1、三好高中生(ID： sanhao-youke),為高中生提供名師公開課和精品資料。數列的全章復習與鞏固編稿：李霞審稿：張林娟【學習目標】1 .系統掌握數列的有關概念和公式；2 .掌握等差數列與等比數列的概念、性質、通項公式與前n項和公式，并運用這些知識解決問題；3 .了解數列的通項公式an與前n項和公式Sn的關系，能通過前n項和公式Sn求出數列的通項公式an；4.掌握常見的幾種數列求和方法【知識網絡】【要點梳理】要點一：數列的通項公式數列的通項公式一個數列an的第n項an與項數n之間的函數關系，如果可以用一個公式anf(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數列的通項公式.要點詮釋：不是每個數列

2、都能寫出它的通項公式.如數列1,2,3,1,4,2,就寫不出通項公式；有的數列雖然有通項公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：數列一1,1,1,1,的通項公式可以寫成an(1)n,也可以寫成ancosn；僅僅知道一個數列的前面的有限項，無其他說明，數列是不能確定的通項an與前n項和Sn的關系：任意數列an的前n項和Sna1a2an；Si(n1)an-一，八、SnSn1(n2)要點詮釋：由前n項和Sn求數列通項時，要分三步進行：(1)求aiSi,(2)求出當n>2時的an,(3)如果令n>2時得出的an中的n=1時有aS成立，則最后的通項公式可以統一寫成一個形式，否則就只能寫成分段的

3、形式.數列的遞推式：如果已知數列的第一項或前若干項，且任一項an與它的前一項an1或前若干項間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式，簡稱遞推式要點詮釋：利用遞推關系表示數列時，需要有相應個數的初始值，可用湊配法、換元法等要點二：等差數列判定一個數列為等差數列的常用方法定義法：an1and(常數)是等差數列；中項公式法：241anan2(nN*)%是等差數列；通項公式法：anpnq(p,q為常數)an是等差數列；前n項和公式法：SnAn2Bn(A,B為常數)an是等差數列.要點詮釋：對于探索性較強的問題，則應注意從多I例入手，歸納猜想一般特性等差數列的有關性質：(1)

4、通項公式的推廣：anam+(nm)d*(2)右mnpq(m>n、p、qN),貝Uamanapaq；特別，若mn2p,則aman2ap三好高中生，學習方法/提分干貨保青品課程/考試真題，你需要的這里都有!(3)等差數列an中，若m>n、p(m>n>pN)成等差數列，則am、an、ap成等差數列Sk,S2kSk,S3kS2k,組成新的等差數列(4)公差為d的等差數列中，連續k項和(5)等差數列&,前n項和為Sn當n為奇數時，Snnam;S奇S偶anan1當n為偶數時，Snn()；S2(6)等差數列4,前n項和為Sn,則(7)等差數列&中，若m+n=p+q(m

5、、n、p、qCN*,且mn,pw0,貝U.mnpq(8)等差數列an中，公差d，依次每k項和：Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數列，新公差d'k2d.等差數列前n項和Sn的最值問題：等差數列an中an0右ai>0,d<0,Sn有最大值，可由不等式組來確定n;an10an0右ai<0,d>0,Sn有最小值，可由不等式組來確定n,也可由刖n項和公式an10一d2.d.Snn(a1一)n來確定n.22要點詮釋：等差數列的求和中的函數思想是解決最值問題的基本方法要點三：等比數列判定一個數列是等比數列的常用方法SmSn1dn;S2S禺an2an12Smn/(m、mna

6、一一(1)定義法：q(q是不為0的常數，nCN*)an是等比數列；an(2)通項公式法：ancqn(c、q均是不為0的常數nCN*)an是等比數列；(3)中項公式法：a21anan2(anan1an20,nN*)an是等比數列等比數列的主要性質：(1)通項公式的推廣：anamqnm*、一.(2)右mnpq(m>n、p、qN),貝Uamanapaq.特另1J,若mn2p,貝Uamanap2(3)等比數列an中，若m>n、p(m>n>pN)成等差數列，則am、an、ap成等比數列(4)公比為q的等比數列中，連續k項和Sk,S2kSk,S3kS2k，組成新的等比數列.(5)等

7、比數列斗,前n項和為Sn,當n為偶數時，S偶S奇q.(6)等比數列an中，公比為q,依次每k項和：Sk,S2kSk,S3kS2k成公比為qk的等比數列.(7)若an為正項等比數列，則logaan(a>0且awj)為等差數列；反之，若%為等差數n(n 1)a1nq 2 (n N*)列，則aan(a>0且aD為等比數列(8)等比數列&前n項積為Vn,則Vn等比數列的通項公式與函數：n1anaq方程觀點：知二求一；函數觀點：ana1qn1亙qnqq0且q1時，是關于n的指數型函數；q1時，是常數函數；要點詮釋:0 ,等比數列&是遞減數列;當q1時，若a10,等比數列4是遞

8、增數列；若a1當0q1時，若a10,等比數列an是遞減數列；若a0,等比數列%是遞增數列;當q0時，等比數列an是擺動數列;當q1時，等比數列an是非零常數列要點四：常見的數列求和方法公式法：如果一個數列是等差數列或者等比數列，直接用其前n項和公式求和.分組求和法：將通項拆開成等差數列和等比數列相加或相減的形式，然后分別對等差數列和等比數列求和.如：an=2n+3n.裂項相消求和法：把數列的通項拆成兩項之差，正負相消，剩下首尾若干項的方法.一般通項的分子為非零常數，分母為非常數列的等差數列的兩項積的形式.右an,分子為非零常數，分母為非常數列的等差數列的兩項積的形式則an(An B)(An C

9、)(An B)(An C)占(An B1An Can=1n(n 1)錯位相減求和法:通項為非常數列的等差數列與等比數列的對應項的積的形式:anbn cn ,其中bn是公差dwo等差數列，cn是公比qwi等比數列,如 an=(2n-1)2 n.般步驟:Snb1C1b2c2bn 1Cn 1bnCn，則qSn hGbn 1cnbn cn 1所以有（1q)Snb1C1(C2C3cn )d bncn 1要點詮釋:求和中觀察數列的類型，選擇合適的變形手段，注意錯位相減中變形的要點要點五：數列應用問題數列應用問題是中學數學教學與研究的一個重要內容，解答數學應用問題的核心是建立數學模型，有關平均增長率、利率（

10、復利）以及等值增減等實際問題，需利用數列知識建立數學模型建立數學模型的一般方法步驟.認真審題，準確理解題意，達到如下要求：明確問題屬于哪類應用問題；弄清題目中的主要已知事項；明確所求的結論是什么.抓住數量關系，聯想數學知識和數學方法，恰當引入參數變量或適當建立坐標系，將文字語言翻譯成數學語言，將數量關系用數學式子表達.將實際問題抽象為數學問題，將已知與所求聯系起來，據題意列出滿足題意的數學關系式（如函數關系、方程、不等式）.要點詮釋：數列的建模過程是解決數列應用題的重點，要正確理解題意，恰當設出數列的基本量.【典型例題】類型一：數列的概念與通項57一，一，1726的一個通項公式.13例1.寫出

11、數列：1,510【思路點撥】從各項符號看,負正相間，可用符號（1）n表示；數列各項白分子：1,3,5,7,是個奇數列，可用2n1表示；數列各項白勺分母:5,10,17,26,恰是221,321,421,521,可用（n1）21表示.【解析】通項公式為：an （ 1）n2n 12(n 1)1【總結升華】求數列的通項公式就是求數列中第n項與項數n之間的數學關系式.如果把數列的第1, 2, 3,項分別記作f(1), f(2), f(3),，那么求數列的通項公式就是求以正整數n （項數）為自變量的函數f（n）的表達式;通項公式若不要求寫多種形式，一般只寫出一個常見的公式即可；給出數列的構造為分式時，可

12、從各項的符號、分子、分母三方面去分析歸納，還可聯想常見數列的通項公式，以此參照進行比較.舉一反三：1212312345【變式1】已知數列i，£J,£,3,£,3,4,，則5是此數列中的（）2132143216A.第48項B.第49項C.第50項D.第51項【答案】C.11212312r將數列分為第1組1個，第2組2個，第組n個，（1）,（1，2）,（，2/），（，,121321nn11.一.一.5.則第n組中每個數的分子分母的和為n+1,則5為第10組中白第5個，其項數為（1+2+3+9)+5=50.故選C.【變式2】根據下列條件，寫出數列中的前4項，并歸納猜想其

13、通項公式:(1) a13,an12an11(2) a1a©12an【答案】(1)a13,a27,a315,包31,猜想得an 2n 1 1 .12 a 3 2a(2)ai =a,a2=,a3=,a4=,2 a 3 2a 4 3a猜想得 an= (n 1) (n 2)a n (n 1)a類型二：等差、等比數列概念及其性質的應用1之間才1入n個正數，使這n 2個數依次成等比數列，求所插入的n個數之積;方法一：設插入的n個數為x1,x2, , xn ,且公比為q,則n 1 - qn 1 n1q n(n 1), 4 -q (k 1,2，n) nTnXi x211 2Xn -q -qn nn(

14、n 1)1 -q n1萬法一：設插入的n個數為x1,x2, , xn , x0 ,xn 1 n 1,nn 1Xo Xn 1 Xi Xn X2 Xn 1n2n 1 nTn x1 x2xn ' Tn(x1xn ) (x2xn 1)(xn x1) () ,nTn(U)2n【總結升華】第一種解法利用等比數列的基本量a1、q,先求公比，后求其它量，這是解等差數列、等比數列的常用方法，其優點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數列的性質，與首末項等距”的兩項積相等，這在解題中常用到.舉一反三：【變式1】如果一個等差數列的前12項和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為

15、32:27,求公差.【答案】設等差數列首項為&,公差為d,則12a1- 12 11 d 354216(a1 d) 6 5 2d2c1c c，6a16 5 2d212a1 66d 354a1 25a1 2d 0d 5【變式2】已知：三個數成等比數列，積為 216,若第二個數加上4,則它們構成一個等差數列，求這三個數.【答案】這三個數為2, 6, 18 或 18, 6, 2.例3.設&是等差數列1S J1,則會等于(3S12A. B.-103C. 1 D, 189【思路點撥】利用等差數列的性質來解：等差數列an中，Sk，S2kSk，S3k&k也成等差數列.0成等差數列,【解

16、析】由題意知S3,S6S3,S90,§2由已知得S63S3,故公差為(S6s3)S3S3,所以S9s6S32s3,故S96s3，S12S9S33s3,故§210S3,s63所以一一.故選A。S1210【總結升華】等差等比數列的性質是高考命題的熱點，熟練掌握它們的性質并靈活運用，能使問題簡潔.舉一反三：【變式】已知等差數列an,Sn25,S2n100,則S3n()A.125B.175C.225D.250【答案】C方法一：an為等差數列， Sn，S2nSn，0nS2n成等差數列，即2(S2n&)&(S3n$2n) 2(10025)25(S3n100),解得當22

17、5,選C.方法二：取特殊值(適用選擇題)：令n1,由題意可得SnS1a25，S2nS2a1a2100,a275,da2a50,cc3(31) .S3nS33a1(一)d225,2，選C.、4一n(n1)2n(2n1)萬法二：Snna1d25,S2n2na1-d100,2 2兩式相減可得nain(3n1)d75,2S3n3na13n(3n1)d753225.2，選C.例4.等差數列an中，a10,S9§2,該數列前多少項的和最小？【思路分析】等差數列an的通項an是關于n的一次式，前n項和Sn是關于n的二次式(缺常數項).求等差數列的前n項和Sn的最大最小值可用解決二次函數的最值問題的

18、方法981211【解析】設等差數列an的公差為d,則由題意有：9a1d12a1d22化簡得a110d,'/a10,d0,Sn na1 nd10dn212；d0,Sn有最小值。又nN,n10或n11時，Sn取最小值.0時，Sn有最小值；當【總結升華】前n項和Sn是關于n的二次式(缺常數項)，當a10,da10,d0時，Sn有最大值舉一反三：【變式1】等差數列an中，a113,S361,則它的前一項和最大，最大項的值是.【答案】7,493 21110設公差為d,由題思得3a1+d=11a1+-d,得d=-2,Sn有最大值.311又S3=S11,可彳導n=一-=7,76S7為最大值，即S7=

19、7X13+-(-2)=49.【變式2】若數列an是等差數列，數列bn滿足bn=anan+1an+2(nCN),bn的前n項和用Sn表示,若an中滿足3a5=8a12>0,試問n多大時，Sn取得最大值，證明你的結論.56【答案】-3a5=8a12>0,.3as=8(a5+7d),解得a5=d>05'd<0,-a1=-d5故an是首項為正的遞減數列ana1(n 1)d 0則有n 1')，即an 1al nd 076 d576 .d5(n 1)d 0nd 0解得：151. n=16,即a16>0,a17<0即：a1>a2>>a16

20、>0>a17>a18>是 b1>b2> - >b14>0>b17>b18>而 b15=a15 a16 a17<0b16=a16 a7 a18>0Si4>Si3> - >Si ,S14>S15, S15<S16p 69乂 a15= - d>0, a18= 一 d<055a15<|a18|,|b151Vb16,即 b15+b16>0S16>S14,故 Sn 中 S16 最大S例5.設Sn、Tn分別為等差數列an, bn的前n項和，滿足 Tn7n 1+ a11,求

21、14n 27【思路點撥】利用等差數列的前 n項求和公式及性質是解決本題的關鍵，主要利用:S2n 1(2n 1)(a1 a2n 1) (2n 1) 2an(2n 1)an進行求解.方法一:a111bli2a112b11aa21b1b2121,、(a1a21)21 八 ，、 二(bl b21)2S217 21 1T214 21 27-的關系3方法二:設&k(7n1)n, Tnk(4n 27)n(kw0)a11=S11-S10=11k(7 11+1)-10k(7 10+1)=148kb11=T11-T10=11k(4 11+27)-10k(4 10+27)=111ka11 bn148k411

22、1k3【總結升華】等差數列的中項在前 n項和式中的應用是解決本例的關鍵,也應注意到前n項和與通項公式的聯系.【變式1】等差數列an中，Sn=50, a1 a2 a3 a430, an 3 an 2 an 1 an 10,求項數n.【答案】a1 a2 a3 a4 30an 3 an 2 am an 10由(1) + (2)得：4(a1 an) 40(為cn(a1 an)n 10-Sn 50 nn 22【變式2】已知各項均為正數的等比數列【答案】由已知得a1a2a3 a3 5,a7a8a【高清課堂：數列綜合381084例2】，an) 10,10an, aa2a3 5,a7a8a9 10,則 a4a

23、5a6 9 % 10 ,故 a4a5a6 a5 (Ja2a8)5>f2.【變式3】在數列an中，& 1,a2 2, an1(1 q)an qan 1 (n 2,q 0)，一，*、.(1)設bnan1an(nN),證明bn是等比數列(2)求數列 an的通項公式.中項.若氏是26與a9的等差中項，求q的值；并證明：對任意的 n N , 4是an 3與4 6的等差an(1)利用定義證明bn qbn,q 1n 11 q d-,q 11 q(3)證明1時,n不合題意q 1時,an2 2 qn21 q2 2qn 11 q由23是%與a9的等差中項可求q3n2n又an3an61TV17sq1q

24、n12(1q)2%即an是an3與an6的等差中項.類型三：由遞推關系求數列通項公式例6.已知數列an中a5,a22,an2an13an2,(n3)求這個數列的通項公式。【思路點撥】把an2an13an2整理成anan13(an1an2),得數列anan1為等比數列；把an2an13an2整理成an3an113an2)得數列an3an1為等比數列，通過構造的新數列的通項公式，聯立求出an.【解析】an2an13an2anan 13(an 1 an 2)又a1a27,anan1形成首項為7,公比為3的等比數歹U,則anan173n2-an2an 13an(an 1a23a113,an3an1形成

25、了一個首項為13,公比為1的等比數列則an3an1(13)(1)n234an73n113(1)n17on113n1an3(1)44【總結升華】本題是兩次構造等比數列，最終用加減消元的方法確定出數列的通項公式。舉一反三：2【變式1】已知數列an中，a11,an1-an1,求an.32【答案】法一：設(an1A)-(anA),解得a332即原式化為(an13)-(an3)3設bnan3,則數列bn為等比數列，且b1al322 2nbnan3(2)(-)n1an33(一)n3 3法二：an2anan131(n2)由一得:一一2an1an3(anan1)設bnan1an則數列0為等比數列bnan1an

26、ant守1(2)n(3)n一ana23(2)n32a11,3a3(2)2a%23a323/2221(-)(-)-1,3332an-an3,an3【變式2】在數列an中,a1=1,an1nanan.an1nannanan1anan11nan111a2a1a312a2an(nan11)(n2)將以上各式疊加,an12(na11)n/2(n1)(n2)11an2(n1)(n2)一一11又n=l時，1一(11)1一2a12*,ann-V(nN)類型四：an與Sn的關系式的綜合運用【思路點撥】可以考慮化為例7.數列an的前n項和為Sn,若對于nN,Snnan1恒成立，求Sn.Sn的遞推式，直接求Sn,這

27、是方法一；已知S與an的混合式，考慮采用降角標作差的方法，化為an的遞推關系式，先求an再求Sn,這是方法【答案】Snn【解析】方法一：當n 2時,anSnSn1,SnnanSnn(&Sn1)(1n)&nSn1,所以數列(1n)Sn是首項為2§,公差為1的等差數列.當n1時，§a11,2sl1(1n)Sn2s(n1)1n,Snn1方法二：Snnan1則Sn1(n1)an11一彳aannan(n1)an10,(n 1)an(n1)an 1anan 1在中，當n=1時，a1a11,a2 a3 a4an& ai a2 a3an 2ann 2 n 111 &

28、#177;n n 1 n(n 1) n n 1(11)(11)(11)(122334n【總結升華】an與Sn的關系式的綜合運用，如果已知條件是關于an、Sn的關系式f(an,Sn)0,可利用n>2時anSnSn1,將條件轉化為僅含an或Sn的關系式。注意分n=1和n>2兩種情況討論,若能統一，則應統一，否則，分段表示。舉一反三：【變式1】在數列an中，已知a121,刖n項和S與通項&?兩足2Sn2anSnan(n2,3.)，求這個數列的通項公式【答案】因為anSnSn 1,從而由已知得至U：2 _2Sn(2Sn 1)(Snr 1Sn)即工 Sn于是得到Sn1一，就可以得到:

29、2n 11an -2n2).【變式2】在數列an中,Sn是其前n項和，若a1= 1, an+1 =S)(n> 1)則3an =,n1,n21c，一.an=-Sn1(n>2,)3an+1= an(n> 2)3.c1an+1an=-an(n>2)3當n>2時,an工(")”當n=1時，a=1.1,n1an14n2,n21-(an 1)(nN*).333【變式3】已知數列an的前n項和為Sn,Sn(1)求&,a2；(2)求證：數列an是等比數列.【答案】(1)由Si1(a11),得©1(a11),331a1一)21 .1.一1又S2(a21)

30、,即闞a2(a21),付a2.3 3411(2)證明：當n2時，anSnSn1二1)二11),33得反L又曳Lan12a1211所以an為首項為-,公比為-的等比數列.類型五：數列的求和問題*例8.(2015天津)已知數列an滿足an2qan(q為實數，且qw1),nN,a11,a?2,且a2a3,a3a4,a4a5成等差數列.(i)求q的值和an的通項公式；(n)設bnlOg2a2n,nN*,求數列0的前n項和.a2n1【答案】(1)2； an【解析】n 12kn22,n為奇數.n 2(n) Sn 4 廣(i)解：由已知，有(a3%) a3)as)(a3 %)，即a4a2a5a3,所以a2(

31、q1)a3(q1).又因為qwi,所以a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.n1當n=2k1(kCN*)時，ana2k12k12下n2kin當n=2k(ken*)時，ana2k2k2萬.n2k所以，an的通項公式為ann 12n22,n為奇數.n為偶數.（n）解：由（I）得bnlog2 a2nn，.設bn的前n項和為Sn,則 2 n *Sn2Sn121012112T3T(n(n上式兩式相減,2Sn 1整理得,Sn1)1)112n 12n1;所以，數列bn的前n項和為【總結升華】數列求和是考試的熱點，以等差、等比數列的基本運算為背景考查錯位相減法、裂項相消法、分組求和等求和方法。重點是錯位相

32、減法舉一反三：【變式1】（2015天津文）已知an是各項均為正數的等比數列，bn是等差數列，且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a53b2=7.（I）求an和bn的通項公式；（n）設Cn=anbn,nN*,求數列cn的前n項和.【答案】（I）設數列an的公比為q,數列bn的公差為d,由題意q>0.由已知，有2q24q3d3d2,消10去d,整理得q42q28=0.又因為q>0,解得q=2,所以d=2.nC N*.所以數列an的通項公式為an=2n-1,nCN*;數列bn的通項公式為bn=2n-1,(n)由(I)有Cn=(2n1)2n-1,設cn的前n項和為Sn,則Sn=1X20+

33、3X21+5X22+(2n3)X2n-2+(2n1)X2n-1,2Sn=1X21+3X22+5X23+(2n3)X2n-1+(2n1)X2n,上式兩式相減，得Sn=1+22+23+2n(2n1)X2n=2n+13(2n1)X2n=一(2n3)X2n3,所以，Sn=(2n3)2n+3,nCN*.21、n【變式2】右數列an的相鄰兩項an、an1是萬程xCnX（一）0的兩根，又a2,求數3列Cn的前n項和Sn.1C【答案】由韋達7E理信anan1g,HnHn1（3）,1、n1/曰an21,an1an2(T)，仔二,3an3數列a2k與a2k1均成等比數列，且公比都為由a2,a1a2,1、k1a2k

34、a2()3(I)當n為偶數時，令5k2k，a2k1(kN*a12(3)k1SnC1C2C3(&a2)(a2.C2a3)k(a3a4)(a2k1a2。(a2ka2k1)ai2(a3a5.a2k1)2(a2a4.a2k)a2k12a41(孑1312-3113(1)k13-237(1)k2397(1)2223(II)當1ka21(3)11361(*2(3)kn為奇數時，令n2kSnC1C2C3(aa2)(a2.C2a3)ai2(a3a5a2ka3121(1)k313123-13(1)k13231k91(3)27(3)(3)kk1(a3a4)1)n1-2-2(a2.(a2k2a2k1)(a2k

35、1a2k)a4.a2k2)a2ka21(1)k136113(1)k13236(3)k11/1xk16(3)類型六：等差、等比數列的綜合應用例9.(2016長沙校級模擬)已知單調遞增的等比數列an滿足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等(1)求數列an的通項公式；設bnanlog1an,求數列bn的前n項和Sn。2【答案】(1)an=2n(2)Sn=2n+1n2n+12【思路點撥】(1)根據a3+2是a2,a4的等差中項和a2+a3+a4=28,求出a3、a2+a4的值，進而得出首項和a1,即可求得通項公式；(2)先求出數列bn的通項公式，然后求出-Sn-(-2Sn),即可求得的

36、前n項和Sn。【解析】(1)設等比數列an的首項為a1,公比為q丁義+2是a2,a4的等差中項1-2(a3+2)=a2+a4代入a2+a3+a4=28,得a3=8a2+a4=203a1qa1q202oa3a1q8C1.q2或q2a12a32;數列an單調遞增an=2n(2) an=2nbn2n10gl2nn2n2Sn12222n2n2Sn122223(n1)2nn2n1一得，Sn=2+22+23+2nn.2n+1=2n+1n-2n+12【總結升華】本題考查了等比數列的通項公式以及數列的前n項和，對于等差數列與等比數列乘積形式的數列，求前n項和一般采取錯位相減的辦法。舉一反三：【高清課堂：數列綜合381084例1】【變式】已知兩個等比數列an,bn,滿足a1a(a0),b1a11,b2a22,b3a33.(1)若a1,求數列an的通項公式；若數列an唯一，求a的值.【答案】(1)an(2J2)n1或an(2出一1(2)a13類型六：應用題例10.某地區現有耕地10000公頃，規劃10年后糧食單產比現在增加2