1、小波分析及其應(yīng)用（孫延奎，2005）第5章 可分離二維小波變換算法實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題與討論 孫延奎摘要：總結(jié)分析可分離二維小波變換算法實(shí)現(xiàn)的細(xì)節(jié)，澄清一些概念與問(wèn)題，糾正例5-2中“轉(zhuǎn)置”的錯(cuò)誤，回答讀者的問(wèn)題。教材中三個(gè)方向小波的定義： （5.5） 經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得， 我們稱(chēng)序列為的（一級(jí)）二維小波變換。下面討論二維小波變換的快速算法。設(shè)一維多分辨分析的兩尺度方程和小波方程為：其中，為實(shí)濾波器，。則類(lèi)似一維正交多分辨分析的推導(dǎo)，由得二維Mallat算法如下（假設(shè)是實(shí)濾波器）： （5.6）重構(gòu)算法：（5.7）評(píng)注：1） 在關(guān)履泰 編著“小波方法與應(yīng)用”中，空間分解表示與我教材中是一致的，但二維可分離小波

2、與的意思正好與我的相反。其與對(duì)應(yīng)我教材中的和。經(jīng)理論分析及試驗(yàn)驗(yàn)證，Matlab中的用法與關(guān)履泰書(shū)中的一致。2） 在Mallat 編著“信號(hào)處理的小波導(dǎo)引”中，空間分解表示及二維可分離小波，等都與教材中的一致。只是最后對(duì)變換的結(jié)果的表示略有不同： 教材中采用的方法是： 而Mallat著作中，最后的表示為 如對(duì)下面一幅圖像， 圖1教材中的表示如下右圖所示，其中左上角表示低頻系數(shù)，左下表示垂直邊緣；右上角表示水平邊緣；右下角表示對(duì)角邊緣。 圖2而在Mallat的著作“信號(hào)處理的小波導(dǎo)引”中（圖726）中，各個(gè)分辨率下的圖像中水平邊緣與豎直邊緣的位置正好相反。其中，左上角表示低頻系數(shù)，左下表示水平細(xì)

3、節(jié)系數(shù)（水平邊緣）；右上角表示垂直細(xì)節(jié)系數(shù)；右下角表示對(duì)角細(xì)節(jié)系數(shù)。可分離雙正交基：可將一維雙正交小波基推廣到的可分離正交小波基。令和是生成的雙正交小波基的兩對(duì)對(duì)偶的尺度函數(shù)與小波。則所定義的，的對(duì)偶小波是：可以證明：和是的雙正交Riesz基。二維可分離小波的頻率特性分析：二維可分離小波，在不同的尺度和方向上提取圖像細(xì)節(jié)。即用和計(jì)算出的小波系數(shù)分別在水平和垂直邊緣上取得大的值。分別提取圖像的水平與垂直特征。小波在角點(diǎn)上產(chǎn)生大的系數(shù)，提取對(duì)角邊緣。具體的，： 垂直高頻，提取水平邊緣： 水平高頻，提取垂直邊緣在正頻率上，和的能量分別集中在和上。由可分離小波，的表達(dá)式可推出：因此，在低的水平頻率處和

4、高的垂直頻率處大；在高的水平頻率處和低的垂直頻率處大；而在高的水平頻率和垂直頻率處大。可顯示出正交小波對(duì)應(yīng)的可分離小波的傅立葉變換圖。在王大凱，彭進(jìn)業(yè)編著的“小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用” 中，塔式分解寫(xiě)法中低頻子帶與三個(gè)高頻子帶的位置正好反映它們對(duì)頻域的內(nèi)在劃分，注意，該書(shū)中，的定義與教材相同。即 若用L表示低通濾波器，用H表示高通濾波器，則濾波器LL,LH,HL和HH構(gòu)成4個(gè)具有不同頻率特性和方向特性的濾波器。 LL用于檢索圖像中的低頻分量，LH用于檢測(cè)水平方向的邊緣、細(xì)節(jié)分量，HL用于檢測(cè)垂直方向的邊緣、細(xì)節(jié)分量，HH用于檢測(cè)主對(duì)角與副對(duì)角方向的分量。【這里的LH，意思是先用L做行變換

5、，再H做列變換。與教材中的意思相反。】可見(jiàn)，采用以下表示 能夠與它們對(duì)頻域的劃分一致。其它著作中有關(guān)問(wèn)題的描述：1. 在楊福生著的“小波變換的工程分析與應(yīng)用”中（P117），三個(gè)小波，與本教材的是一致的。它指出：三個(gè)小波，中都至少包含一個(gè)帶通的或，因此，它們都是帶通的，也就是說(shuō)，這三部分反映的都是高通細(xì)節(jié)。 指出，對(duì)，先沿方向分別用和作分析，把分成平滑逼近和細(xì)節(jié)這兩部分，然后對(duì)這兩部分再分別用和作類(lèi)似分析。得到一個(gè)平滑逼近與三個(gè)細(xì)節(jié)函數(shù)。注意：該著作中（5.13a）, （5.13b）的寫(xiě)法不夠嚴(yán)謹(jǐn)。其中，的含義同本教材中的。圖5.4中的b,c,d是否與相對(duì)應(yīng)，沒(méi)有指出。是對(duì)應(yīng)的。圖5.6中的位

6、置搞錯(cuò)了。2) 李弼程等編著的“小波分析及其應(yīng)用”，在P40頁(yè)指出：一幅圖像可分解為一個(gè)低頻子圖和水平、垂直與對(duì)角線3個(gè)方向的高頻子圖。但沒(méi)有對(duì)“水平、垂直與對(duì)角線”做進(jìn)一步的解釋。以下通過(guò)例子分析可分離二維小波變換的計(jì)算過(guò)程，主要用于理解概念。第一種方法，很直觀，將可分離二維小波變換看成是：先對(duì)各行進(jìn)行小波變換，然后對(duì)各列進(jìn)行小波變換。反之也可以。例5.1 一個(gè)2x2圖象的二維Haar小波變換。這里采用非標(biāo)準(zhǔn)的Haar小波濾波器。 如果按照Mallat書(shū)中的寫(xiě)法，也可以交換與的位置，將變換結(jié)果寫(xiě)成 先列變換，再行變換，結(jié)果相同： 例5.2 一個(gè)4x4圖像的二維Haar小波變換。 先行變換，后

7、列變換： 這種結(jié)果對(duì)應(yīng)下述表示（不夠嚴(yán)謹(jǐn)）： 如果按照Mallat書(shū)中的寫(xiě)法，也可以交換，及，的位置，將變換結(jié)果寫(xiě)成 同理可以驗(yàn)證，先列后行結(jié)果相同。第二種方法: 利用（56）進(jìn)行驗(yàn)證： （56） 改寫(xiě)（5-6）中第一個(gè)公式： 工程解釋?zhuān)簩?duì)任一固定的列數(shù)n，先用與的每個(gè)列向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到；然后，用與的每個(gè)行向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到。類(lèi)似的，1） 對(duì)任一固定的列數(shù)n，先用與的每個(gè)列向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到；然后，用與的每個(gè)行向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到。2） 對(duì)任一固定的列數(shù)n，先用與的每個(gè)列向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到；然后，用與的每個(gè)行向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣

8、得到。3） 對(duì)任一固定的列數(shù)n，先用與的每個(gè)列向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到；然后，用與的每個(gè)行向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到。 現(xiàn)在以例5.2為例進(jìn)行說(shuō)明：則對(duì)應(yīng)于的計(jì)算過(guò)程為：對(duì)應(yīng)于的計(jì)算過(guò)程為：對(duì)應(yīng)于的計(jì)算過(guò)程為：與直接先行后列或先列后行的結(jié)果都相同，結(jié)果均為 流程圖可寫(xiě)成： 列卷積 行卷積一維列變換一維行變換行抽樣:保留偶數(shù)行列抽樣:保留偶數(shù)列 圖3另一種解釋方法：工程解釋?zhuān)簩?duì)任一固定的行數(shù)l，先用與的每個(gè)行向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到；然后，用與的每個(gè)列向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到。類(lèi)似的，1） 對(duì)任一固定的行數(shù)l，先用與的每個(gè)行向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到；然后，用與的每個(gè)列

9、向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到。2） 對(duì)任一固定的行數(shù)l，先用與的每個(gè)行向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到；然后，用與的每個(gè)列向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到。3） 對(duì)任一固定的行數(shù)l，先用與的每個(gè)行向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到；然后，用與的每個(gè)列向量做卷積，進(jìn)行向下二抽樣得到。例子：對(duì)應(yīng)的流程圖為： 行卷積列抽樣:保留偶數(shù)列一維行變換 列卷積行抽樣:保留偶數(shù)行一維列變換 圖4 以上實(shí)驗(yàn)表明，Matlab中關(guān)于dwt2()函數(shù)的說(shuō)明中，分別指。當(dāng)然，如果想從形式上交換的順序，則這對(duì)應(yīng)小波的以下定義： 即將我們定義中代替；反之亦然。這等價(jià)于一開(kāi)始提到的關(guān)履泰書(shū)中的定義。這在一開(kāi)始就曾指出過(guò)。 以下通

10、過(guò)Matlab試驗(yàn)來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)：X = 1,2,3,4;4,5,3,8;6,7,1,2;5,9,6,3;Lo_D = 1/2,1/2;Hi_D = -1/2,1/2;cA,cH,cV,cD = dwt2(X,Lo_D,Hi_D);XcAcHcVcD% X =% % 1 2 3 4% 4 5 3 8% 6 7 1 2% 5 9 6 3% % % cA =% % 3.0000 4.5000% 6.7500 3.0000% % % cH =% % -1.5000 -1.0000% -0.2500 -1.5000% % % cV =% % -0.5000 -1.5000% -1.2500 0.5000% % % cD =% % 0 1.0000% 0.7500 -1.0000評(píng)注：現(xiàn)討論“行變換”的確切理解問(wèn)題。我查了一下，小波書(shū)中很少談到“行變換”的具體定義。在王大凱，彭進(jìn)業(yè)編著的“小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用” 中，提到“對(duì)進(jìn)行行變換（n固定）。”我認(rèn)為，當(dāng)n固定時(shí)，實(shí)質(zhì)上是對(duì)的第n列變換，所以，稱(chēng)之為“列變換”更為合適。也就是說(shuō)，當(dāng)行下標(biāo)l固定時(shí)，對(duì)進(jìn)行的變換才是行變換，這在上面也都是這么理解的