1、1.2求下列各式的值。（1）(-i)解：-i=2cos( -30)+isin(-30) =2cos30- isin30(-i)=2cos(305)-isin(305) =2(-/2-i/2) =-16-16i 1.2求下列式子的值（2）（1+i）解：令z=1+i 則x=Re（z）=1，y=Im（z）=1r=tan=1x0,y0屬于第一象限角=1+i=（cos+isin）（1+i）=（）（cos+isin） =8（0-i） =-8i 1.2求下式的值(3)因為-1=（cos+sin）所以=cos(/6)+sin(/6) (k=0,1,2,3,4,5,6). 習題一1.2（4）求(1-i)的值。解

2、：(1-i) =(cos-+isin-) =cos()+isin() (k=0,1,2) 1.3求方程+8=0的所有根。解：所求方程的根就是w=因為-8=8（cos+isin）所以= cos(+2k)/3+isin(+2k)/3 k=0,1,2其中=2即 =2cos/3+isin/3=1i =2cos(+2)/3+isin(+2)/3=-2 =2cos(+4)/3+isin(+4)/3= 1i 習題二1.5 描出下列不等式所確定的區域或者閉區域，并指明它是有界還是無界的，單連通還是多連通的。(1) Im(z)0 解：設z=x+iy因為Im(z)0，即，y0而所以，不等式所確定的區域D為：不包括

3、實軸的上半平面。由所確定的區域可知，不存在某一個正數M，使得確定區域內的每個點z滿足，所以該區域是無界的。在該區域D內任意作一條簡單閉曲線，該曲線的內部總是屬于D區域，所以區域D為單連通區域。綜上所述，該不等式確定的區域是不包含實軸的上半區域，是無界的單連通區域。 描出下列不等式的區域或閉區域，并指出它是有界還是無界的，單連通的還是多連通的。1.5（2）|z+1|4解：該不等式的區域如圖所示：y1 5 x 圓（x-1）2+y2=4的外部（不包括圓周），無界的，為開的多連通區域 1.5.描出下列不等式所確定的區域或閉區域，并指明它是有界的還是無界的，單連通的還是多連通的0Re(z)1由直線X=0

4、與X=1所圍成的帶形區域，不包括兩直線在內，是無界的、開的單連通區域。 1.5描述下列不等式所確定的區域或閉區域，并指明它是有界的還是無界的，單連通的還是多連通的：（4）解：即為由圓周與所圍成的環形閉區域（包括圓周），是有界多連通閉區域。如圖：已知映射w=z3， 求（1） 點z1=i，z2=1+i，z3=+i，在w平面上的像。解：z=rei，則w=z3r3ei3。于是1 Z1=i=eei2,z2=1+i=2(cos4+isin4)= 2ei4Z3=3+i=2（32+i12）=2(cos6+isin6)=2 ei6經映射后在w平面上的像分別是 W1=ei33=-i, W2=232e34=22（-

5、12+i12）=-2+i2， W3=23ei2=8i第47頁3.5計算下列各題（1）01zsinzdz=01(-zdcosz) =-(zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - 01cosz dz ) =cos1-sin1注：因輸入法問題。故特設定z的共軛負數為z*,除號為/1.7：設f（z）=1/z2 (z/z*z*/z) (z0)當z0時，極限不存在解法一：首先假設zr ei 則有：(z/z*z*/z) r2 ( e-2 i- e2 i )/ r2 -2isin2 可見是隨發生變化而變化的變量 所以根據極限必須為常數可知 當z0時，極限不存在 是以此題得證。解法二：首先假設zx+iy

6、則(z/z*z*/z) (z*2 z2 )/x2 y2 -4ixy/ x2 y2 所以可見，當z0時，即當x0, y0時 因為有lim (x0, y0)xy/ x2 y2 極限不存在 所以當z0時，f（z）=1/z2 (z/z*z*/z)的極限不存在 是以此題得證。2.1 利用導數定義推出：（1） (zn)、=nzn-1(n為正整數)； 解 = =(nz+cz+.+c) =nz2.1(2) (1z)=-1z2limz0-1z-z+1zz=limz0-1z(z-z) =-1z2 (2)f(x)=2x3+3y3i解：u=2x3 ，v=3y3 。 , , 上述4個偏導處處連續，但僅當2x2=3y2時

7、C-R方程成立。因而函數只在直線=0上可導，但是在復平面上不解析。 習題2 2.2的第一小題下列函數在何處可導？何處解析？解：在 z 平面上處處連續，且當且僅當2x = 1 時，u,v 才滿足C-R 條件，故f (z) = u + i v = x -i y僅在直線 上可導，在z 平面上處處不解析。7.6(2)：求下列函數的傅里葉變換：f(t)=costsint.解：F()=-+sintcoste-itdt =12-+sin2te-itdt =1212i-+(e2it-e-2it)e-itdt =14i(-+e-i-2tdt-+e-i+2tdt =14i2-2-2+2 =i2+2-222以下函數

8、何處可導？何處解析？ f（z）=sinxchy+icosxshy 解： u=sinxchy v=cosxshy 可得 并且上述四個一階偏導數均連續，所以f(z)在復平面內處處可導，從而在復平面內處處解析。25頁 習題二 2.3指出函數的解析性區域并求其導數(1) (z-1)5解：由題可知(z-1)5 處處解析 其導數f(z)=5(z-1)4 25頁 習題二 2.3指出函數的解析性區域并求其導數 （2）解：設，則令 則 又令 即 所以在復平面內處處解析，即在復平面內處處解析，其導數為。題：指出下列函數的解析性區域，并求其導數；（）（）-解：令得和所以該函數除和外在復平面上處處解析；該函數的導數為

9、：（）-25頁： 習題二 2.3指出下列函數的解析性區域，并求其倒數。（4）.az+bcz+d (c d中至少有一個不為0)解.當c=0時，函數在復平面處處解析；（az+bd）的倒數為ad；當c！=0時：函數除z=-dc 外在復平面處處可導，處處解析；（az+bcz+d）的倒數為acz+d-c（az+b）（cz+d）2=ad-bc（cz+d）2第二章2.4求下列函數的奇點；（1）z+1z(z2+1)解:因為：當z(z2+1)=0;所以 z=0；z2=-1由Z=-1 計m=-1=cos+i sinZ=m=cos+2n2+i sin+2n2 （n=0,1）當n=0時，z=i；當n=1時，z=-i；

10、所以本題奇點分別為0；-i ; i ;2.4 求下列函數的奇點:(2) 解:令原函數分母 即:原函數在處不解析,故原函數的奇點為 2.10求Ln（-i），Ln（-3+4i）和他們的主值。解：Ln（-i）=Ln|-i|+i（arg（-i）+2k）=i（- 2 +2k）=i（2k- 12），k=0，+1，+2， ln（-i）=ln|-i| + i arg（-i）=- i2Ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + iarg（-3+4i）+2k=ln5+i（-arctan43）+2k=ln5-i（arctan43-（2k+1），k=0，+1，+2，ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + i ar

11、g(-3+4i)=ln5+i(-arctan43)習題2.12=習題三46頁3.1沿下列路線計算積分03+iz2dz ：（1）自原點至3+i 的直線段；解：此直線的參數方程可寫成： x=3t，y=t， 0t1， 或 z=3t+it，0t1， z=3t+it，dz =（3+i）dt.于是 03+iz2dz =01（3+i）3t2dt=13（3+i）3 書46頁3.1沿下列路線計算積分(2) 自原點沿實軸至，再由鉛直向上至解設原點到到到 3.2 試用積分的值，其中C為正向圓周：.解：正向圓周的參數方程為：由公式得：復變函數期中作業 習題三34沿指定曲線的正向計算下列各積分:（1）c ezz-2dz,C:z-2=1;解：由柯西積分公式得 c ezz-2dz=2iez z=2=2ie2 3.4 （4）czdzz-3 , C:|z|=2解：因為 C：|z|=2，被積函數奇點z=3所以 f（z）=zz-3在D內解析所以 czz-3dz=0 習題三3.4（8）cezdz/z5 C:z=1解：取z0=0在C內，f(z)在C內解析所以，原式=