1、精選優質文檔-傾情為你奉上數學建模課程作業題-12第四章 微分方程模型-行星運行1水星到太陽的最遠距離為0.68982×1011m，此時水星繞太陽運行的線速度為3.886×104m/s，試求:(1)水星到太陽的最近的距離；(2)水星繞太陽運行的周期；(3)畫出水星繞太陽運行的軌道曲線；(4)求從遠日點開始的第50天(地球天)結束時水星的位置.（1）建立的模型及求解：水星運行的數學模型行星運動軌跡方程 其中， 利用MATLAB進行計算求解（附錄一），得到水星到太陽的最近的距離為（2）建立的模型及求解：水星繞太陽運行的周期模型為:其中，。 利用MATLAB進行計算求解（附錄二）

2、，得到水星繞太陽運行的周期為T = 1.58×107s，約為183.4天。（3）利用matlab（附錄三）畫水星繞太陽運行的軌道曲線：（4）建立的模型及求解：水星的位置模型為如果要求出是水星的位置，即求出相應的和，則意味著先要解方程求出后，在求出，進而得到線速度。最后利用MATLAB計算求解（附錄四），解得從遠日點開始的第50天(地球天)結束時水星的位置如圖所示：2 (地中海鯊魚問題) 20世紀20年代中期，意大利生物學家DAncona偶然注意到第一次世界大戰期間在原南斯拉夫的里耶卡港，人們捕獲的魚類中，鯊魚等軟骨魚的百分比大量增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.

3、顯然，戰爭使捕魚量下降，食用魚應該增加，鯊魚等軟骨魚也隨之增加，但為何其比例大幅度增加呢？請對軟骨魚及食用魚的增長情況建立一個數學模型來解釋這一現象.年代19141915191619171918百分比（%）11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比（%）27.316.015.914.810.7建立的模型及求解：建立微分方程組如下：取初值。其中：x(t)是食用魚數量,y(t)是軟骨魚數量,r1是食用魚的獨立生存能力,r2是軟骨魚死亡率, 是軟骨魚捕食食用魚能力,食用魚為軟骨魚的供食能力,e是人捕獲食用魚能力。設戰前人的捕獲能力e=0.3，戰時為0.

4、1，則上述方程為戰前模型：戰時模型：設在t時刻，食用魚的數量為x(t),軟骨魚的數量為y(t)，根據四級四階的RungeKutta法可以得到如下計算公式：得到最終的迭代格式3 (魚場捕撈問題) 漁場中的魚資源若不進行捕撈則按自限規律增長. 若在漁場中由固定船隊進行連續作業，單位時間的產量與漁場中魚的數量成正比，比例系數為k，試建立描述該漁場魚數量的數學模型，并討論如何控制k使得漁場的魚資源保持穩定.模型的建立及求解：在無捕撈的情況下，魚的增長服從Logistic回歸模型，即（1）其中：x(t)是t時刻漁場魚的數量，r是固有增長率，N是所能容納最多的魚數，f(x)是無捕撈情況下單位時間內魚的增長

5、量。對（1）式兩端進行積分可得在有捕撈情況下，漁場魚量滿足（2）（3）其中：F(x)是有捕撈情況下單位時間內魚的增長量， K是捕撈強度，h(x)是單位時間魚產量。對（3）式兩端進行積分可得要控制漁場魚資源保持穩定，只需要F(x)=0,即（4）對（4）式求解，得顯然，為了維持漁場的穩定，漁場魚量為0是不可取的，只有漁場的魚量滿足時，漁場比較穩定。4 (產品推銷問題) 經濟學家和社會學家一直很關心新產品的推銷速度問題. 試建立一個數學模型來描述它，并由此分析出一些有用的結果來指導生產. 模型的建立及求解：該產品的銷售與它在市場上的銷售量成正比，還與市場上的剩余需求量成正比，即：，則可建立數學模型如

6、下：其中：M是市場需求有一個上界，K是比列系數， x(t)是t時刻已售出的新產品數量，x是銷售量。此方程為Logstic模型，其解為（1）對（1）關于t求一階導數得（2）對（1）關于t求二階導數得（3）當>0時，x(t)單調遞增的；令：=0即：=0此時：當時，銷售速度單調遞增；當時，銷售速度單調遞減。綜上，在銷售量小于最大需求量M的一半時，銷售速度是增大的，當銷售量達到最大需求量M的一半時，此時最暢銷。在銷售量超過最大需求量M的一半時，銷售速度是遞減的。所以初期小批量生產，經過一段時間的需求增長后大批量生產，達到M/2時，穩定生產。這樣可以取得較高的經濟效益。5 (蛛網模型) 自由貿易的

7、集市上存在這樣一種現象：一個時期由于豬肉的上市量大于需求、銷售不暢導致價格下降，農民覺得養豬賠錢，于是轉而經營其他農副產業，過段時間后豬肉上市量大減，供不應求導致價格上漲. 原來的飼養戶看到有利可掙，又重操舊業，這樣下一個時期又會重現供大于求、價格下降的局面. 在沒有外界干預的情況下，這種現象將如此循環下去，試建立數學模型解釋這一現象. 模型的建立及求解：在k段時間內，價格與豬的數量有關，即：該函數是一個減函數。假設：；在k+1段時間內，豬的數量是與第k段時間豬肉的價格相關的。即：該函數是一個增函數。假設：；由此我們可以得知：由此可知：這是一個等比數列形式。我們可以得到它的通項：最終化簡得到迭

8、代格式：專心-專注-專業附錄一：% zs_12_1_1r0 = 0.68982*1011;v0 = 3.886*104;theta = pi;M = 1.989*1030;G = 6.672*10-11;C1 = r0*v0;p = C12/(M*G);e = 1-p/r0;r = p/(1-e*cos(theta);disp(r);附錄二：% zs_12_1_2r0 = 0.68982*1011;v0 = 3.886*104;theta = pi;M = 1.989*1030;G = 6.672*10-11;C1 = r0*v0;p = C12/(M*G);e = 1-p/r0;T = 2*

9、pi*p2/(C1*(1-e2)3/2);disp(T);附錄三：% zs_12_1_3r0 = 0.68982*1011;v0 = 3.886*104;theta = 0:0.01:2*pi;M = 1.989*1030;G = 6.672*10-11;C1 = r0*v0;p = C12/(M*G);e = 1-p/r0;r = p./(1-e*cos(theta);x = r.*cos(theta);y = r.*sin(theta);plot(x,y)hold onplot(0,0,'r.','MarkerSize',50);hold onplot(0.

10、6982e11,0,'b.','MarkerSize',20);hold onplot(-4.6078e+010,0,'b.','MarkerSize',20);text(1,0,'太陽');text(0.6982e11,0,'遠日點');text(-4.6078e+010,0,'近日點');title('水星繞太陽運行的軌道曲線');附錄四：% zs_12_1_4c1 = 2.7132e15;M = 1.989e30;G = 6.672e-11; Q = inlin

11、e('2.7132e152/(r3)-1.989e30*6.672e-11/(r2)'); R = inline('q'); S = inline('2.7132e15/(r2)'); q = 0;r = 0.6982e11;theta = 0;t = 0;k = 1; h = 0.001e7; while theta<=2*pi K1 = Q(r);L1=R(q); N1 = S(r); K2 = Q(r+h/2*L1); L2 = R(q+h/2*K1); N2 = S(r+h/2*L1); K3 = Q(r+h/2*L2); L3 =

12、 R(q+h/2*K2); N3 = S(r+h/2*L2); K4 = Q(r+h*L3); L4 = R(q+h*K3); N4=S(r+h*L3); t = t+h; q = q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); r = r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4); theta = theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4); rr = r; ee = theta; xx(k) = rr*cos(ee);% 水星任意位置的橫坐標 yy(k) = rr*sin(ee);% 水星任意位置的縱坐標 k = k+1; endplot(xx,yy) % 畫出水星的軌道曲

13、線 hold onplot(0,0,'r.','MarkerSize',50);hold onplot(0.6982e11,0,'b.','MarkerSize',20); hold onplot(-4.6078e+010,0,'b.','MarkerSize',20);text(0,0,'太陽');text(0.6982e11,0,'遠日點');text(-4.6078e+010,0,'近日點');title('水星繞太陽運行的軌道曲線

14、9;); clc xx = 0;yy = 0;q = 0;r = 0.6982e11;theta = 0;t = 0;k = 1;h = 0.001e7;while t<=50*24*3600%求水星自遠日點開始第50天的位置 K1 = Q(r);L1=R(q);N1=S(r); K2 = Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1); N2 = S(r+h/2*L1); K3 = Q(r+h/2*L2); L3 = R(q+h/2*K2); N3 = S(r+h/2*L2); K4 = Q(r+h*L3); L4 = R(q+h*K3); N4 = S(r+h*L3); t = t+h; q = q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); r = r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4); theta = theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4); rr(k) = r; ee(k) = theta; xx(k)