1、課 題數學歸納法與數列極限、等比數列的各項和教學目標1、 理解數列極限的概念，掌握極限的四則運算，會求數列極限；2、 掌握數學歸納法的步驟，并會用數學歸納法證明相應的命題；3、 會求等比數列的各項和。教學內容數學歸納法一知識點梳理：數學歸納法：數學歸納法是一種證明與正整數n有關的數學命題的重要方法.1.用數學歸納法證明命題的步驟為:驗證當n取第一個值時命題成立,這是推理的基礎;假設當n=k時命題成立.在此假設下,證明當時命題也成立是推理的依據;結論.2.探索性問題在數學歸納法中的應用（思維方式）: 觀察歸納猜想推理論證.3.特別注意：(1)用數學歸納法證明問題時首先要驗證時成立,注意不一定為1

2、;(2)在第二步中,關鍵是要正確合理地運用歸納假設,尤其要弄清由k到k+1時命題的變化二. 典型例題：【例1】在數列an中，a1=1，當n2時，an,Sn,Sn成等比數列(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論；(3)求數列an所有項的和命題意圖本題考查了數列、數學歸納法、數列極限等基礎知識知識依托等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟采用的方法是歸納、猜想、證明錯解分析(2)中，Sk=應舍去，這一點往往容易被忽視技巧與方法求通項可證明是以為首項，為公差的等差數列，進而求得通項公式解an,Sn,Sn成等比數列，Sn2=an·(Sn)(n2) (*)

3、(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=由a1=1，a2=,S3=+a3代入(*)式得a3=同理可得a4=,由此可推出an=(2)當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立假設n=k(k2)時，ak=成立故Sk2=·(Sk)(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)由知，an=對一切nN成立(3)由(2)得數列前n項和Sn=,S=Sn=0練習：1.用數學歸納法證明>n2(nN,n³5),則第一步應驗證n=;2.用數學歸納法證明:時,

4、第一步驗證不等式成立；在證明過程的第二步從n=k到n=k+1成立時,左邊增加的項數是. 3、用數學歸納法證明“當為正奇數時,能被整除”第二步的歸納假設應寫成( )A. 假設正確,再推正確B. 假設正確,再推正確C. 假設正確,再推正確D. 假設正確,再推正確4、用數學歸納法證明,在驗證時,左邊所得的項為( )A. 1 B. 1+ C. D. 5、用數學歸納法證明“（n+1）（n+2）··（n+n）=2n·1·3··（2n1）”，從“k到k+1”左端需增乘的代數式為（ ）A.2k+1 B.2（2k+1）C. D.6、用數學歸納法證明“當

5、是31的倍數”時,時的原式是,從到時需添加的項是。【例2】已知,證明:(該題主要考查了學生應用數學歸納法來證明的掌握情況)練習：1. 求證：【例3】用數學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中nN*【鞏固練習】1.用數學歸納法證明1+a+a2+an+1=（a1，nN*），在驗證n=1成立時，左邊計算所得的項是（ ） A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a32已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數m,使得對任意nN,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )A30B26C36D63用數學歸納法證明3kn3(n3,nN)第一步應驗證( )An=1Bn=2Cn=

6、3Dn=44觀察下列式子則可歸納出_5 已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_，由此猜想an=_極限一、知識回顧1、數列極限的定義：一般地，如果當項數n無限增大時，無窮數列an的項an無限地趨近于某個常數a，那么就說數列an以a為極限.注：a不一定是an中的項.2、幾個常用的極限：（1）C=C（C為常數）;（2）=0; （3）qn=0（|q|1）.（4）=（kN *,a、b、c、dR且c0）;（5）3、數列極限的四則運算法則：設數列an、bn，當an=a,bn=b時 （an±bn）=a±b; （an·bn）=a·b; =（b0）.4

7、、無窮等比數列：若無窮等比數列，其所有項的和（各項的和）為：5、常見的數列極限可以歸納為兩大類: 第一類是兩個關于自然數n的多項式的商的極限: 當時,上述極限不存在. 第二類是關于n的指數式的極限: 當或時,上述極限不存在.二、例題解析例1 、（）=_.鞏固訓練：1 ，則234、計算：_5、（盧灣4）計算：_6、（黃浦7）7、（金山8）設數列(an)為等差數列，a1=1，公差為1，bn也是等差數列，b1=0，公差為2，則=8、（崇明9）已知是數列前項和，（），則.9、在數列中，且對任意大于1的正整數，點在直線 上，則_.例2、求下式的極限：鞏固練習：12、計算：。例3、求下列各式的極限：1.

8、2. 3. 4、（嘉定9）若，則實數的取值范圍是_ _注析：求極限時，把常數項提到極限記號外面可以使運算變得很簡潔。對于“指數型”的極限的解法要點是：分子分母同時除以最大（指絕對值最大）底數的n次方冪。當底數大小不確定時，應進行分類討論。等比數列各項的和一、知識回顧1. 無窮等比數列通項公式:前n項和：2、 無窮等比數列各項和符號：顯然：1），不存在2），不存在3），不存在4），3、定義：我們把的無窮等比數列前n項的和當時的極限叫做無窮等比數列各項的和，并用S表示，即S=() 。注：1、無窮等比數列前n項和與它的各項和S的區別與聯系；前n項之和是數列中有限個項的和,而無窮等比數列各項的和是數列

9、中所有的項的和,它們之間有著本質的區別。對有無窮多項的等比數列,我們是不可能把它們所有的項一一相加的,而是通過對它的前n項之和取極限運算而求得,是用有限的手段解決無限的問題。2、求和前提：；公式表明它只求公比 的無窮等比數列各項的和.二、例題解析例4、是無窮等比數列，且所有項和存在，若，求的范圍；鞏固練習：1、“無窮等比數列和的極限存在”是“”的_條件。2、已知數列an中，a1=1，2an+1=an(n=1，2，3)，則這個數列前n項和的極限是（ ）A.2 B. C.3 D.3、一個無窮等比數列的各項和為9，各項平方的和為27，則4、在等比數列中，且前項和滿足，那么的的取值范圍是_.5、設數列

10、是公比的等比數列，是它的前項和，若，那么的的取值范圍是_.6、已知展開式的第7項為，則7、(浦東12)已知數列是等比數列，其前項和為，若，則_.8、（閔行12）已知無窮數列，其前項和為，且.若數列的各項和為，則.解：9、在等比數列中，是數列前項和，公比，求.10、已知數列上無窮等比數列，且，則數列的 首項的取值范圍是_11、已知等比數列，則12、已知無窮數列前項和，則數列的各項和為.13、（長寧15）無窮等比數列中，則首項的取值范圍( )A BC D例5、已知各項均為正數的等比數列的首項，公比為，前n項和為，若，則公比為的取值范圍是。1、（盧灣13）若等比數列的前項和為，公比為，集合，則用列舉法表示2、設等比數列an(nN)的公比q=,且(a1+a3+a5+a2n-1)=,則a1=.作業：1、等差數列，的前n項和分別為Sn，Tn，若，則_。2、已知數列滿足（），且，則（ ）(A) (B) (C) (D) 3、數列中，則（ ）(A) (B) (C) (D) 4、若數列的通項公式是，則（ ） (A)(B) (C) (D) 5、數列中， 則數列的極限值（） (A) 等于(B)等于 (C)等