1、第十二章廣義積分與含參量積分一。廣義積分1. 無窮積分與瑕積分定義：設為瑕點，。2。收斂充要條件。 設為瑕點，3無窮積分的性質（1） 若收斂，則。（2） 若收斂，則收斂。（3） 與有相同的斂散性。（4） 若與收斂，則。 （5）,（已知其中兩項收斂）. （6）若收斂，且上嚴格增加，存在連續導數，則。 瑕積分有類似的性質。4 無窮積分與瑕積分可互化設為瑕點，。5 收斂判別法（1）若 ，則；。若 ，則；。常用來比較的廣義積分：；。極限形式：，若，則收斂； 若，則發散。設為的瑕點，若，則收斂； 若，則發散。 （2）若，上有界，則當 時，收斂。若在上有界，則當 時，收斂 二含參量積分（一） 概念：1 定

2、義（1）含參變量的有限積分：（2）含參變量的無窮積分：。2 無界函數的廣義積分可以化為無窮限的廣義積分。3 含參量無窮積分可以化為函數級數：其中為單調增加趨于無窮的數列，。所以，含參量無窮積分的理論可平行于函數級數來建立。（二） 含參量無窮積分一致收斂判別法1 利用定義判別：，則在上一致收斂。2 利用充要條件：（1）柯西準則：在上一致收斂的充要條件是.(2) 在上一致收斂任給單調遞增數列在上一致收斂。3M-判別法：若有控制函數滿足：收斂，則在上一致收斂。4阿貝爾判別法：若（1）關于在一致收斂；（2）單調，并關于為一致有界；則關于在上一致收斂。5狄立克萊判別法：若（1）對于和一致有界；（2）單調

3、，并當時關于上的一致趨于零；則關于在上一致收斂。6證明不一致收斂的方法：（1）若，則在上不一致收斂。（2）若連續，又在上收斂，但在處發散，則在上不一致收斂。（見例4）（三）含參量積分的分析性質：性質含 參 量 定 積 分含參量無窮積分條 件結 論條 件結 論連續性關于在一致收斂。可微性在上一致收斂。在上可微，且可積性I（x）、J（y）分別在a，b、c，d可積在上一致收斂。 I（x）在a，b可積性質含參量無窮積分條 件結 論可積性關于y在任何閉區間c，d一致收斂；關于x在任何閉區間a，b一致收斂；與中有一個收斂。（四）利用含參量積分計算定積分。方法一：（1） 把表成含參量積分；（2） 驗證條件，

4、施行積分號下積分法。方法二：（1） 找一個適當的含參量積分：，使得，從而，；（2） 驗證條件，施行積分號下微分法，（要關于x的原函數，易于求得）； （3） 對求積分；（4） 令取極限，或取，以確定常數，從而得出的表達式；（5） 。上述積分號下積分法與積分號下微分法就是交換兩種運算的順序，其作用是使不易直接求出的積分，先經過積分處理或微分處理之后，變得易于求出。三例題1 設，求：。解：及都在上連續，且，又因為，收斂，所以，一致收斂，從而，= （8。1）所以， ，當 ，由（8。1）式，得=。2 設在內成立不等式，若在上一致收斂，證明：在上一致收斂且絕對收斂。 證明：由條件，從而有，。所以，在上一致

5、收斂且絕對收斂。3 證明：若（存在），則。證明：先證在上一致收斂。方法一：用阿貝爾判別法因為（1）收斂，即關于一致收斂；（2）且對固定的y ，對x單調。所以，在上一致收斂。 方法二：關于在非負、單調減少，在可積，由積分第二中值定理，對一切，有因此，從收斂，可以推出在上一致收斂。因為收斂，在上一致收斂，所以，當時，有時， 。所以，。4設在連續,對上每一個,收斂,但積分在發散,證明:這積分在非一致收斂. 證明:因為發散,所以，.又因為在連續,所以,在一致連續.對,有從而有， 故所以，關于非一致收斂.5。證明：在上連續可微。（廈門大學2002年試卷）證明：,在連續； 單調一致趨于零，由狄立克萊判別法知在一致收斂，從而在連續可微，因此，在連續可微，由的任意性，在連續可微。6設在連續，證明：。（武漢大學2003年試卷）證明：因為在連續，對任意的自然數，從而，在0，1有界，設。因為，由的連續性，所以，從而有。所以，。練習題1. 證明，若函數在是正值單調減少的，且，則無窮積分與極限同時收斂，且。2. 判別下列無窮積分的斂散性：（1）；（2）；（3）。3證明，若函數在可導，且單調減少，而積分收斂，則無窮積分收斂。4判別廣義積分的絕對收斂與條件收斂。5證明，若瑕積分收斂（0是瑕點），且函數在（0，1）上單調，則。6已知，計算。7計算無