1、遞推數列通項公式常用方法 求遞推數列通項公式是數列知識的一個重點，也是一個難點，高考也往往通過考查遞推數列來考查學生對知識的探索能力，求遞推數列的通項公式一般是將遞推公式變形，推得原數列是一種特殊的數列或原數列的項的某種組合是一種特殊數列，把一些較難處理的數列問題化為中學中所研究的等差或等比數列，下面就求遞推數列通向公式的常用方法舉例供參考：一 公式法：利用熟知的的公式求通項公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數列或等比數列的通項公式。即與消去 或與消去進行求解。例1 已知無窮數列的前項和為，并且，求的通項公式？跟蹤訓練1.已知數列的前項和，滿足關系.試證數列是等比數列.二 歸納法：由數列

2、前幾項用不完全歸納猜測出數列的通項公式，再利用數學歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例2 已知數列中，求數列的通項公式.跟蹤訓練2.設是正數組成的數列，其前項和為，并且對于所有自然數，與1的等差中項等于與1的等比中項，求數列的通項公式.三 累加法：利用求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數列通項公式的基本方法（可求前項和）. 即類型 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例3 已知無窮數列的的通項公式是，若數列滿足，求數列的通項公式.跟蹤訓練3.已知,求數列通項公式.四 累乘法:利用恒等式求通項公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如: 的遞推數列通項公式的基本方

3、法(數列可求前項積).即類型 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4 已知,求數列通項公式.跟蹤訓練4.已知數列滿足,.則的通項公式是.五 構造新數列（也叫待定系數法）: 將遞推公式（為常數，）通過與原遞推公式恒等變成的方法叫構造新數列.即類型 （其中p，q均為常數，）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。例5 已知數列中, ,求的通項公式.跟蹤訓練5.已知數列中, ,求數列的通項公式.六 倒數變換：將遞推數列,取倒數變成 的形式的方法叫倒數變換.例6 已知數列中, ,求數列的通項公式.跟蹤訓練6.已知數列中, ,求數列的通項公

4、式.七、取對數法例7 若數列中，=3且（n是正整數），則它的通項公式是=（2002年上海高考題）.八、平方（開方）法例8 若數列中，=2且（n），求它的通項公式是.九 類型 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。 解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。例9:已知數列中，,，求。十. 類型 遞推公式為（其中p，q均為常數）。解 (特征根法)：對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數列的通項為，其中A

5、，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。例10: 數列：， ,求變式:（2006，福建,文,22）已知數列滿足求數列的通項公式；十一 類型 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解。例11：已知數列中，求數列十 二 類型 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為。例12：已知數列an滿足：，求數列an的通項公式。變式:（2006，江西,理,22）已知數列an滿足：a1，且an 求數列an的通項公式；十三 類型 周期型 解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。例13：若數列滿足，若，則的值為_。課后練習題1:已知數列滿足，求。2:已知數列滿足，求。3:已知， ，求。4:（2004，全國I,理15）已知數列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項 5:已知數列中，求.6:（2006，重慶,文,14）在數列中，若，則該數列的通項_7:已知數列中，,，求。8: 數列：， ,求9:（2006，福建