1、1 差分方程穩(wěn)定性的幾個(gè)結(jié)果差分方程穩(wěn)定性的幾個(gè)結(jié)果2 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型3 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型4 4 按年齡分組的種群增長(zhǎng)按年齡分組的種群增長(zhǎng)5 2000美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題6 SARS的傳播的傳播差分方程模型差分方程模型Q差分方程的建模：Q微分方程的建模考慮很小的時(shí)段tk,tk+1上的y(t)變化過(guò)程，然后令區(qū)間趨向于0。Q差分方程考察兩個(gè)相鄰時(shí)刻k和k+1點(diǎn)的值yk和yk+1的轉(zhuǎn)換關(guān)系，不需要取極限。因此建模過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單。1 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問(wèn)問(wèn) 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么

2、條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降價(jià)格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲價(jià)格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩數(shù)量與價(jià)格在振蕩蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點(diǎn)的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡

3、點(diǎn)平衡點(diǎn)一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP Q對(duì)上頁(yè)對(duì)上頁(yè)ppt的詳細(xì)說(shuō)明（的詳細(xì)說(shuō)明（模型的幾何表現(xiàn)與分析模型的幾何表現(xiàn)與

4、分析 ）)(kkxfy )(1kkyhx在在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線點(diǎn)附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1模型的差分方程分析模型的差分方程分析gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價(jià)格上漲幅度價(jià)格上漲幅度)(001yyxxkk 價(jià)格上漲價(jià)格上漲1單位單位, (下時(shí)段下時(shí)段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量考察考察 , 的含義的含義 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度消

5、費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價(jià)格不變以行政手段控制價(jià)格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直2/ )

6、(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確

7、定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來(lái)的條件比原來(lái)的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk2 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長(zhǎng)模型的阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與與r大小無(wú)關(guān)大小無(wú)關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量時(shí)刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(

8、人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點(diǎn)是平衡點(diǎn)kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)brrx111*(1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判

9、斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1

10、x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點(diǎn)為點(diǎn)為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果數(shù)值計(jì)算結(jié)果bx11*b 3.57, 不存在任何收斂子序列不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象4倍周期收斂倍周期收斂)1 (1kkkxbxx的收斂、

11、分岔及混沌現(xiàn)象的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b3 按年齡分組的種群增長(zhǎng)按年齡分組的種群增長(zhǎng) 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律假設(shè)與建模假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記個(gè)年齡組，記i=1,2, , n 時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象 第第i 年齡組年齡組1雌性個(gè)體在雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的時(shí)段內(nèi)的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時(shí)段內(nèi)的

12、死亡率為時(shí)段內(nèi)的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假設(shè)假設(shè)與與建模建模xi(k)時(shí)段時(shí)段k第第i 年齡組的種群數(shù)量年齡組的種群數(shù)量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年齡組的分布按年齡組的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)() 1(11kxbkxinii(設(shè)至少設(shè)至少1個(gè)個(gè)bi0)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí)nkk, 3 , 2,1 L矩陣存在矩

13、陣存在正單特征根正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)決定的常數(shù)決定的常數(shù) 且且解解釋釋L對(duì)角化對(duì)角化11),(PdiagPLknkk*cx*)() 1xckxk)() 1()2kxkx穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析k充分大充分大種群按年齡組的分布種群按年齡組的分布*1)(limcxkxkk 種群

14、按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱(chēng)穩(wěn)定分布稱(chēng)穩(wěn)定分布, 與初始分布無(wú)關(guān)。與初始分布無(wú)關(guān)。 各年齡組種群數(shù)量按同一各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，倍數(shù)增減， 稱(chēng)固有增長(zhǎng)率稱(chēng)固有增長(zhǎng)率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kxkxii)() 1(kLxkx與基本模型與基本模型比較比較3） =1時(shí)時(shí)*)() 1(cxkxkx 各年齡組各年齡組種群種群數(shù)量不變數(shù)量不變 1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為期內(nèi)的繁殖數(shù)量為11121121nnsssbsbb穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析Tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk存活率存活率 si是同一時(shí)段的

15、是同一時(shí)段的 xi+1與與 xi之比之比（與（與si 的定義的定義 比較）比較） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii3） =1時(shí)時(shí)*xLx Tnssssssx121211*, 1000000121121nnnsssbbbbL(2000美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題)南非國(guó)家公園有大約11000頭大象。管理政策需要一個(gè)健康的環(huán)境來(lái)維持一個(gè)大約11000頭大象的穩(wěn)定數(shù)量。公園管理人員每年統(tǒng)計(jì)大象的數(shù)量。在過(guò)去的20年中，每年需要移出一部分大象群落以將總數(shù)盡可能維持在11000頭。每年這一過(guò)程包括射殺(其中的絕大多數(shù))和偶然的轉(zhuǎn)移約600-800頭到其他地方。最近，公眾反對(duì)

16、射殺大象，且找不到收養(yǎng)大象的地方。目前一種可以使成熟母象避孕2年的藥箭已經(jīng)研制出來(lái)。下面是公園中大象的一些信息：(1)沒(méi)有大象的遷入或遷出 ；(2)大象的性別比非常接近1:1。 (3)小象的性別比非常接近1:1，雙胞胎大約占1.35%。(4)母象在10-12歲時(shí)開(kāi)始受孕，每隔3.5年生育一胎，直到60歲。孕育期長(zhǎng)達(dá)22個(gè)月。(5)母象可以每年接受射箭避孕而不產(chǎn)生副作用。最后一次射箭避孕可以使母象2年不受孕。(6)大約70%-80%的新生小象可以活到1歲。此后，所有年齡段的大象的成活率都超過(guò)95%，直到大約60歲。可以假設(shè)所有的大象的壽命不超過(guò)70歲。(7)沒(méi)有獵殺等傷害大象的行為。(數(shù)據(jù)略)任

17、務(wù)1：建立模型預(yù)測(cè)2-60歲的大象的成活率。預(yù)測(cè)大象當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)。任務(wù)2：估計(jì)每年需要給多少頭母象射標(biāo)避孕可以使大象頭數(shù)穩(wěn)定在11000頭左右。任務(wù)3：如果每年可以遷移50-300頭大象，射標(biāo)避孕的母象頭數(shù)如何變化？這一問(wèn)題是典型的按年齡分布的生物發(fā)展模型。問(wèn)題在于：(1)由于避孕問(wèn)題雌雄有別，為了能描述這一問(wèn)題，我們可以把狀態(tài)向量分為雌性和雄性分別建立發(fā)展方程。12( )( )( )( )Tnmale kmale kmale kmale kL12( )( )( )( )Tnfmal kfmal kfmal kfmal kL(2)雌雄群體的生育都是由母象完成，生育率只與母象數(shù)量有關(guān)。(3)象

18、群的數(shù)量控制由母象各年齡組的生育率參數(shù)的控制完成。這些參數(shù)可以由母象的正常生育率和避孕率兩個(gè)指標(biāo)完成。其中正常生育率是常數(shù)。設(shè)i年齡組母象的數(shù)量為fmali(k),正常生育率bi，避孕率為si，死亡率為di，由于避孕有效期是2年，則生育率為 1(1)(1)iiibss類(lèi)似，可以把問(wèn)題中的其他參數(shù)按題意確定下來(lái)，形成完整的模型。2007A題：中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)題：中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)中國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口問(wèn)題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)中國(guó)人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)重要問(wèn)題。近年來(lái)中國(guó)的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，

19、以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國(guó)人口的增長(zhǎng)。2007年初發(fā)布的國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告(附錄1) 還做出了進(jìn)一步的分析。關(guān)于中國(guó)人口問(wèn)題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒上收集到的部分?jǐn)?shù)據(jù)。試從中國(guó)的實(shí)際情況和人口增長(zhǎng)的上述特點(diǎn)出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)），建立中國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，并由此對(duì)中國(guó)人口增長(zhǎng)的中短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)；特別要指出你們模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。附錄1 國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告附錄2 人口數(shù)據(jù)（中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒中的部分?jǐn)?shù)據(jù)）及其說(shuō)明由于教科書(shū)上已經(jīng)有年齡分布的人口發(fā)展模型，這個(gè)問(wèn)題的要點(diǎn)是男

20、女比例的失衡和農(nóng)業(yè)人口向城鎮(zhèn)轉(zhuǎn)移的描述。要描述這樣的變化，我們需要引入決策變量：比如，我們假設(shè)中國(guó)的人口分為男性和女性，而兩組人口又分為城鎮(zhèn)人口和農(nóng)業(yè)人口(或大城市人口，小城鎮(zhèn)人口和農(nóng)業(yè)人口)。按年齡分布為男性城鎮(zhèn)人口和農(nóng)業(yè)人口：12( )( )( )( )mkmc kmc kmckmc12( )( )( )( )mkmv kmv kmvkmv女性城鎮(zhèn)人口和農(nóng)業(yè)人口：12( )( )( )( )mkwc kwc kwckwc12( )( )( )( )mkwv kwv kwvkwv可以對(duì)每個(gè)向量建立Lesli方程，只是要注意：(1)男人是女人生的；(2)人口遷移由農(nóng)村遷向城鎮(zhèn)。A題 SARS的

21、傳播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱(chēng)：非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請(qǐng)你們對(duì)SARS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：(1)對(duì)附件1所提供的一個(gè)早期的模型，評(píng)價(jià)其合理性和實(shí)用性。(2)建立你們自己的模型，說(shuō)明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說(shuō)明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困

22、難在哪里？對(duì)于衛(wèi)生部門(mén)所采取的措施做出評(píng)論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。(3)收集SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。(4)給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫(xiě)一篇通俗短文，說(shuō)明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。這種問(wèn)題可以利用微分方程和差分方程描述。利用差分方程要給出相鄰兩時(shí)段的決策變量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。幾個(gè)重要的概念： (1)接觸率 (2)潛伏期 t (3)治愈率 (4)死亡率 d分別利用微分方程和差分方程建模1、s-i-s模型模型假設(shè)：(1)總?cè)藬?shù)為常數(shù)N。分為健康人和病人，所占比例分別為s和i。s+i=1。(2)每個(gè)病人每天平均有效接觸個(gè)人，病人和健康人有效接觸，則健康人生病。(3)病人每天的治愈率為，病人治愈后變回健康人。微分方程模型的建立：設(shè)t時(shí)刻病人所占比例為i(t)，則在時(shí)間間隔t,t+dt上，病人數(shù)量的變化為令dt0得到()