1、第十章 直線與圓的方程1解析幾何的研究對象是曲線與方程。解析法的實質是用代數的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關系，即如果一條曲線上的點構成的集合與一個方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如x2+y2=1是以原點為圓心的單位圓的方程。.2 求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當的直角坐標系；(2)寫出滿足條件的點的集合；(3)用坐標表示條件，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應點都在曲線上，且曲線上對應點都滿足方程（實際應用常省略這一步）。3直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與x軸正方向所成的小于180

2、0的正角，叫做它的傾斜角。規定平行于x軸的直線的傾斜角為00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據直線上一點及斜率可求直線方程。4直線方程的幾種形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）兩點式：；（6）法線式方程：xcos+ysin=p（其中為法線傾斜角，|p|為原點到直線的距離）；（7）參數式：（其中為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點P0（x0, y0）到動點P（x, y）的有向線段的數量（線段的長度前添加正負號，若P0P方向向上則取正，否則取負）。5到角與夾角：若直線l1, l2的斜率

3、分別為k1, k2，將l1繞它們的交點逆時針旋轉到與l2重合所轉過的最小正角叫l1到l2的角；l1與l2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為，夾角為，則tan=,tan=.6平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1, k2。且兩者不重合，則l1/l2的充要條件是k1=k2；l1l2的充要條件是k1k2=-1。7兩點P1(x1, y1)與P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=。8點P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0的距離公式：。9直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1, l2交點的直線

4、方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0；由l1與l2組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0().10二元一次不等式表示的平面區域，若直線l方程為Ax+By+C=0. 若B>0，則Ax+By+C>0表示的區域為l上方的部分，Ax+By+C<0表示的區域為l下方的部分。11解決簡單的線性規劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以x和y表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標函數；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優解。12圓的標準方程：圓心是點(a, b)，半徑為r的圓的標準方

5、程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其參數方程為（為參數）。13圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圓心為，半徑為。若點P(x0, y0)為圓上一點，則過點P的切線方程為 14根軸：到兩圓的切線長相等的點的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個不同的圓：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不難證明這三條

6、直線交于一點或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。二、方法與例題1坐標系的選取：建立坐標系應講究簡單、對稱，以便使方程容易化簡。例1 在ABC中，AB=AC，A=900，過A引中線BD的垂線與BC交于點E，求證：ADB=CDE。例2 半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為600。2到角公式的使用。例3 設雙曲線xy=1的兩支為C1，C2，正PQR三頂點在此雙曲線上，求證：P，Q，R不可能在雙曲線的同一支上。3代數形式的幾何意義。例4 求函數的最大值。4最值問題。例5 已知三條直線l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1

7、)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0圍成ABC，求m為何值時，ABC的面積有最大值、最小值。5線性規劃。例6 設x, y滿足不等式組（1）求點(x, y)所在的平面區域；（2）設a>-1，在（1）區域里，求函數f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。6參數方程的應用。例7 如圖10-5所示，過原點引直線交圓x2+(y-1)2=1于Q點，在該直線上取P點，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求P點的軌跡方程。7與圓有關的問題。例8 點A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過C作l的垂線，M是這條垂線上的動點，以A為圓心，AB為半徑作圓，MT1與MT2是這個圓的切線，確定AT1

8、T2垂心 的軌跡。例9 已知圓x2+y2=1和直線y=2x+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是和，見圖10-7，求證：sin(+)是定值。例10 已知O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是O的弦，試確定|OD|的最大值、最小值。例11 當m變化且m0時，求證：圓(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。三、基礎訓練題1已知兩點A(-3,4)和B(3,2)，過點P(2,-1)的直線與線段AB有公共點，則該直線的傾斜角的取值范圍是_.2已知0,，則的取值范圍是_.3三條直線2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0圍成

9、一個三角形，當點P(x, y)在此三角形邊上或內部運動時，2x+y的取值范圍是_.4若三條直線4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能圍成三角形，則m的范圍是_.5若R。直線(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點P(-2,2)的距離為d，比較大小：d_.6一圓經過A(4,2), B(-1,3)兩點，且在兩個坐標軸上的 四個截距的和為14，則此圓的方程為_.7自點A(-3,3)發出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，則光線l所在的方程為_.8D2=4F且E0是圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切的_條件.9方程|x|

10、-1=表示的曲線是_.10已知點M到點A（1，0），B（a,2）及到y軸的距離都相等，若這樣的點M恰好有一個，則a可能值的個數為_.11已知函數S=x+y，變量x, y滿足條件y2-2x0和2x+y2，試求S的最大值和最小值。12A，B是x軸正半軸上兩點，OA=a，OB=b(a<b)，M是y軸正半軸上的動點。（1）求AMB的最大值；（2）當AMB取最大值時，求OM長；（3）當AMB取最大值時，求過A，B，M三點的圓的半徑。四、高考水平訓練題1已知ABC的頂點A(3,4)，重心G(1,1)，頂點B在第二象限，垂心在原點O，則點B的坐標為_.2把直線繞點（-1，2）旋轉300得到的直線方程為

11、_.3M是直線l:上一動點，過M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，則在線段AB上滿足的點P的軌跡方程為_.4以相交兩圓C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦為直徑的圓的方程為_.5已知M=(x,y)|y=,a>0,N=(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0.MN，a的最大值與最小值的和是_.6圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，O為原點，OPOQ，則m=_.7已知對于圓x2+(y-1)2=1上任意一點P(x,y)，使x+y+m0恒成立，m范圍是_.8當a為不等于1的任何實數時，圓x2-2ax+

12、y2+2(a-2)y+2=0均與直線l相切，則直線l的方程為_.9在ABC中，三個內角A，B，C所對應的邊分別為a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差數列，那么直線xsin2A+ysinA=a與直線xsin2B+ysinC=c的位置關系是_.10設A=(x,y)|0x2,0y2,B=(x,y)|x10,y2,yx-4是坐標平面xOy上的點集，C=所圍成圖形的面積是_.11求圓C1：x2+y2+2x+6y+9=0與圓C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切線方程。12設集合L=直線l與直線y=2x相交，且以交點的橫坐標為斜率。（1）點(-2,2)到L中的哪條直線的距離最

13、小？（2）設aR+，點P(-2, a)到L中的直線的距離的最小值設為dmin，求dmin的表達式。13已知圓C：x2+y2-6x-8y=0和x軸交于原點O和定點A，點B是動點，且OBA=900，OB交C于M，AB交C于N。求MN的中點P的軌跡。五、聯賽一試水平訓練題1在直角坐標系中縱橫坐標都是有理數的點稱為有理點。若a為無理數，過點(a,0)的所有直線中，每條直線上至少存在兩個有理點的直線有_條。2等腰ABC的底邊BC在直線x+y=0上，頂點A(2,3)，如果它的一腰平行于直線x-4y+2=0，則另一腰AC所在的直線方程為_.3若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-

14、4)y-3=0表示表示條互相垂直的直線，則m=_.4直線x+7y-5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長之差的絕對值是_.5直線y=kx-1與曲線y=有交點，則k的取值范圍是_.6經過點A(0,5)且與直線x-2y=0, 2x+y=0都相切的圓方程為_.7在直角坐標平面上，同時滿足條件：y3x, yx, x+y100的整點個數是_.8平面上的整點到直線的距離中的最小值是_.9y=lg(10-mx2)的定義域為R，直線y=xsin(arctanm)+10的傾斜角為_.10已知f(x)=x2-6x+5，滿足的點(x,y)構成圖形的面積為_.11已知在ABC邊上作勻速運動的點D，E，F，在t=0時

15、分別從A，B，C出發，各以一定速度向B，C，A前進，當時刻t=1時，分別到達B，C，A。（1）證明：運動過程中DEF的重心不變；（2）當DEF面積取得最小值時，其值是ABC面積的多少倍？12已知矩形ABCD，點C(4,4)，點A在圓O：x2+y2=9(x>0,y>0)上移動，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸。求矩形ABCD面積的最小值，以及取得最小值時點A的坐標。13已知直線l: y=x+b和圓C：x2+y2+2y=0相交于不同兩點A，B，點P在直線l上，且滿足|PA|PB|=2,當b變化時，求點P的軌跡方程。六、聯賽二試水平訓練題1設點P(x,y)為曲線|5x+y|+|5x-y|=20上任意一點，求x2-xy+y2的最大值、最小值。2給定矩形（長為b，寬為a），矩形（長為c、寬為d），其中a<d<c<b，求證：矩形能夠放入矩形的充要條件是：(ac-bd)2+(ad-bc)2(a2-b2)2.3在直角坐標平面內給定凸五邊形ABCDE，它的頂點都是整點，求證：見圖10-8，A1，B1，C1，D1，E1構成的凸五邊形內部或邊界上至少有一個整點。4在坐標平面上，縱橫坐標都是整數的點稱為整點，試證：存在一個同心圓的集合，使得：（1）每個整點都在此集合的某一圓周上；（2）