1、第8章線性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1引言隨著微處理器和微計算機的出現(xiàn)和發(fā)展，數(shù)字控制器在系統(tǒng)中逐漸取代模擬控制器，成為控制系統(tǒng)的一個重要的組成部分，并得到了越來越廣泛的應(yīng)用。在控制系統(tǒng)中，只要任何一個環(huán)節(jié)為采樣開關(guān)或數(shù)字元器件，或者只要某處采集、傳輸或加工處理的信號是離散型的時間函數(shù)，則稱該系統(tǒng)為離散時間控制系統(tǒng)，簡稱離散控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)。若離散信號為脈沖序列， 則稱為脈沖控制系統(tǒng)； 若離散信號為數(shù)字序列， 則稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控 制系統(tǒng)。由于在離散控制系統(tǒng)中出現(xiàn)了離散型的信號，前面各章所介紹的適用于連續(xù)控制系統(tǒng)的各種分析和綜合方法，在這里已不再適用，所以，必須另辟蹊徑，尋求新

2、的分析和綜合方法，這正是本章所面臨的 主要任務(wù)和所要介紹的主要內(nèi)容。8.2離散信號和離散控制系統(tǒng)前面各章介紹了連續(xù)控制系統(tǒng)理論，本章將介紹離散控制系統(tǒng)理論。離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)之間的根本區(qū)別在于：在連續(xù)控制系統(tǒng)中的輸入信號r(t)、反饋信號b(t)和偏差信號e(t)都是連續(xù)型的時間函數(shù)；而在離散控制系統(tǒng)中則不然，在一般情況下，由于輸入信號是離散型的時間函數(shù)，記為 r*(t)，所以，取自系統(tǒng)輸出端的反饋信號，在和上述離散型輸入信號進行比較時，也需要采用離散型的時間函數(shù)，記為 b(t)，這樣，比較后得到的偏差信號就是離散型的時間函數(shù)，記為e(t)，于是e (t)汀(t)-b*(t)因此，在離

3、散控制系統(tǒng)中，通過控制器對被控對象進行控制的直接控制作用乃是離散型的偏差信號e (t)。上述離散控制系統(tǒng)的方框圖如圖8-1所示。在圖8-1中，離散型的反饋信號 b (t)是由連續(xù)型的反饋信號 b(t)通過采樣開關(guān)的采樣而獲得的。采樣開關(guān)經(jīng)過一定的時間間隔T重復(fù)閉合，每次閉合的持續(xù)時間為T,且有T T，如圖8-2所示。圖8-2離散反饋信號圖8-3離散控制系統(tǒng)簡化方框圖在離散控制系統(tǒng)中，采樣開關(guān)重復(fù)閉合的時間間隔 T稱為采樣周期，而分別稱為采樣頻率和采樣角頻率。連續(xù)型時間信號經(jīng)過采樣開關(guān)采樣后，變成重復(fù)周期等于采樣周期T的時間序列信號，該時間序列信號通常在連續(xù)型時間函數(shù)的右上角標“*”號來表示，如

4、r*(t)，b(t)，e (t)等。在圖8-1中，兩個采樣開關(guān)的動作通常是同步的，所以，圖8-1所示的離散控制系統(tǒng)的方框圖可以等效地簡化成如圖8-3所示。離散控制系統(tǒng)的應(yīng)用非常廣泛，可以在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和軍事工程中找到許多應(yīng)用的實例。通常，離散控制系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)如圖8-4所示。但是，離散控制系統(tǒng)的最常見的形式卻是如圖8-5所示的數(shù)字控制系統(tǒng)，又稱為計算機控制系統(tǒng)。圖8-4離散控制系統(tǒng)方框圖圖8-5數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖由圖8-5可知，數(shù)字控制系統(tǒng)是指其中含有數(shù)字控制器或數(shù)字計算機的離散型控制系統(tǒng)。它包括工作在離散狀態(tài)下的數(shù)字計算機(或?qū)Ｓ脭?shù)字控制器)和工作在連續(xù)狀態(tài)下的被控對象兩大部分。數(shù)字計算機或數(shù)

5、字控制器，構(gòu)成控制系統(tǒng)的數(shù)字部分，通過這部分的信號是以離散形式出現(xiàn)的；而被控對象通常用Gp(S)或G(9表示，它是系統(tǒng)的不可變部分，是構(gòu)成控制系統(tǒng)連續(xù)部分的主體，通過這部分的信號是以連續(xù)形式出現(xiàn)的。在數(shù)字控制系統(tǒng)中，由于具有連續(xù)時間函數(shù)形式的被控信號c(t)(模擬量)，受控于具有離散時間 函數(shù)形式的控制信號 u (t)(數(shù)字量)，所以，這中間就需要有將連續(xù)的模擬信號與離散的數(shù)字信號之間進行轉(zhuǎn)換的環(huán)節(jié)。通常，將連續(xù)的模擬信號變換成離散的數(shù)字信號的轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，稱為模/數(shù)轉(zhuǎn)換器，簡稱A/D轉(zhuǎn)換器；而將離散的數(shù)字信號變換成連續(xù)的模擬信號的轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，稱為數(shù)/模轉(zhuǎn)換器，簡稱 D/A轉(zhuǎn)換器。數(shù)字計算機通過這兩

6、種轉(zhuǎn)換器與外部發(fā)生聯(lián)系，故稱A/D轉(zhuǎn)換器與D/A轉(zhuǎn)換器為計算機的接口通道或外圍設(shè)備。在圖8-5所示的數(shù)字控制系統(tǒng)中，信號的測量、變換、加工處理和傳遞過程為：連續(xù)的被控信號c(t)經(jīng)反饋環(huán)節(jié)(測量元件)反饋到輸入端，與控制信號r(t)相比較，得到連續(xù)的偏差信號e(t)，再經(jīng)過a/d轉(zhuǎn)換器后，變換成離散的數(shù)字偏差信號e (t)。 e (t)經(jīng)過數(shù)字計算機的加工處理，變換成離散的數(shù)字控制信號u(t)，u (t)經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換器，變換成連續(xù)的模擬控制信號 uh(t)，再經(jīng)過被控對象去控制系 統(tǒng)的被控制信號C(t)。數(shù)字控制系統(tǒng)在自動控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，其主要原因是由于數(shù)字控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)相

7、比較，具有如下一些特點：1數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，能實現(xiàn)多路控制，且可以采用多種不同的控制規(guī)律；2信號的檢測精度、轉(zhuǎn)換精度和控制精度可以做得很高；3由于采樣信號或數(shù)字信號抗干擾能力強，可實現(xiàn)遠距離傳輸；4. 可以實現(xiàn)復(fù)雜的控制過程，如最優(yōu)控制、隨機控制、預(yù)測控制、自適應(yīng)控制和智能控制等，并 可實現(xiàn)控制與管理一體化；5. 體積小，重量輕，成本低。綜上所述，由于離散控制系統(tǒng)，特別是數(shù)字控制系統(tǒng)具有一系列的優(yōu)點，其應(yīng)用已深入到各個領(lǐng)域，所以，離散控制系統(tǒng)理論的研究越來越受到人們的重視，并取得了豐富的成果。本章主要介紹采樣過程與采樣定理，Z變換，離散控制系統(tǒng)的數(shù)學模型、穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)誤差、動態(tài)響應(yīng)和離

8、散控制系統(tǒng)的 校正等。8.3采樣過程與采樣定理采樣過程及其數(shù)學描述1 采樣過程實現(xiàn)離散控制所遇到的首要問題，就是如何將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為離散信號的問題。按一定的時間間隔 T對連續(xù)信號進行采樣，并轉(zhuǎn)換為相應(yīng)離散信號的過程稱為采樣過程。實現(xiàn)采 樣過程的裝置稱為采樣裝置或采樣器。8-6(b)采樣裝置可以利用一個周期性閉合與斷開的開關(guān)來實現(xiàn)，故采樣裝置又稱為采樣開關(guān)，如圖所示。若圖8-6(a)所示的連續(xù)信號e(t)加在采樣開關(guān)的一端，而采樣開關(guān)以一定的規(guī)律閉合與斷開，則 在采樣開關(guān)的另一端便得到離散信號 e(t)，如圖8-6(c)所示。采樣開關(guān)閉合與斷開一次的所需的時間稱為采樣周期，記為T，每次閉合持續(xù)的

9、時間稱為采樣持續(xù)時間，記為T。由于采樣持續(xù)時間t通常遠小于采樣周期 T,也遠小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù)，因此,在分析研究離散系統(tǒng)時，可以近似認為t趨近于0,即認為采樣是瞬間完成的。于是，采樣開關(guān)每閉合一次，就得到連續(xù)信號 e(t)的某一時刻kT的值e(kT)，如圖8-6(d)所示。這樣的采樣開關(guān)稱為理想采 樣開關(guān)，以后所說的采樣開關(guān)就是指理想采樣開關(guān)，它相當于一個理想的單位脈沖序列發(fā)生器，能夠產(chǎn)生一系列單位脈沖。根據(jù)采樣開關(guān)閉合的規(guī)律，可以將采樣過程進行分類：(1) 如果采樣開關(guān)采樣的時間間隔是固定不變的，則稱為均勻采樣或周期采樣。(2) 如果采樣開關(guān)采樣的時間間隔是變化的，則稱為非均勻采樣或

10、非周期采樣。(3) 如果采樣開關(guān)采樣的時間間隔是隨機的，則稱為隨機采樣。(4) 在一個離散系統(tǒng)中，可能存在多個采樣開關(guān)。如果系統(tǒng)中所有的采樣開關(guān)均同時采樣，則稱 為同步采樣，否則稱為異步采樣。(5) 如果系統(tǒng)中所有采樣開關(guān)都是周期采樣，但采樣周期不同，則稱為多速采樣或多種周期采樣。 下面只研究同步周期采樣過程。2 采樣信號的數(shù)學描述為了對離散系統(tǒng)進行定性和定量研究，就必須利用數(shù)學表達式來描述信號的采樣過程，并研究采樣信號的性質(zhì)。下面首先研究采樣信號的表達式。當采樣開關(guān)的輸入信號為連續(xù)信號e(t)時，經(jīng)過采樣開關(guān)采樣后， 在其輸出端就得到離散信號序列e(kT),k =1,2/ o若以e (t)表

11、示采樣信號，則有ode (t) = e(kT)、(t_kT)k0其中(t -kT )為單位脈沖函數(shù)，又稱為克勞奈克(Croneck)函數(shù)，即5 (t _ kT )= J = kT0,t 式 kT所以，式(8-1)寫可以為oOQOoOe (t)二 e(kT)、(t-kT)e(t)、(t - kT) =e(t) 、(t - kT)k=0k=0k=0若定義、T(t) = 、(t _ kT)k=0則有e (t) =e(t)、T(t)(8-1)(8-2)采樣信號的脈沖調(diào)制過程dJ 尹r!0t由式(8-2)可知，采樣過程相當于一個脈沖調(diào)制過程，如圖8-7所示。式(8-1)或式(8-2)就是采樣信號的數(shù)學表

12、達式。對式(8-1)進行拉氏變換，得QOoOQO - - - kTsE (s)二 Le 二 Le(kT)、(t kT)工嘉 e(kT)L、(t 一 kT)=為 e(kT)e (8-3)k=0k=0k=0式(8-3)是采樣信號e (t)的拉氏變換表達式。后面將由式(8-3)建立Z變換與拉氏變換之間的重要聯(lián)系。下面再對式(8-2)進行拉氏變換，可以得到采樣信號e (t)拉氏變換的另一種形式的表達式。因為T(t)是以T為周期的周期性時間函數(shù)，所以，可以展開成復(fù)數(shù)形式的傅氏級數(shù)(8-4)、：T(t)二 Ckejstk :其中，S =2二/T為采樣角頻率,Ck由下式計算1- T 2r ； T (t)e_

13、jk stdtT :1-Ar (t-kT)estdt|k=0(8-5)將式(8-5)代入式(8-4)，得odz1 ejk stT(8-6)將式(8-6)代入式(8-2)，得e (t)lejk st =丄：e(t)ejk stT k(8-7)對式(8-7)進行拉氏變換，得- 1 E (s)二 Le (t)二 L v e(t)ejk st二一 Le(t)ejk FT k eT k Jon設(shè)E(s)二Le(t)，則由拉氏變換的位移定理，得A OQE (s)二 L E(s jk s)(8-8)T k 二式(8-8)稱為泊松(Poisson)求和公式，因為該式提供了理想采樣開關(guān)在頻域內(nèi)的十分有用的信息，

14、所以它在描述采樣過程性質(zhì)方面是非常重要的。另外，式(8-8)還將采樣信號e (t)的拉氏變換E (s)與連續(xù)信號e(t)的拉氏變換E(s)緊密地聯(lián)系起來了，由此可以直接從E(s)求出 E (s)。F面將會看到，由于 E (s)是s的周期函數(shù)，可以對 e (t)進行頻譜分析，也可以清楚地看到頻譜混疊現(xiàn)象及其影響。832采樣定理由于采樣定理給出了從采樣后的離散時間信號恢復(fù)到原連續(xù)時間信號時所必需的最低頻率，所以在分析研究離散控制系統(tǒng)之前，應(yīng)該首先介紹它。在式(8-8)中，如果E (S)不含有S右半平面的極點，則可令 S = j ,可直接得到采樣信號 e (t)的傅 氏變換1 cdE (j ) =-

15、 Ej(k s)(8-9)T k-oo其中E(j )為連續(xù)信號e(t)的傅氏變換。* *式(8-9)即為采樣信號e (t)的頻譜E (j )的表達式，它反映了離散信號的頻譜E (j )與連續(xù)信號的頻譜E(j )之間的關(guān)系。在一般情況下，連續(xù)信號e(t)的頻譜是單一孤立的頻譜，其帶寬是有限的，即上限頻率為有限值max，如圖8-8(a)所示；而離散信號e*(t)的頻譜|E*(j )|則具有以S為周期的無窮多個頻譜,如圖8-8(b)所示(b)圖8-8連續(xù)信號與離散信號的頻譜* 1由式(8-9)可知，在離散信號的頻譜|E (j )|中，當k=0時，所對應(yīng)的部分 -|E(j ) |稱為主頻譜,它與連續(xù)信

16、號的頻譜| E( j ) |的形狀相同，僅在幅值上變化了1T 。除了主頻譜之外，|E*(j)|中還包 含無窮多個高頻頻譜。這是由于信號采樣引起的。為了準確地復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號 e(t)，必須使采樣后的離散信號 e (t)的頻譜|E (j ) |彼此不相重疊，這 樣，就可以利用一個比較理想的低通濾波器濾掉全部的高頻頻譜分量，保留主頻譜。圖8-9理想濾波器頻率特性由圖8-8可見，相鄰頻譜不相重疊的條件是 s -2 max(8-10)如果滿足式(8-10)的條件，并將采樣后的離散信號e (t)加到如圖8-9所示的理想濾波器上，則在濾波器的輸出端就可不失真地復(fù)現(xiàn)原來的連續(xù)信號e(t)，但幅值縮小了 1 T倍。如果.s 2 max，則會出現(xiàn)圖 8