1、復變函數殷 德 京湖北師范學院物理系2006年第一章 復數與復變函數§1 復數及其代數運算1.復數的概念復數的公理化定義見附錄1在解方程時，有時會遇到負數開方的問題，但在實數范圍內負數是不能開平方的。為此，需要擴大數系。我們給出如下的代數形式的復數定義：復數的代數定義：把有序實數對作代數組合所確定的形如的數稱為（代數形式的）復數，記為，其中，滿足。我們稱為虛單位；實數和分別稱為復數的實部和虛部，并記為，。特別地，當時，是實數；當時且時，稱為純虛數；虛部不為零的復數稱為虛數（即不為實數的復數稱為虛數）；當且僅當且，即復數。當且僅當且。2.復數的代數運算2.1 四則運算設，為任意兩個復數

2、，它們的四則運算定義為:加法：減法：乘法：除法： （）【注】：(1).可見，復數的四則運算，可以按照多項式的四則運算進行，只要注意將換成。(2).關于除法的具體操作可以按兩種方法來進行：.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一個與分母的實部相等而虛部只相差一個正負號的復數（在后面將會看到，這被定義為共軛復數），再進行簡化；.用復數除以非零復數，就是要求出這樣一個復數，使得。按乘法的定義，為求出需要解方程組復數四則運算的性質：不難證明，復數的四則運算滿足交換律、結合律和分配律。2.2 共軛復數復數和互稱為對方的共軛復數，如果記，則用記其共軛復數，即。對于復數，稱為的?；蚪^對值。共軛復數和模有下列

3、等式及不等式性質成立（1）（2），（3）（4）（5）（6）（7）（8）（此即相干疊加原理式.京.）（9）， （由此二式可知，任何實變數的方程原則上都可以用復變數表示）（10）（11）（12） （三角不等式）（13） （） （復數的二項式定理）第（8）式證明：（根據得）3.復數域一般地，對一些數形成的集合，若對中的數按某種法則規定的四則運算在中是封閉的，即中任意兩個數經所規定的加、減、乘、除運算后所得的數仍在中，則稱為一數域。如有有理數域、實數域、復數域。復數域與有理數域、實數域不同的是，復數沒有大小之分，不能像有理數、實數那樣可以比較大小，即復數域不是有序域，而是無序域。盡管復數的實部和虛部均

4、為實數，但是由于復數是實部和虛部通過虛單位聯系起來，從而是不能比較大小的.例：利用復數表示圓的方程其中，而是實常數。解：令，由上述第（3）及第（9）式得記，故知圓方程的復數表示可以是，其中是實數。反之，這種形式的方程就表示一個圓。【注】：1.這種形式的特點就是兩條:的系數和常數項是實的,而與的系數彼此共軛; 2.以后還會看到圓的另外兩種復變數表示。它們分別適于不同的場合；3.由第（9）式可知，任何實變數的方程原則上都可以用復變數表示。§2 復數的幾何表示1.復數可以表示為復平面上的點或向量由于一個復數本質上由一個有序實數對唯一確定，而有序實數對與平面上給定的直角坐標系上的點，或與從原

5、點到坐標為的點的向量（稱為點的位置向量，或簡稱位矢），可以建立起一一對應關系。于是，可以用坐標平面的點或向量來表示復數。與復數建立了這種對應關系的坐標平面稱為復平面或平面，也常用表示復數域的記號來表示復平面。此時，軸稱為實軸，軸稱為虛軸?！咀ⅰ浚簩蛿当硎緸槠矫嫦蛄?，這種對應關系使復數的加減法與向量的加減法之間保持一致。但是，復數的乘法與平面向量的乘法（無論是點積還是叉積）卻是不同的。也即把復數當作向量看待時只能針對加減法意義（或說只能針對問題中只出現加減法運算時）而言。更準確地說，只能針對加減法及數量乘法（即一實數乘以一向量或復數）而言。不過即使在這樣的情況下也不能說“復數與向量可互為表示”

6、，而只能說“復數與平面向量可互為表示”，因為一般向量概念還可以是三維及三維以上的。可見線性代數中的線性空間概念比復數概念更弱。2.復數可以表示為復球面上的點除了用平面內的點或向量來表示復數外，復數還有一種幾何表示法，它是借用地圖制圖學中將地球投影到平面上的測地投影法，建立復平面與球面上的點的對應，也即還可以用球面上的點來表示復數。取一個與復平面切于原點的球面，通過原點作垂直于復平面的直線與球面相交于另一點, 稱為北極，而點為南極。在復平面上任取一點，它與球的北極的連線相交于球面點。 如此，復平面上的有限遠點與球面上除點外的點滿足一一對應關系。這樣，除點外的球面上的每一個點，就有復平面上唯一的一

7、個復數與之對應。此外，球面北極可以看成是與在復平面上引進的一個模為無窮大的假想的點相對應，這個假想點稱為無窮遠點，并記為。復平面加上點后稱為擴充復平面，記為，即，與它對應的就是整個球面，這樣的整個球面稱為復球面。簡單地說，擴充復平面的另一個幾何模型就是復球面。如圖所示。為區別起見，我們把不含無窮遠點的復平面又稱為開平面，把擴充復平面又稱為閉平面。以后，凡涉及到閉平面時，一定強調指出這個“閉”字或“擴充”二字；凡沒有指明的地方，均默認指開平面。具體地，利用解析幾何知識，我們可以推出在重合的直角坐標系下，擴充復平面上點的坐標與復球面上對應點的坐標的關系式：設與上的點相應的上的點為，則有及3.關于有

8、如下規定（1）的實部、虛部及幅角（幅角的定義見后）都無意義，；（2）運算，都無意義；（特別注意，也無意義，這不同于實分析）（3）時，；（4）（但可為）時，；（5）在擴充復平面上，任一直線都是通過無窮遠點的。同時，沒有一個半平面包含點?！咀ⅰ浚簲U充復平面上點只有一個，它和實分析中的、的概念不同。§3 復數的三角形式及指數形式1.復數的三角形式利用直角坐標與極坐標的關系（，），可以將非零復數的代數形式轉化為三角形式來表示：其中（即的模）；稱為復數的幅角，記為。0于是我們有非零復數的實部、虛部與模、幅角之間的如下關系：，以及，后兩式即直角坐標與極坐標關系，的復數記法。需要指出，任何一個非零

9、復數的輻角不是單一的值，而是有無窮多個值，其中每兩個幅角相差的整倍數。我們約定，以表示的某個特定值，則一般值與此特定值有如下關系：我們又規定符合條件的那一個幅角值為的主值，或稱之為的主幅角。主幅角也常記為。注意，當時，其模為0，幅角無定義。對同一個非0復數，當用表示的主幅角時，與反正切的主值有如下關系：其中。2.復數的指數形式利用歐拉(Euler)公式歐拉公式涉及到復指數函數的特例虛指數函數，人們在去認識它時，首先需要作出它的定義。一般復變函數論文獻就把歐拉公式直接作為虛指數函數的定義，然后借復數的三角形式去驗證這樣定義的合理性，但這樣做顯得突然。在菲赫金哥爾茨的數學分析原理第二卷第一分冊25

10、4目或華東師范大學數學分析下冊第十四章§3或同濟大學高等數學或樊映川高等數學講義中，則是通過復冪級數（屬于代數函數的級數）來定義復指數函數（屬于超越函數），然后再推出歐拉公式，這樣顯得更有邏輯更深刻。當然，這并不是說一般復變函數函數論文獻中那樣直接去定義虛指數函數以及在解析函數一章中專門開辟一節去直接定義復超越函數、和（這里所謂直接，就是指利用實超越函數去定義復超越函數）不合邏輯，它主要是考慮到復級數概念及理論是放在解析函數之后才引入的這樣一種邏輯順序。出于以上同樣的邏輯考慮（即由代數函數作成的級數（即引入一種無窮運算）來定義超越函數），我們可以進一步利用復冪級數去定義出和。這樣定義

11、出了、和三者之后，我們很容易能推得一個比歐拉公式更一般的公式。這可參見華東師范大學數學分析下冊第十四章§3。（或寫為，）通過非零復數的三角形式又可以寫成指數形式：也就是說，任一非零復數總可以表成，這里的不必取主值。容易驗證，復指數函數的一些公式如下：，（為整數）§4 復數的乘冪與方根1.復數的乘方考慮乘積的特例非零復數的正整數次冪。設，則當時，有這就是著名的棣莫弗(De Moivre)公式。2.復數的開方求復數的次方根，相當于在方程中，求解。設（時，顯然有唯一解）且，代入方程，得從而得兩個方程，解出得，因此，復數的次方根（）為這里的表面上可以取，但容易驗證，實際上只要取就可

12、得到的個不同的根；當取其它整數時，將重復出現上述這個根。§5 復平面上的點集設為復平面上的點集。，表示是中的一個點。若點集中的每個點也都是點集中的點，則稱包含于，記作，或稱包含，記作。1.鄰域、去心鄰域由所確定的點集，也就是以為中心，為半徑的圓內所有點的集合，稱為點的鄰域，常記為。若不需要指明的大小（常常是充分小時），可簡稱為的鄰域，記為。由確定的點集，稱為點的去心鄰域，常記為。2.聚點、孤立點、外點、內點、邊界點、邊界設點集。若的任意鄰域內總有中的無窮多個點（或與此等價的說法：的任意鄰域內總有異于而屬于的一個點），則稱為點集的聚點（或極限點）（注意：本身不一定屬于）。若屬于，但非的

13、聚點，則稱為的孤立點；若不屬于，又非的聚點，則稱為的外點。若存在的鄰域，使，則稱為點集的內點。若的任意小鄰域內，既有中的點，又有不屬于中的點，則稱為點集的邊界點（簡單說，的異于內點的聚點及的孤立點稱為的邊界點）。點集的所有邊界點的集合稱為的邊界，常記為。易知：有限點集不含聚點，無限點集也可能無聚點；的孤立點必是的邊界點，的內點都是的聚點。3.開集、閉集、有界集、無界集、連通集設點集。若的點都為它的內點，則稱為開集。若的所有聚點都屬于，則稱為閉集。若有正數，使得對中所有的點，都有，則稱為有界集，否則稱為無界集。若中任意兩點均可用一條全含于內的折線相連接，則稱為連通集。4.區域、閉區域若中非空點集

14、是連通的開集，則稱為區域（即，區域(i)全由內點組成；(ii)具有連通性:）。區域加上它的邊界所成的點集稱為閉區域，簡稱閉域。5.連續曲線、參數方程、重點、簡單曲線（或若爾當 Jordan曲線）、簡單閉曲線設及是實變數的兩個實（值）函數，且在閉區間上連續，則由方程組 （1.2.1）或 （1.2.1）所決定的點集稱為復平面上的一條連續曲線。（1.2.1）或（1.2.1）稱為曲線的參數方程。對于上不同時取端點值的兩個參數及，當成立時，稱為曲線的重點；無重點的連續曲線稱為若爾當曲線或簡單曲線；及分別稱為曲線的起點和終點；僅起點和終點重合，即僅有的簡單曲線稱為簡單閉曲線或若爾當閉曲線。簡單曲線是復平面

15、上的有界閉集。6.光滑曲線、逐段光滑曲線設簡單曲線（或簡單閉曲線）的參數方程為 若在上，及存在、連續且不全為零，則稱為光滑曲線。由有限條光滑曲線銜接而成的連續曲線稱為逐段光滑曲線。特別地，簡單折線是逐段光滑曲線。若爾當（Jordan）定理：任一簡單閉曲線將復平面唯一地分成、及三個點集（如圖），它們具有如下性質：（1）彼此不交；（2）是一個有界區域（稱為的內部）；（3）是一個無界區域（稱為的外部）；（4）若簡單折線的一個端點屬于，另一個端點屬于，則必與有交點。7.有向曲線對于光滑或逐段光滑的開曲線，只要規定了其起點和終點，從起點到終點，也就算規定了該曲線的正方向；對于光滑或逐段光滑的閉曲線，沿著

16、曲線的某方向前進，如果的內部區域在左方，則規定該方向為的正方向。反之，稱為的負方向。8.單連通域、多連通域設為區域。若在內無論怎樣畫簡單閉曲線，其內部仍全含于內，則稱為單連通區域；非單連通區域稱為多連通區域（或稱為復連通區域）。【注】：形象地說，單連通區域里面沒有“洞”。9.連通階數若有界區域的邊界被分成若干不相連接的部分，則這些部分的數目叫做區域的連通階數. 如圖(a)為單連通區域（即為一階連通區域），圖(b)為二階連通區域，圖(c)為三階連通區域。(a)(b)(c)【注】：復平面上的區域通常是由復數的實部、虛部、模及幅角的不等式或不等式組所確定的點集。10.復數序列（點列）、有界序列、序列

17、聚點復數序列（簡記為）作為復平面上的一個點列，也是一個平面點集，記作。有界也就是序列有界；的聚點也稱為序列聚點。為了統一和方便，把序列中重復出現無限多次的點也稱為的聚點。波耳查諾維爾斯托拉斯(BolzanoWeierstrass)定理：有界（無窮）序列必有聚點。11.復數序列的極限若，即對任意給定的正數，存在正整數，使得當時，總有，則稱為收斂序列，是序列的極限，也稱序列收斂于，記為。12.Cauchy序列(基本序列)若任給，存在正整數，使對都成立，則稱為Cauchy序列或基本序列。定理：有界且以為唯一聚點為Cauchy序列，其中 ，。13.無窮遠點的鄰域，聚點在包含無窮遠點的閉平面上，任何一個

18、圓周的外部（包含點）都可稱為無窮遠點的鄰域。將有限點和有限正數確定的點集稱為以為中心的無窮遠點鄰域。特別，以原點為中心的無窮遠點鄰域常稱為的鄰域，并記為。若序列無界，則稱是序列的聚點。即若在原點為心、半徑無論多么大的圓周外部總含有中的點，則稱是的聚點。這樣在閉平面上定義了無窮遠點為聚點后，我們有：在閉平面上，每個序列都有聚點。不論序列是否有界，也不論是有限點還是無窮遠點，在閉平面上總成立：是的唯一聚點。參考摘錄（北京大學物理學院數學物理方法A教學講義）：§6 復變函數1.變函數的定義與幾何意義1.1單值復變函數及多值復變函數的定義若對復平面上點集中的每一個復數，有唯一確定的復數與之對

19、應，則稱在上確定了為的一個單值復變函數，記為（）；若對中的每一個復數，有確定的兩個或更多個復數與之對應，則稱在上確定了一個多值復變函數（）。稱為函數的定義域。對于中的所有，取值的全體所成集合稱為函數的值域。1.2單葉函數、多葉函數設、，若時，必有，則稱在上為單葉函數；否則，稱在上是多葉函數。1.3反函數若由函數確定了值域中點與中點之間的對應關系，則稱為函數的反函數。的反函數又常記為。1.4復合函數若，則稱是的復合函數?？梢姡海?） 對任意的，有，且當反函數也是單值函數時，還有。（2）多值函數的反函數是多葉的，而多葉函數的反函數是多值的。【注】：今后講到函數，若無特別聲明，均指單值復變函數。1.

20、5復變函數與實函數的關系一個復變函數，當其復變量用代數形式，表示時，函數又可表為，其中及是二元實函數；當自變量用指數形式表示時，函數可表為，其中及也是二元實函數?？梢姡阂粋€單復變的復函數等價于兩二元實函數及或及的有序組合?！咀ⅰ浚号砘肝鋽祵W物理基礎P306講到復變函數因變量也可用指數表達：1.6復變函數的幾何意義映射（變換）在高等數學中，實變函數通常用幾何圖形來表示，通過這些幾何圖形，我們可以直觀地理解和研究復變函數的性質。而對于復變函數，它反映了兩對變量和之間的對應關系，因而無法用同一個平面內的幾何圖形表示出來，必須把它看成兩個復平面上的點集之間的對應關系。這種“對應”，我們常又說成是“函數”、“變換”、“映射”。在變換下，點及值域點集分別稱為點及定義域點集的象，而點及定義域點集則分別稱為點及值域點集的原象。設為平面上的點集，為平面上的點集?？梢匀缦露x一些變換：入變換：