1、第一章實數集與函數 1 實數授課章節：第一章實數集與函數1實數教學目的：使學生掌握實數的基本性質教學重點：（1） 理解并熟練運用實數的有序性、稠密性和封閉性；（2） 牢記并熟練運用實數絕對值的有關性質以及幾個常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學難點：實數集的概念及其應用教學方法：講授（部分內容自學）教學程序：引言上節課中，我們與大家共同探討了數學分析這門課程的研究對象、主要內容等話題從本節課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內容首先，從大家都較為熟悉的實數和函數開始問題為什么從“實數”開始答：數學分析研究的基本對象是函數，但這里的“函數”是定義在“實數集”上的（后繼課

2、復變函數研究的是定義在復數集上的函數）為此，我們要先了解一下實數的有關性質一、實數及其性質1、實數有理數：任何有理數都可以用分數形式9（p,q為整數且q0）表示，P也可以用有限十進小數或無限十進小數來表示無理數：用無限十進不循環小數表示.Rx|x為實數-全體實數的集合.問題有理數與無理數的表示不統一，這對統一討論實數是不利的.為以下討論的需要，我們把“有限小數”（包括整數）也表示為“無限小數”.為此作如下規定：對于正有限小數xa0aa2La，其中0ai9,i1,2,L,na0,a0為非負整數，記xa.aiLani（an1）9999L;對于正整數xa0,則記x（a。1）.9999L；對于負有限小

3、數（包括負整數）y,則先將y表示為無限小數，現在所得的小數之前加負號.0表示為0=0.0000L例：2.0012.0009999L；32.9999L；2.0012.009999L;32.9999L利用上述規定，任何實數都可用一個確定的無限小數來表示.在此規定下，如何比較實數的大??？2、兩實數大小的比較1）定義1給定兩個非負實數xaaLanL,ymbLbnL.其中a0,bo為非負整數，ak,bk（k1,2,L）為整數，0ak9,0bk9.若有akbk,k0,1,2,L,則稱x與y相等，記為xy；若a。bo或存在非負整數l,使得akbk,k0,1,2,L,l,而a1bI1,則稱x大于y或y小于x,

4、分別記為xy或yx.對于負實數x、y,若按上述規定分別有xy或xy,則分別稱為xy與xy（或yx）.規定：任何非負實數大于任何負實數.（3） 實數比較大小的等價條件（通過有限小數來比較）.定義2（不足近似與過剩近似）：xa.a1LanL為非負實數，稱有理數xna0.a1Lan為實數x的n位不足近似；xn2稱為實數x的n10n位過剩近似，n0,1,2,L.對于負實數xa0.a1LanL,其n位不足近似xna0.a1Lann;n10位過剩近似xna0.a1Lan.注：實數x的不足近似當n增大時不減，即有xx1x2L;過剩近似R當n增大時不增，即有x0x1x2L.命題：記xa0.a1LanL,yb0

5、.b1LbnL為兩個實數，則xy的等價條件是：存在非負整數n,使xn京（其中xn為x的n位不足近似，%為y的n位過剩近似）.命題應用例1.設x,y為實數，xy,證明存在有理數r,滿足xry.證明：由xy,知：存在非負整數n,使得工yn.令ryn,2則r為有理數，且xxnrYn3、實數常用性質（詳見附錄n.P289P02）.1）封閉性（實數集R對,）四則運算是封閉的即任意兩個實數的和、差、積、商（除數不為0）仍是實數2）有序性：a,bR,關系ab,ab,ab,三者必居其一，也只居其一.3）傳遞性：a,b,cR,若ab,bc,則ac.4）阿基米德性：a,bR,ba0nN使得nab5）稠密性：兩個不

6、等的實數之間總有另一個實數6）一對應關系：實數集R與數軸上的點有著一一對應關系.例2.設a,bR,證明：若對任何正數，有ab，則ab.（提示：反證法利用“有序性”，取ab）二、絕對值與不等式1、絕對值的定義實數a的絕對值的定義為|a|a，a0.aa02、幾何意義從數軸看，數a的絕對值|a|就是點a到原點的距離.|xa|表示就是數軸上點x與a之間的距離.3、性質1) |a|a|0;|a|0a0(非負性)；2) |a|a|a|；3)| a | hh a h，|a| hh a h.(h 0) ；4)對任何a,bR有|a|b|ab|a|b|(三角不等式)；5)|ab|a|b|；6)|aI|b|三、幾個

7、重要不等式1、a2b22ab,sinx1.sinxx.2、均值不等式：對ai，a2，,anR,記M(aj氏3電1nai，(算術平均值)nniiinnG(aJVaia2and,(幾何平均值)i1H(ai)丁一?74TJ.(調和平均值)aia2anniiaiiiai有平均值不等式：H(aJG(aJM(a)即：iaia2ann aa2 L anai a2Lan等號當且僅當aia2an時成立.3、Bernoulli不等式:(在中學已用數學歸納法證明過)xi,有不等式(ix)ninx,nN.當xi且x0,nN且n2時,有嚴格不等式(ix)ninx.證：由ix0且ix0,(ix)nni(ix)niiinn

8、(ix)nn(ix).(ix)ninx.4、利用二項展開式得到的不等式：對h0,由二項展開式(1 h)n1 nhn(n 1) h2 n(n 1)(n 2) h3 hn,2!3!(1 h)n上式右端任何一項.練習P4. 5課堂小結上實數:實數及其性質絕對值與不等式作業P4.1.(1),2.(2)、(3),32數集和確界原理授課章節：第一章實數集與函數一一2數集和確界原理教學目的：使學生掌握確界原理，建立起實數確界的清晰概念.教學要求：(1)掌握鄰域的概念；(2)理解實數確界的定義及確界原理，并在有關命題的證明中正確地加以運用.教學重點：確界的概念及其有關性質(確界原理).教學難點：確界的定義及其

9、應用.教學方法：講授為主.教學程序：先通過練習形式復習上節課的內容，以檢驗學習效果，此后導入新課.引言上節課中我們對數學分析研究的關鍵問題作了簡要討論；此后又讓大家自學了第一章1實數的相關內容.下面，我們先來檢驗一下自學的效果如何!1、證明：對任何xR有：(1)|x1|x2|1；(2)|x1|x2|x3|2.(1Qx11(x2)1x2,|x1x21)(2)x1|x21,x2x31,x2x32.三式相加化簡即可)2、證明：|x|y|xy|.3、設a,bR,證明：若對任何正數有ab，則ab.4、設x,yR,xy,證明：存在有理數r滿足yrx.引申:由題1可聯想到什么樣的結論呢？這樣思考是做科研時的

10、經常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結論：一般的方法？由上述幾個小題可以體會出“大學數學”習題與中學的不同；理論性強，概念性強，推理有理有據，而非憑空想象；課后未布置作業的習題要盡可能多做，以加深理解,語言應用.提請注意這種差別，盡快掌握本門課程的術語和工具.本節主要內容：1、先定義實數集R中的兩類主要的數集一一區間與鄰域；2、討論有界集與無界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理(確界原理).一、區間與鄰域1、區間(用來表示變量的變化范圍)16設a,bb.區間有限區間無限區間開區間：xR|axb(a,b)有限區間閉區間：xR|axba,b半開半閉區間

11、閉開區間:xR|axb開閉區間：xR|axba,b)(a,b無限區間xR|xaa,).xR|xa(,a.xR|xa(a,).xR|xa(,a).xR|xR.2、鄰域聯想：“鄰居”.字面意思:“鄰近的區域”.與a鄰近的“區域”很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關于a的對稱區間”；如何用數學語言來表達呢？(1)a的鄰域：設aR,0,滿足不等式|xa|的全體實數x的集合稱為點a的鄰域，記作U(a;),或簡記為L&aTP|f一一0(3-6aa-8xU(a;)x|xa|(a,a).其中a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑(2)點a的空心鄰域U o(a; ) x 0 | x a |o,、(a

12、,a)(a,a)U(a).(3)a的右鄰域和點a的空心右鄰域U(a;)a,a)U(a)xaxaU0(a;)(a,a)U0(a)xaxa(4)點a的左鄰域和點a的空心左鄰域U(a;)(a,aU(a)xaxa;U0(a;)(a,a)U0(a)xaxa.(5) 鄰域，鄰域，鄰域U()x|x|M,(其中M為充分大的正數)；U()xxM,U()xxM二、有界集與無界集1、 定義1(上、下界)：設S為R中的一個數集.若存在數M(L),使得一切xS都有xM(xL),則稱S為有上(下)界的數集.數M(L)稱為S的上界(下界)；若數集S既有上界，又有下界，則稱S為有界集.閉區間a,b、開區間(a,b)(a,b為

13、有限數)、鄰域等都是有界數集，集合Eyysinx,x(,)也是有界數集.若數集S不是有界集，則稱S為無界集.(,),(,0),(0,)等都是無界數集，集合Eyy-,x(0,1)也是無界數集.x注：1)上(下)界若存在，不唯一；2)上(下)界與S的關系如何？看下例：例1討論數集Nn|n為正整數的有界性.解：任取n0N,顯然有n01,所以N有下界1；但N無上界.因為假設N有上界M,則M0按定義,對任意n0N,者B有n0M,這是不可能的，如取n0M1(符號M表示不超過M的最大整數)，則nN,且nM.綜上所述知：N是有下界無上界的數集，因而是無界集.例2證明：（1）任何有限區間都是有界集；（2）無限區

14、間都是無界集；（3）由有限個數組成的數集是有界集.問題:若數集S有上界，上界是唯一的嗎？對下界呢？（答：不唯一，有無窮多個）.三、確界與確界原理1、定義定義2（上確界）設S是R中的一個數集，若數滿足：（1）對一切xS,有x（即是S的上界）；（2）對任何，存在hS,使得飛（即是S的上界中最小的一個），則稱數為數集S的上確界，記作supS.從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者.命題1MsupE充要條件1） xE,xM;2） o,xoS,使得xoM.證明：必要性，用反證法.設2）不成立，則00,使得xE,均有xM。，與M是上界中最小的一個矛盾.充分性（用反證法），設M不是E的上確界，即M0是上

15、界，但MMo.令MMo0,由2）,x0E,使得x0MM0,與M0是E的上界矛盾.定義3（下確界）設S是R中的一個數集，若數滿足：（1）對一切xS,有x（即是S的下界）；（2）對任何，存在xS,使得x0（即是S的下界中最大的一個），則稱數為數集S的下確界，記作infS.叢定義小可以得出.；.工確界就是工界中的最大者、.infS的充要條件:1) xE,x；2) 0,X0S,有X0上確界與下確界統稱為確界.例3(1)S1(-)-，則supS1;infS0.n(2) Eyysinx,x(0,).貝UsupS1;infS0注：非空有界數集的上(或下)確界是唯一的.命題3：設數集A有上（下）確界，則這上（

16、下）確界必是唯的.證明：設supA,supA且supAxA有xsupA對,xA使x0,矛盾.例：supR0,supn-1,infn-nzn1nZn1E5,0,3,9,11則有infE5.開區間a,b與閉區間a,b有相同的上確界b與下確界a例4設S和A是非空數集，且有SA.則有supSsupA,infSinfA.例5設A和B是非空數集.若對xA和yB,都有xy,則有supAinfB.證明：yB,y是A的上界，supAy.supA是B的下界,supAinfB.例6A和B為非空數集，SAB.試證明：infSmininfA,infB.證明：xS,有xA或xB,由infA和infB分別是A和B的下界，有

17、xinfA或xinfB.xmininfA,infB.即mininfA,infB是數集S的下界,infSmininfA,infB.又SA,S的下界就是A的下界，infS是S的下界，infS是A的下界，infSinfA;同理有infSinfB.于是有infSmininfA,infB.綜上,有infSmininfA,infB.1 .數集與確界的關系：確界不一定屬于原集合.以例3為例做解釋.2 .確界與最值的關系:設E為數集.(1) E的最值必屬于E,但確界未必，確界是一種臨界點.(2)非空有界數集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.(3)若maxE存在，必有maxEsupE.對下確界有類似的

18、結論.4. 確界原理:Th1.1(確界原理).設S非空的數集.若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.這里我們給一個可以接受的說明ER,E非空，xE，我們可以找到一個整數p，使得p不是E上界，而p1是E的上界.然后我們遍查p.1,p.2,p.9和p1,我們可以找到一個q0,0q09,使得網0不是E上界，p.(q01)是E上界，如果再找第二位小數5,，如此下去，最后得到Pq0qiq2,它是一個實數，即為E的上確界.證明：（書上對上確界的情況給出證明，下面講對下確界的證明）不妨設S中的元素都為非負數，則存在非負整數n,使得1）xS，有xn；2）存在x1S,有xn1；把區間（n,n1

19、10等分，分點為n.1,n.2,.,n.9,存在n1,使得1）S,有；xn.n1；2）存在x2S,使得x2n.n1110.再對開區間（n.n1,n.n1110等分，同理存在n2,使得1）對任何xS，有xn.n1n2；2）存在x2，使x2n.nQ卡繼續重復此步驟，知對任何k1,2,存在nk使得1）對任何xS，xnn”木；2）存在xkS,xkn.n1n2nk.因此得到n.n1n2nk.以下證明infS.（i）對任意xS,x;（ii）對任何，存在xS使x.作業:P91(1),(2);2;4(2)、(4);73函數概念授課章節：第一章實數集與函數一一3函數概念教學目的：使學生深刻理解函數概念.教學要求

20、：（1）深刻理解函數的定義以及復合函數、反函數和初等函數的定義，熟悉函數的各種表示法；（2）牢記基本初等函數的定義、性質及其圖象.會求初等函數的存在域，會分析初等函數的復合關系.教學重點：函數的概念.教學難點：初等函數復合關系的分析.教學方法：課堂講授，輔以提問、練習、部分內容可自學.教學程序：引言關于函數概念，在中學數學中已有了初步的了解.為便于今后的學習，本節將對此作進一步討論.一、函數的定義1 .定義1設D,MR,如果存在對應法則f,使對xD,存在唯一的一個數yM與之對應，則稱f是定義在數集D上的函數，記作f:DMx|y.數集D稱為函數f的定義域，x所對應的y,稱為f在點x的函數值，記為

21、f(x).全體函數值的集合稱為函數f的值域，記作f(D).即f(D)y|yf(x),xD.2 .幾點說明(1)函數定義的記號中“f:DM”表示按法則f建立D到M的函數關系，x|y表示這兩個數集中元素之間的對應關系，也記作x|f(x).習慣上稱x自變量，y為因變量.(2)函數有三個要素，即定義域、對應法則和值域.當對應法則和定義域確定后，值域便自然確定下來.因此，函數的基本要素為兩個：定義域和對應法則.所以函數也常表示為：yf(x),xD.由此，我們說兩個函數相同，是指它們有相同的定義域和對應法則.例如：1)f(x)1,xR,g(x)1,xR0.(不相同，對應法則相同，定義域不同)2)(x)|x

22、|,xR,(x)Tx7,xR.(相同，只是對應法則的表達形式不同).(3)函數用公式法(解析法)表示時，函數的定義域常取使該運算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域(自然定義域).此時，函數的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應法則f來表示一個函數.即“函數yf(x)”或“函數f”.(4) “映射”的觀點來看，函數f本質上是映射，對于aD,f(a)稱為映射f下a的象.a稱為f(a)的原象.(5)函數定義中，xD,只能有唯一的一個y值與它對應，這樣定義的函數稱為“單值函數”，若對同一個x值，可以對應多于一個y值，則稱這種函數為多值函數.本書中只討論單值函數(簡稱函數).二、函數的表示方法1主

23、要方法：解析法(公式法)、列表法(表格法)和圖象法(圖示法).2可用“特殊方法”來表示的函數.1)分段函數：在定義域的不同部分用不同的公式來表示.y1,x0例如sgnx0,x0,(符號函數)1,x0（借助于sgnx可表示f （x）|x|,即 f (x) | x| xsgnx)222）用語言敘述的函數.（注意；以下函數不是分段函數）例1）yx（取整函數）比如：3.5=3,3=3,卜3.5=-4.常有xxx1,即0xx1.與此有關一個的函數yxxx（非負小數函數）圖形是一條大鋸，畫出圖看一看.2 ）狄利克雷（Dirichlet）函數1,當x為有理數，D（x）0,當x為無理數，這是一個病態函數，很有

24、用處，卻無法畫出它的圖形.它是周期函數，但卻沒有最小周期，事實上任一有理數都是它的周期.3 ）黎曼（Riemman函數L當xE（p,qN,上為既約分數）,R（x）qqq0,當x0,1和（0,1冶的無理數.三函數的四則運算給定兩個函數f,xDi,g,xD2,記DDiUD2,并設D,定義f與g在D上的和、差、積運算如下：F(x)f(x)g(x),xD；G(x)f(x)g(x),xD；H(x)f(x)g(x),xD.若在D中除去使g(x)0的值，即令DgDxg(x)0,xD2,可在Dg上定義f與g的商運算如下；L(x)fxxDg.g(x)注：1)若DD1UD2，則f與g不能進行四則運算.2)為敘述方

25、便，函數f與g的和、差、積、商常分別寫為:ffg,fg,fg,.g四、復合運算1.引言在有些實際問題中函數的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們之間的對應關系.速度為V,則功率E為例：質量為m的物體自由下落，E mg2t2.Emv22vgt抽去該問題的實際意義，我們得到兩個函數f(v)-mv2,vgt,把2v代入f,即得_122f(v(t)mgt.2這樣得到函數的過程稱為“函數復合”，所得到的函數稱為“復合函數”.問題任給兩個函數都可以復合嗎？考慮下例；2yf(u)arcsinu,uD1,1,ug(x)2x,xER.就不能復合，結合上例可見，復合的前提條件是“內函數”的值域與“外函數”的

26、定義域的交集不空(從而引出下面定義)2.定義(復合函數)設有兩個函數yf(u),uD,ug(x),xE,Egxf(x)DIE,若Eg,則對每一個xEg,通過g對應D內唯個值u,而u又通過f對應唯一一個值y,這就確定了一個定義在Eg上的函數，它以x為自變量，y因變量，記作yf(g(x),xEg或f和g的復合函數，并稱f為y(fog)(x),xEg.簡記為fog.稱為函數外函數，g為內函數，u為中間變量.3.例子f(u).u, u g(x) 1 x2.g (x) f g(x).并求定義域.f(1 x)1,f(x)12 . xf(x)(A.B.1,C.x2 2,D.x22.討論函數f (u) 瓜u

27、0,)與函數g(x) ,1 x2,x R能否進行復合，求復合函數.4說明1)復合函數可由多個函數相繼復合而成.每次復合，都要驗證能否進行？在哪個數集上進行？復合函數的最終定義域是什么?例如：ysinu,uW,v1x2,復合成：ysin.1x2,x1,1.2)不僅要會復合，更要會分解.把一個函數分解成若干個簡單函數，在分解時也要注意定義域的變化.yloga.1x,x(0,1)ylogaU,u、z,z1x2. yarcsinx21yarcsinu,uv,vx21.2 y2sinxy2u,uv,vsinx.五、反函數1 .引言在函數yf(x)中把x叫做自變量，y叫做因變量.但需要指出的是，自變量與因

28、變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如：f(u)疝,ut21,那么u對于f來講是自變量，但對t來講，u是因變量.習慣上說函數yf(x)中x是自變量，y是因變量，是基于y隨x的變化現時變化.但有時我們不僅要研究y隨x的變化狀況，也要研究x隨y的變化的狀況.對此，我們引入反函數的概念.2 .反函數概念定義設f:XR是一函數，如果x1,x2X,由Xix2f(Xi)f(x2)(或由f(x1)f(x2)x1x2),則稱f在x上是1-1的.若f:XY,Yf(X),稱f為滿的.若f:XY是滿的1-1的，則稱f為1-1對應.f:XR是1-1的意味著yf(x)對固定y至多有一個解x,f:XY是1-1的意味著對

29、yY,yf(x)有且僅有一個解x.定義設f:XY是1-1對應.yY,由yf(x)唯一確定一個xX,由這種對應法則所確定的函數稱為yf(x)的反函數，記為xf1(y).反函數的定義域和值域恰為原函數的值域和定義域f:XY1f1:YX顯然有I：XX(恒等變換)(f 1) 1I：YY(恒等變換)f:XYyo從方程角度看，函數和反函數沒什么區別，作為函數,習慣上我們還是把反函數記為yf1(x),這樣它的圖形與yf(x)的圖形是關于對角線yx對稱的.嚴格單調函數是1-1對應的，所以嚴格單調函數有反函數.但1-1對應的函數(有反函數)不一定是嚴格單調的，看下面例子x,0x1f(x)3x,1x2它的反函數即

30、為它自己.實際求反函數問題可分為二步進行：1.確定f:XY的定義域X和值域Y,考慮1-1對應條件.固定yY,解方程f(x)y得出 x解 固7E y ,為解y e一 J，令ex z ,萬程變為22zy z2 1z2 2zy 1 0z y 7 V之 1 (舍去 y yy2 1)得 x ln( y Vy2 1) ,即 y ln(x vx2 1) sh1(x), 稱為反雙曲正弦.定理給定函數y f(x),其定義載和值載分別記為X和Y，若在Y上存在函數g(y),使得 g(f(x) x,則有g(y) f 1( y).f1(y).1,、2.按習慣，自變量x、因變量y互換，得yf(x).xx例求ysh(x)-

31、:RR的反函數.分析：要證兩層結論：一是yf(x)的反函數存在，我們只要證它是1-1對應就行了；二是要證g(y)f1(y).證要證yf(x)的反函數存在，只要證f(X)是X到Y的1-1對應.x1,x2X,若f(x1)f(x2),則由定理條件，我們有g(f(X1)xg(f(x2)x2x1x2，即f:XY是1-1對應.再證g(y)f1(y).yY,xX，使得yf(x).由反函數定義xf1(y),再由定理條件1,、g(y)g(f(x)xg(y)f(y).例f:RR,若f(f(x)存在唯一(|)不動點，則f(x)也|不動點.證存在性，設xff(x),f(x)fff(x),，*、.，*、*即f(x)是f

32、f的不動點，由唯一性f(x)x,即存在f(x)的不動點x*.唯一性：設xf(x),xf(x)f(f(x),說明x是ff的不動點，由唯一性，x=x.從映射的觀點看函數.設函數yf(x),xD.滿足：對于值域f(D)中的每一個值y,D中有且只有一個值x,使得f(x)y,則按此對應法則得到一個定義在f(D)上的函數，稱這個函數為f的反函數，記作f1：f(D)D,(y|x)或xf1(y),yf(D).3、注釋a)并不是任何函數都有反函數，從映射的觀點看，函數f有反函數，意味著f是D與f(D)之間的一個映射，稱f1為映射f映射,f(D)b)函數f與f1互為反函數，并有:f1(f(x)x,xD,f(f1(

33、x)y,yf(D).c)在反函數的表示xf1(y),yf(D)中，是以y為自變量，x為因變量.若按習慣做法用x做為自變量的記號，y作為因變量的記號，則函數f的反函數f1可以改寫為yf1(x),xf(D).應該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個函數，因為其定義域和對應法則相同，僅是所用變量的記號不同而已.但它們的圖形在同一坐標系中畫出時有所差別.六、初等函數1 .基本初等函數(6類)常量函數yC(C為常數)；冪函數yx(R)；指數函數yax(a0,a1)；對數函數ylogax(a0,a1)；三角函數ysinx,ycosx,ytgx,yctgx；反三角函數yarcsinx,yarccosx,y

34、arctgx,yarcctgx.注：冪函數yx(R)和指數函數yax(a0,a1)都涉及乘冪，而在中學數學課程中只給了有理指數乘冪的定義.下面我們借助于確界來定義無理指數冪，便它與有理指數冪一起構成實指數乘冪，并保持有理批數冪的基本性質.定義2.給定實數a0,a1,設x為無理數，我們規定:supar|r為有理數，當a1時，xrxainfar|r為有理數，當0a1時.r0,xX有f(x)M,即Mf(x)M,MmM,MM即可.反之如果M,m使得xX,mf(x)M,令M0maxM1,m,則f(x)|M,即M00,使得對xX有|f(x)M,即f:XR有界.例2.證明f(x)工為(0,1上的無上界函數.

35、x例3.設f,g為D上的有界函數.證明：(1)inDf(x)xifg(x)inff(x)g(x);supf(x)supg(x).xDxD2也凡當x 0時，有例4驗證函數f(x)在(內有界.解法一由2x23(72x)2(值) sup f (x) g(x) x D2|V2xV3f(x)5x5x_222x32x35x|5f6|x|2薪3.f(0)03,對xR,總有f(x)3,即f(x)在R內有界.解法二令y -4 2x2 3有實數根.52 24y2 0,解法三令x枷,t3y關于x的二次方程2yx25xy2144，|y2.一,一對應x(,).于是2 2_53tgt5sint13 2tg2t16cost

36、sect35.sin2t,2,6f(x)5.sin2t2、652,6二、單調函數定義3設f為定義在D上的函數，Xi,X2D,Xix2,(1)若f(x1)f(x2),則稱f為D上的增函數；若f(Xi)f(X2),則稱f為D上的嚴格增函數.(2)若f(x1)f(x2),則稱f為D上的減函數；若f(x1)f(X2),則稱f為D上的嚴格減函數.例5.證明：y*3在(，)上是嚴格增函數.證明：設Xi33X1X2(Xix2)(xj x1x2 x1)如x1x20,則X20x1X1X2如XiX20,則Xi2X1X2X20,Xi3X3故x3x30即得證.例6.討論函數yx在R上的單調性.QXi,X2R,當為X2

37、時，有XiX2,但此函數在R上的不是嚴格增函數.注：1)單調性與所討論的區間有關.在定義域的某些部分，f可能單調，也可能不單調.所以要會求出給定函數的單調區間；2)嚴格單調函數的幾何意義：其圖象無自交點或無平行于x軸的部分.更準確地講：嚴格單調函數的圖象與任一平行于x軸的直線至多有一個交點.這一特征保證了它必有反函數.總結得下面的結論：定理1.設yf(x),xD為嚴格增(減)函數，則f必有反函數f1,且f1在其定義域f(D)上也是嚴格增(減)函數.證明：設f在D上嚴格增函數.對yf(D),有xD,使f(x)y.下面證明這樣的x只有一個.事實上，對于D內任一xix,由于f在D上嚴格增函數，當x1

38、x時f(x1)y,當x1x時f(為)y，總之f(x1)y.即yf(D),都只存在口t一的一xD,使得f(x)y,從而例7討論函數y*2在(，)上反函數的存在性；如果yx2在(,)上不存在反函數，在(,)的子區間上存在反函數否？結論：函數的反函數與討論的自變量的變化范圍有關.例8證明：yax當a1時在R上嚴格增，當0a1時在R上嚴格遞減.三、奇函數和偶函數定義4.設D為對稱于原點的數集，f為定義在D上的函數.若對每一個xD有(1)f(x)f(x),則稱f為D上的奇函數；f(x)f(x),則稱f為D上的偶函數.注：(1)從函數圖形上看，奇函數的圖象關于原點對稱(中心對稱)，偶函數的圖象關于y軸對稱

39、；(2)奇偶性的前提是定義域對稱，因此f(x)x,x0,1沒有必要討論奇偶性.奇函數:y=sinx3)從奇偶性角度對函數分類：偶函數:y=sgnx非奇非偶函數:y=sinx+cosx既奇又偶函數:y0(4)由于奇偶函數對稱性的特點，研究奇偶函數性質時，只須討論原點的左邊或右邊即可四、周期函數1、定義設f為定義在數集D上的函數，若存在0,使得對一切xD有f(x)f(x),則稱f為周期函數，稱為f的一個周期.2、幾點說明：(1)若是f的周期，則n(nN)也是f的周期，所以周期若存在，則不唯一.如ysinx,2,4,L.因此有如下“基本周期”的說法，即若在周期函數f的所有周期中有一個最小的周期，則稱

40、此最小周期為f的“基本周期”，簡稱“周期”.如ysinx,周期為2;(2)任給一個函數不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1)yx1,不是周期函數；2)yC(C為常數)，任何正數都是它的周期.第二章數列極限為了掌握變量的變化規律，往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢.例如有這么一個變量，它開始是1,然后為LLLlJ,L如234n此，一直無盡地變下去，雖然無盡止，但它的變化有一個趨勢，這個趨勢就是在它的變化過程中越來越接近于零.我們就說，這個變量的極限為0.在高等數學中，有很多重要的概念和方法都和極限有關（如導數、微分、積分、級數等），并且在實際問題中極限也占有重要的地位.例

41、如求圓的面積和圓周長（已知：Sr2,l2r）,但這兩個公式從何而來？要知道，獲得這些結果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線段的長度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們在觀念上，在思考方法上來一個突破.問題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求，是因為它的周界是一些直線段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢？周界處處是彎曲的，困難就在這個“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對矛盾.辯證唯物主義認為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉化.整個圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；就是說，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圓弧.按照這種辯證

42、思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成n個等長的小段，代替圓而先考慮其內接正n邊形.易知，正n邊形周長為1n2nRsinn顯然，這個1n不會等于1.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正n邊形的邊數不斷增加.這些正多邊形的周長將隨著邊數的增加而不斷地接近于圓周長.n越大，近似程度越高.但是，不論n多么大，這樣算出來的總還只是多邊形的周長.無論如何它只是周長的近似值，而不是精確值.問題并沒有最后解決.為了從近似值過渡到精確值，我們自然讓n無限地增大，記為n.直觀上很明顯，當n時，1n1,記成:im1n1.極限思想.即圓周長是其內接正多邊形周長的極限.這種方法是我國劉微（張晉）早在第3世紀就提出

43、來了，稱為“割圓術”.其方法就是一一無限分割.以直代曲；其思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對極限作深入研究.1數列極限的概念教學目的：使學生建立起數列極限的準確概念；會用數列極限的定義證明數列極限等有關命題.教學要求：使學生逐步建立起數列極限的N定義的清晰概念.深刻理解數列發散、單調、有界和無窮小數列等有關概念.會應用數列極限的N定義證明數列的有關命題，并能運用N語言正確表述數列不以某實數為極限等相應陳述.教學重點：數列極限的概念.教學難點：數列極限的N定義及其應用.教學方法：講授為主.教學程序：一、什么是數列1數列的定義數列就是“一列數”，

44、但這“一列數”并不是任意的一列數，而是有一定的規律，有一定次序性，具體講數列可定義如下；若函數f的定義域為全體正整數集合N，則稱f:NR為數列.注：1)根據函數的記號，數列也可記為f(n),nN;2)記f(n)為，則數列f(n)就可寫作為：ai,L,an,L,簡記為an,即f(n)|nNan;3)不嚴格的說法：說f(n)是一個數列.2數列的例子111：2,1,1,1-,L;435111,、：1，-，3，4，L；1234 n2 :1,4,9,16,25, L ；(4)1 ( 1)n1 :2,0,2,0,2, L二、什么是數列極限1 .引言對于這個問題，先看一個例子：古代哲學家莊周所著的莊子.天下

45、篇引用過一句話：“一尺之植，日取其半，萬世不竭”.把每天截下的部分的長度列出如下(單位為尺)；第1天截下1,2第2天截下建第3天截下1口2A3222M1111 I_ I_，2， 3， n ，2 2 22M得到一個數列:不難看出，數列-1的通項-1隨著n的無限增大而無限地接近于2n2n零.一般地說，對于數列an,若當n無限增大時，an能無限地接近某一個常數a,則稱此數列為收斂數列，常數a稱為它的極限.不具有這種特性的數列就不是收斂的數列，或稱為發散數列.據此可以說，數列-1是收斂數列，0是它的極限.2 n數列n2,1(1)n1都是發散的數列.需要提出的是，上面關于“收斂數列”的說法，并不是嚴格的

46、定義，而僅是一種“描述性”的說法，如何用數學語言把它精確地定義下來.還有待進一步分析.以11為例，可觀察出該數列具以下特性:n隨著n的無限增大，an1 1無限地接近于1 n隨著n的無限增大,11與1的距離無限減少隨著n的無限增大，|111|無限減少nn|111|會任意小，只要n充分大.n如：要使|111|0.1,只要n10即可；n1要使|1-1|0.01,只要n100即可；nMM任給無論多么小的正數，都會存在數列的一項aN,從該項之后(nN),|111|.即0,N,當nN時，|111|.如何找N?(或N存在嗎？)解上面的數學式子即得：n取N11即可.這樣。，當nN時，|111|-.nnN綜上所

47、述，數列11的通項11隨n的無限增大，11無限接nnn近于1,即是對任意給定正數，總存在正整數N,當nN時，有|111|.此即1-以1為極限的精確定義，記作lim1-1或nnnn1n,11.n2 .數列極限的定義定義1設an為數列，a為實數，若對任給的正數，總存在正整數N,使得當nN時有la。a|,則稱數列不收斂于a,實數a稱為數列an的極限，并記作limana或ana(n).n(讀作：當n趨于無窮大時，an的極限等于a或an趨于a).由于n限于取正整數，所以在數列極限的記號中把n寫成n，即limana或ana(n).n若數列an沒有極限，則稱an不收斂，或稱an為發散數列.問題:如何表述an沒有極限？3 .舉例說明如何用N定義來驗證數列極限例1.證明：lim1-0(p0).nnp證明：0不妨設2 ,要使oiN時,有1np-0|=Jpn11-(fP21)p求證limqn0,0,(0不妨設q1).nlgqlg(注意這里lgq0,lg0),oq只要N也一，則當nN時，就有lgqqn0,只要丸.取lgqlimqn0.n例3求證limnnja1(a證法10).要使%1只要只要-lgalg(1)，只要nnlglgalg(1)limnN時，就有g11)limn