1、數列極限的幾種求法摘要本文通過實例，歸納總結了數列極限的若干種求法學習并掌握這些方法，對于學好數學分析頗有益處 關鍵詞數列極限；級數；定積分；重要極限；單調有界數列中圖分類號171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limitLearn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studyingKeywords：Sequenc

2、e limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence引言極限是分析數學中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態極限的概念，可追溯到古希臘時代，德謨克里特（Democritus）是古希臘的哲學家，他博學多才，著作多到五六十種，涉及哲學、數學、天文、生物、醫學、邏輯、教育與文學藝術等方面年輕時他花盡了父親給他的全部財產到埃及、巴比倫、印度等國家游歷，獲得了大量的科學知識馬克思、恩格斯稱他為“經驗的自然科學家和希臘人第一百個百科全書式的學者”謨克里特以探求真理為最大快樂，他有句名言：“

3、寧可找到一個因果的解釋，不愿獲得一個波斯王位”在他的著作中有一種原子法，把物體看作是由大量微小部分疊和而成，利用這一理論，求得錐體體積是等于等高柱體體積的三分之一，這是極限思想的萌芽公元前五世紀，希臘數學家安提豐（Antiphon）在研究化圓為方問題時創立了割圓術，即從一個簡單的圓內接正多邊形出發，把每邊所對的圓弧二等分，連結分點，得到一個邊數加倍的圓內接正多邊形，當重復這一步驟多次時，所得圓內接正多邊形面積之差將小于任何給定的限度實際上，安提豐認為圓內接正多邊形與圓最終將會重合稍后，另一位希臘數學家布里松(Bryson)考慮了用圓的外切正多邊形逼近圓的類似步驟這種以直線形逼近曲邊形的過程表明

4、，當時的希臘數學家已經產生了初步的極限思想公元前世紀，歐多克索斯(Eudoxus)將上述過程發展為處理面積、體積等問題的一般方法，稱為窮竭法，并發展為較為嚴格的理論，提出現在分析中通稱的“阿基米德公理”窮竭法成功地運用于面積的計算這些都可以看作是近代極限理論的雛形樸素的、直觀的極限思想在我國古代的文獻中也有記載如，中國古代的墨經中載有“窮，或有前，不容尺也”，莊子天下中載有“一尺之棰啊，日取其半，萬世不竭”公元世紀的中國數學家劉徽所創的割圓術，從圓內接正六邊形出發割圓，得到圓內接邊形序列，并指出割得越細，正多邊形的面積與圓面積之差就越小，“之又割，以至于不可割則與圓和體，面無所失矣”，其中包括

5、了深刻的極限思想基本概念定義若函數的定義域為全體正正數集合，則稱或為數列因正整數集的元素可由小到大的順序排列，故數列也可寫作或簡單地記為，其中稱為該數列的通項定義設為一數列，如果存在常數，對于任意給定的正數（無論它多么小），總存在正整數，使得當時，不等式都成立，那么就稱常數是數列的極限，或者稱數列收斂于，記為或若數列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發散數列數列極限的幾種求法極限論包括數列極限和函數極限兩類，其中計算數列極限有著多種多樣的方法，除了要熟練運用極限的四則運算法則，極限和無窮小量之間的關系和初等函數的連續性以外，還要掌握和應用更多的方法和技巧在這里，主要總結了以下幾種方法：（）四則運算法

6、；（）變量替換法；（）初等變形法；（）利用重要極限求數列極限；（）單調有界數列法；（）利用定積分求數列極限；（）利用兩邊夾定理法；（）級數法下面通過實例講述數列極限的若干種求法（）用四則運算法則求極限定理若與為收斂數列，則， 也都是收斂數列，且有，例求解，由得（）用變量替換求極限有時候，為了將已知的極限化簡，轉化成為已知的極限，可根據極限式的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來較復雜的極限過程轉化為更簡化的極限過程例設，求(i) ；(ii) 解可令，則于是（i） （ii） （）運用初等變形求極限對于某些較繁的數列，可用初等數學的方法將其變形，轉化為一個簡單的數列，然后再對之求極限例求

7、極限解因為（）利用重要極限求數列極限兩個重要極限分別為（i）；（ii）例求解（）利用單調有界數列法求極限這一方法是利用極限理論基本定理：單調有界數列必有極限，其方法為：判定數列是單調有界的，從而可設其極限為；建立數列相鄰兩項之間的關系式；在關系式兩端取極限，得到一個關于的方程，若能解出，問題得解例求數列，其中的極限解設則是單調有界數列，它要有極限，設其極限為在兩邊取極限得，即所以因為，所以，即（）利用定積分求數列極限若一個數列是一個和式的形式，且每一項可提出一個或其他形式的代數式，提出這些代數式后，剩下的可表示為一個通式，則可方便的用定積分法求解例求解原式（）利用兩邊夾定理求數列極限當一數列極

8、限不易直接求出時，可考慮將求極限的數列作適當的放大和縮小，使放大、縮小所得的新數列易于求極限，且兩端的極限值相等，則原數列的極限值存在，且等于它們的公共值例求解因為，又因為所以（）用級數展開式求數列極限級數是一個無窮序列和的形式，其部分和就是一個序列有時為了方便可將數列極限看作是某個級數的部分和，這樣能更方便、更簡捷的求出數列的極限例計算解由泰勒公式知：令得，則為所求總之，極限的求法很多，但如果在解題過程中能根據算式的特點注意使用適當的解題方法，則可以化難為易，使問題得到圓滿解決，并可提高解題效率參考文獻1華東師范大學數學系數學分析（上冊，第三版）北京：高等教育出版社，20062黃丹妹試論極限的計算方法數列篇福建：福建省僑興輕工學2005(07)：18-203魏立明一類數列極限求法的研究廣西賀洲梧州師