連線；（3）變大，變小；（4）3，圖像，列表，解析式。重要知識點講解知識點一：變量和常量在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。詳解：如在行程問題中，當速度保持不變時，行走的路程的長短隨時間的變化而變化，那么在這一過程中，是常量，而和是變量。當路程是個定值

3、時，行走的時間隨速度的變化而變化，那么在這一過程中，是常量，而和是變量。注意：（1）變量和常量往往是相對的，對于不同的研究過程而言，其中的變量和常量是不相同的，變量和常量的身份是可以相互轉換的，如：三者之間；（2）區分常量與變量，就是看某個變化過程中，該量的值是否可以改變（即是否會取不同的數值）；（3）在討論常量和變量的關系時要考慮變量的實際意義，如：長度，天數，身高不能為負數，人數必須是非負整數等。例1 寫出下列各問題中所滿足的關系式，并支出各關系式中，哪些是常量，哪些是變量。（1）購買單價是0.4元的鉛筆，總金額（元）與購買的鉛筆之間的關系；（2）運動員在一周的跑道上訓練，他跑一圈所用的時

4、間與跑步速度的關系。答案：（1）與之間的關系為：，其中，常量為0.4，變量為和。（2）與之間的關系式為，其中，常量為400，變量為與。知識點二：函數的概念一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一的值與其對應，那么就說為自變量，是的函數。詳解：例如，一列貨車以的速度勻速行駛，如果行駛了，那么路程（）。這時的速度是不變的量，而和是變化著的量，可以在非負實數范圍內取任意值，對于的每一個確定的值，必可以求出唯一的一個確定的路程與之相對應，因此路程是時間的函數。注意：對函數概念的理解，主要應該抓住以下五點：（1）在某一個變化過程中必須有兩個變量與。如等。（2）對于自

5、變量的取值，必須使代數式有意義。如：中的自變量可以在實數范圍內取值；如中的被開放書要滿足。另外，在實際問題中，自變量的取值必須使實際問題有意義。如多邊形的內角和是變數的函數，即，如果只是從代數式有意義的角度來考慮，是可以取任意實數的，但我們知道多邊形的邊數必須是大于2的正整數。（3）函數的實質揭示了兩個變量之間的對應關系：每取一個值，都有唯一的值與之相對應，否則就不是的函數。（4）判斷兩個函數是不是同一個函數，應該從自變量的取值范圍，函數的取值范圍、函數解析式是否一致來判斷。如：和，其中中的可以取任意實數，中的取不等于0的實數，所以和不是同一個函數。（5）含有一個變量的代數式可以看作是這兩個變

6、量的函數。如，我們可以將和看作兩個變量，隨的變化而變化，在實數范圍內每取一個值，就有唯一的值與之對應，所以是的函數。例2 判斷下面變量之間的關系是不是函數關系：（1）已知圓的半徑，則圓的面積；（2）長方形的寬一定時，其長與周長；（3）王明的年齡和他的身高。答案：（1）和（3）不是函數關系，（2）是函數關系。知識點三：自變量的取值范圍函數關系式中自變量的取值范圍必須使函數解析式有意義。（1）當函數解析式是整式時，自變量的取值范圍可取全體實數；（2）當函數解析式是分式（分母中含有字母）時，自變量的取值范圍要使分母不等于零。（3）當解析式是偶次根式時，自變量必須使被開方數是非負數；（4）對于實際問題

7、中的函數，除使解析式有意義外，還要使實際問題有意義；（5）自變量的取值范圍可以是有限的或無限的，也可以是幾個數或單獨的一個數。例如：中，自變量的取值范圍是；中，自變量的取值范圍是。（6）在一個函數關系式中，當自變量同時含在分式和二次根式中時，函數自變量的取值范圍是使它們分別有意義的取值的公共部分。例3 求下列函數中自變量的取值范圍：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）例4 已知：等腰三角形的周長為，設底邊長為，腰長為，試寫出關于的函數關系式，并確定的取值范圍。若底邊長為，求腰長是多少？答案：由題意，得，所以。由解析式本身有意義，得為全體實數。又由使實際問題有意義，則要考慮邊長

8、為正數，且要滿足三角形三邊關系定理。所以有：即，解得。當時，解得。所以腰長是。知識點四：函數值對于一個函數，當自變量時，我們可以求出與它對應的的值，我們就說這個值是時的函數值。詳解：（1）當已知函數解析式時，求函數值就是求代數式的值；當已知函數解析式，給出函數值，求相應的自變量的值就是解方程。（2）對于一個函數，可能有若干個函數值。取不同的值，函數值可能不相等。因此我們應該說明自變量取什么值時的函數值，如：函數，當時的函數值是-3，時的函數值就是0.而不能簡單地說函數的函數值是-3。例5 已知：函數，當時，。（1）求的值；（2）當時，求的值。答案：（1）；知識點五：函數的表示方法函數的表示方法

9、，一般有三種：解析式法、列表法和圖像法，其中解析式法應用較多。有的函數可以用三種方法中的任何一種來表示，而有的只能用其中的一種或兩種來表示。詳解：解析式（函數關系式）：用來表示的函數關系式的數學式子叫做函數解析式或函數關系式，例如以前我們學過的代數式都是解析式。（1）解析式法：用解析式來表示函數關系的方法叫做解析式法。解析式法能揭示變量之間的內在聯系，便于我們研究、分析變化趨勢，但較抽象，且并不是所有的函數都能列出解析式。如：人的體重和時間之間的函數關系，就很難用解析式法來表示。（2）列表法：用表格來表示函數關系的方法，這種方法比較具體，但有時很難找出兩個變量之間的內在聯系。（3）圖像法：用圖

10、像來表示函數關系的方法，這種方法直觀，通過圖像可以直觀地發現兩個變量之間的對應關系及變化發展趨勢，但不精確。三種方法各有優缺點，在學習應用中，應視具體情況，選擇適當的表示法，或將三種方法結合適用。例6 下列圖形不能體現是的函數關系的是（ ）答案：C知識點六：圖像的概念一般地，對于一個函數，如果你把自變量和函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點所組成的圖形，就是這個函數的圖像。詳解：如：對于函數，在坐標平面內描出的橫坐標和縱坐標相等的點。由幾何知識（到一個角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線）知，這樣的點組成的圖形是一條直線（第一、三象限角平分線），這條直線就是函數

11、的圖像，如下圖所示。函數圖像上的點的坐標與其解析式之間的關系：由函數圖像的定義可知圖像上任意一點中，是解析式方程的一個解。反之，以解析式方程的任意一個解為坐標的點一定在函數的圖像上。通常判定點是否在函數圖像上的方法：將這個點的坐標代入函數解析式，如果滿足函數解析式，這個點就在函數的圖像上；如果不滿足函數解析式，這個點就不在函數的圖像上。說明：兩個函數圖像的交點，就是這兩個函數解析式所組成的方程組的解。 由于實際問題的制約，自變量的取值范圍，應符合以下條件：使函數表達式有意義；符合題意與實際情況。例7 小明晚飯后出去散步，從家里出發走20分鐘到一個離家900米的報亭看報10分鐘后，用15分鐘返回

12、家，下列圖中表示小明離家的距離（米）與離家的時間（分）之間的函數關系式是（ ）答案：D知識點七：由函數解析式畫圖像的一般步驟（1）列表：列出自變量與函數的一些對應值；（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出對應的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。注意：用描點法畫函數圖像應注意以下幾點：（1）列表時要根據自變量的取值范圍取值，從小到大或自中間向兩邊選取，取值要有代表性，盡量使畫出的函數圖像能反映出函數的全貌。（2）描點時要以表中每對對應值為坐標，點取得越多，圖像越準確。（3）連線時要用光滑的曲線把所描的點順次連接起來。函數的圖像可以是直線或者是

13、射線或線段或曲線，它形象直觀地反映兩個變量之間的對應關系，在確定函數圖像時要注意自變量的取值范圍。例8 畫出函數的圖像。經典例題講解例1 底邊上的高是，當三角形的頂點沿底邊向點運動時，三角形的面積發生了變化，如圖所示，（1） 如果三角形的底邊長為cm，那么三角形的面積可以表示為_;（2） 在這個變化過程中，常量是_，變量是_;（3） 當底邊長從變化到時，三角形的面積從_變化到_.例2 下列式子中的的函數嗎？為什么？答案：（1）（2）（4）是，（3）（5）（6）不是。例3 一水庫的水位在最近6天內持續上漲，記錄數據如下表所示：（天）01234561212.51313.51414.515（1）由記

14、錄表推出這6天中水位隨時間（天）變化的函數解析式，并畫出函數圖像；（2）估計這種上漲的勢頭還會持續2天，試預測再過2天水位將達到多少米。例4 如下圖，在長方形中，是邊上與點不重合的動點，過點的直線交的延長線與點，交于點（與不重合），且，設，梯形的面積為，求當時，和之間的函數關系式。例5 下圖是古代一種計時器“漏壺”的示意圖，在壺內盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出，壺壁內畫有刻度，人們根據壺中水面的位置計算時間，若用表示時間，表示壺底水面的高度，下列的圖像適合表示一小段時間內與的函數關系的是（不考慮水量變化對壓力的影響）答案：B例6 如圖，在矩形中， ，點從起點出發，沿方向向終點勻速運動。設點走過的路程為，則線段與舉行圍成的圖形的面積為，下列圖像中能大致反映和函數關系的是（ ） 答案：A基礎闖關全練1、 選擇題1、下列關于圓的面積與半徑之間的函數關系中，有關常量和變量的說法正確的是（ ）A、，是變量，是常量B、，是變量，2是常量C、，是變量，是常量D、，是變量，和2是常量2、 下表是一項試驗的統計數據，表示皮球從高處d處落下時，彈跳高