1、 微積分在初等數學中的應用 【摘要】本文通過對微分在解決一些初等函數單調性、求曲線的切線以及幾個初等數學命題的積分證明等問題的討論，為我們解決一些初等數學問題提供了一些新的思想，使微積分對初等數學的指導作用得到具體體現.【關鍵詞】微積分;高等數學;初等數學Some Applications of Differential and Integral Calculus in Elementary Mathematics.Abstract:This text passes to sophisticate to the some elementary grade function monotonous

2、, begging curvilinear tangent and a few elementary grades mathematics setting question proof etc. Of the some square distance ask. Resolve for us he some elementary grades mathematics problem provided the some new thought, making calculus got the concrete to the mathematic leading in elementary grad

3、e function now. Key words: calculus; higher mathematics; Elementary Math1 引言我國現在普遍使用的高中數學教材(人民教育出版社) 中,增加了微積分的部分知識. 為什么要增加這部分內容,我們認為,至少有以下五條原因:一是微積分是人類寶貴的精神財富,加進微積分知識可以增強高中數學的人文價值;二是使學生掌握更有用的變量數學知識,有利于學生數學思維能力的培養;三是可發揮微積分對初等數學的指導作用,促進中學數學教學及鄰近學科教學質量的提高;四是增加了解決實際問題的工具,有利于學生分析問題、解決問題能力的培養;五是微積分進入中學已成為

4、國際潮流1. 本文將就第三條原因展開討論,主要討論微積分在初等數學中的應用問題. 考慮到讀者一般都熟悉微積分,因此,對文涉及的微積分相關知識,就均不一一列舉了.下面,我們分類舉例說明微積分在初等數學中的應用.2 導數在初等數學中的應用 隨著高中數學課程改革的進一步深化, 高中數學教學越來越突出知識的實用性與簡潔性. 由于導數知識在研究曲線的切線方面和解決實際問題中有著廣泛的應用, 同時為研究函數的單調區間、最值等問題以及某些不等式的證明、方程求解和數列求和等提供了捷徑,所以在高中教學中越來越凸現其重要性.導數作為研究客觀世界物質運動變化的有力工具,在現代化建設的各個領域內有著廣泛的應用,自然對

5、中學數學也有重要的指導作用,并且在中學數學的許多問題上起到居高臨下和以簡馭繁的作用2. 2.1 導數在研究函數中的應用 2.1.1 函數的單調性與導數 用初等方法研究初等函數的單調性，多是用定義或從函數圖像加以判斷的.但對于一些復雜的函數，用定義來判斷其單調性，并不是一件容易的事；而對于一些用初等方法畫不出圖象的函數，要用函數圖像研究它的單調性，更加無從談起. 而微分中值定理卻給出了一個研究函數單調性的高等方法. 有了微分中值定理對初等函數單調性的研究，求可導函數的單調區間，便可以通過求導的方法來實現，與初等數學方法比較，這種方法既顯得高出一等，又可以解決一些用初等數學的方法無法解決的較為復雜

6、的函數單調性問題. 2.1.2 函數的最值(極值)的求法 人們做任何事情，小到日常用具的制作，大至生產科研和各類經營活動，都要講究效率. 考慮怎樣以最小的投入得到最大的產出，這類問題在數學上往往可以歸納為求某一函數在某個區間內的最大與最小值的問題. 最值(極值)問題也是高中數學的一個重點, 也是一個難點. 它涉及到了中學數學知識的各個方面, 用導數解決這類問題可以使解題過程簡化, 步驟清晰, 也好掌握. 一般的,函數 f ( x)閉區間 上可導, 則 f ( x )在上的最值求法: (1) 求函數 f (x )在上的駐點; (2) 計算f (x )在駐點和端點的函數值, 比較而知道, 最大的一

7、個是最大值, 最小的一個是最小值. 例23. .求函數在0,3上的最大值與最小值. 解：在0,3上，當x=2時， 有極小值，并且極小值為又由于，因此，函數在0,3上的最大值是4，最小值是 2.1.3 證明不等式 因為用求導法很容易判斷函數的單調性,而不等式問題又常常可化為函數問題,故可用微積分法證明一些不等式4. 例3.設 e 是自然對數的底,是圓周率, 求證 e >e. 證明 因為函數 y = ln x 單調增加,故e >e 等價于ln e > lne,即ln e > e ln, 即 .令 = ( x e) , 則 = . 因此,當 x > e時, < 0

8、 ,于是 在 e , +)內 單調減少,從而 , 即.原命題得證. 2.14.用于證明恒等式 例 4求證: arctg x + arcctg x =. 證明 設 = arctg x + arcctg x ,則 從而 = c ( c 為常數) , 令 x = 1 , 得 . 于是 arctg x + arcctg x =. 這類問題證明的關鍵是把恒等式問題轉化為函數問題(此題中轉化為證明 f ( x ) =) ,然后利用函數的導數達到解決問題的目的. 由例題可以看到,若運用得當,將會得到十分巧妙的證明. 2.2 導數的幾何意義的應用 利用導數的幾何意義求光滑曲線切線的斜率函數 在點的導數 表示曲

9、線 在點A(x0,)處切線的斜率，這就是導數的幾何意義. 我們通過例題看一下,如何利用導數的幾何意義求光滑曲線切線的斜率.例1 ：求曲線 在點（1,1）處切線的方程？解 由導函數定義，.應用點斜式方程 ，可得曲線在（1,1）處的切線方程：.即.3 定積分在初等數學中的應用 在過去的學習中，我們已經知道正方形、三角形、平行四邊形、梯性等平面“直邊圖形”的面積：物理中，我們知道了勻速直線運動的時間、速度與路程的關系等等. 在數學和物理中，我們還經常會遇到計算平面曲線圍成的平面“曲邊圖形”的面積、變速直線運動物體位移、變力做功的問題. 如何解決這些問題呢？能否把求“曲邊圖形”面積轉化為求“直邊圖形”

10、面積？為此，我們學習了新的數學知識-定積分. 3.1 應用定積分求平面圖形的面積例 15. 如圖 1, 計算由曲線 所圍成圖形的陰影部分的面積. 分析: 先根據所給曲線方程, 在坐標系中畫出曲線, 確定所圍圖形的范圍; 然后根據圖形的范圍, 比較兩條曲線的位置關系; 最后用定積分求所圍圖形的面積. 解: 解方程組 得出交點坐標為( 2, -2) , ( 8, 4) , 所以所求圖形的面積為 由上面的例題可以發現，在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數以及積分的上、下限. 3.2 定積分在物理中的應用 應用定積分求變速直線運動的路程:我們知道，作變速直

11、線運動的物體所經過的路程s，等于其速度函數（v(t)0）在時間區間a,b上的定積分，即 例25.如圖 3, 已知一輛汽車的速度- 時間曲線,求該汽車在 1min 行駛的路程.解: 由定積分的幾何意義知, 該汽車在 1min 行駛的路程 s 等于梯形的面積, 即 3.3 定積分在日常生活中的應用 定積分的應用極其廣泛，學好定積分可以幫助我們解決很多實際問題。 例36. 某商場某品牌襯衫的需求函數是 ,如果價格定在每件50元, 試計算消費者剩余. 分析: 消費者剩余是指消費者消費一定數量的某種商品愿意支付的最高價格與這些商品的實際市場價格之間的差額. 當襯衫的價格為 50 元時, 由計算出消費者對

12、襯衫的需求量, 由消費者剩余公式,求出消費者剩余. 解： 得 所以，消費者剩余為 ： 消費者剩余是消費者的主觀心里評價, 它反映出消費者通過購買和消費商品所感受到的狀態的改善.4 微分中值定理的應用 微分中值定理是羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理的統稱，它是微分中值定理學中重要的理論基礎，且應用極為廣泛. 為了使其應用的得心應手，我們首先要明確幾者間的關系. 拉格朗日中值定理可視為中心定理，以它為中心展開，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特值，而柯西中值定理和泰勒定理可視為拉格朗日中值定理在應用上的推廣. 因此解題中將幾個定理巧妙聯系起來加以應用則更顯現出其價值的

13、可貴.下面幾個方面充分說明微分中值定理在解題中的應用.微分中值定理是數學分析中非常重要的定理，它是溝通函數與導數之間的橋梁. 由于它是研究函數在區間上整體性質的有力工具，故有著廣泛的應用. 本文談談中值定理的一些常見應用. 4.1.解方程的根 在證明方程根的存在性時，出現滿足中值定理的相關條件時，可以考慮運用微分中值定理解決. 從某種意義來說，微分中值定理為證明方程根的存在性提供了一種方法. 例17.設f(x)在0,1上連續，在（0,1）內可導，且f(1),證明存在一點，使得. 分析：結論是在(0， 1)內有根，而方程可進行如下變形： 故結論是f'(X)=0 在(0，1)內有根，自然考

14、慮到f'(X)使用羅爾定理.證明 ：令，且. 所以f'(X)在0,1上滿足Roller定理.故至少存在一點，即. 4.2證明不等式在證明不等式時，可以考慮從微分中值定理入手，找出切入點，靈活運用相關微分中值定理，進行系統的分析，從而得到巧妙的證明.例27.若函數f(x)在a,b上二階可微分且,又函數f(x)在（a,b）內取極值.證明：證明：由于函數f(x)在(a,b) 內取極值，因此存在一點 c,且a<c< b,s.t. f'(c)=0.于是則有： 4.3證明等式 在證明一些出現導數的等式時，進行適當的變形后，考慮應用微分中值定理加以證明. 還有，就是我們在證明一些與中值定理有關的題目時，構建輔助函數是解決問題的關鍵. 在證明題中巧妙選用和構建輔助函數，進行系統分析和闡述，從而證明相關結論8.微分中值定理不僅是微分學的基本定理，而且也是微分學的理論核心，其應用極為廣泛. 在解決出現與中值定理有關的題目是，我們可以通過轉換、變形，選用和構建輔助函數，或其他一些可使問題方便分析. 解決的手段，然后運用微分中值定理將問題得以解決. 當然這一過程是建立在對微分中值定理徹底理解的基礎之上，然后加以靈活運用. 參考文獻1 張奠宙.國家高中數學課程標準正在研究的15個課題.數學教學,2000 (6) .2 畢明黎, 王麗. 中學數學研究 J . 華南師