1、微分方程模型微分方程模型 含有未知函數及其導數的等式稱為微分方程含有未知函數及其導數的等式稱為微分方程常微分方程與偏微分方程、階、解、通解與特解、定解條件與初值問題、線性方程常微分方程與偏微分方程、階、解、通解與特解、定解條件與初值問題、線性方程與非線性方程與非線性方程凡是涉及凡是涉及“增加增加”、“減少減少”、“變化變化”、“速率速率”、“生長生長”、“衰減衰減”、“邊際邊際”、“運動運動”等問題往往采用微分方程建模等問題往往采用微分方程建模一、酒后駕駛認定一、酒后駕駛認定世界衛生組織的事故調查顯示世界衛生組織的事故調查顯示,大約大約50%60%的交通事故與酒后駕駛的交通事故與酒后駕駛有關有

2、關,酒后駕駛已經被列為車禍致死的主要原因酒后駕駛已經被列為車禍致死的主要原因.在中國在中國,每年由于酒后駕車引發的交通事故達數萬起每年由于酒后駕車引發的交通事故達數萬起;而造成死亡的事故而造成死亡的事故中中50%以上都與酒后駕車有關以上都與酒后駕車有關,酒后駕車的危害觸目驚心酒后駕車的危害觸目驚心,已經成為交通已經成為交通事故的第一大事故的第一大“殺手殺手”.酒后駕駛的影響酒后駕駛的影響視覺障礙、視覺障礙、 運動反射神經遲滯、運動反射神經遲滯、觸覺能力降低觸覺能力降低 、判斷能力降低、疲勞、判斷能力降低、疲勞2010年年8月月,十一屆全國人大常委會第十六次會議將首次審議刑法修正十一屆全國人大常

3、委會第十六次會議將首次審議刑法修正案（八）草案案（八）草案,醉酒駕駛或被判刑醉酒駕駛或被判刑.飲酒駕車是指駕駛人員血液中酒精含量大于或等于飲酒駕車是指駕駛人員血液中酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于小于80mg/100ml的駕駛行為的駕駛行為.醉酒駕車是指駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等醉酒駕車是指駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等80mg/100ml的駕駛行為的駕駛行為 _車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗 現有一起交通事故現有一起交通事故,在事故發生在事故發生3個小時后個小時后,測得司機血液中酒精含測得司機血液中酒精含量是量是56m

4、g/100ml, 又過又過兩個兩個小時后小時后, 測得其酒精含量降為測得其酒精含量降為40mg/100ml,試判斷試判斷: 事故發生時事故發生時,司機是否違反了酒精含量的規定司機是否違反了酒精含量的規定?設設x(t)為時刻為時刻t的血液中酒精的濃度的血液中酒精的濃度,已知已知(3)56, (5)40 xx(0)80?x牛頓定律牛頓定律 酒精揮發的速度與其濃度成正比酒精揮發的速度與其濃度成正比設設x(t)為時刻為時刻t的血液中酒精的濃度的血液中酒精的濃度,則有則有( ), ,xx tt tt tt ()( )( ),0 x ttx tkx tt k 則則0dd(3)56, (5)40, (0)x

5、kxtxxxx t0, 令0( )ektx tx17. 04056e40e56e25030kxxkkk代入得代入得 25.93e5656e17. 03017. 030 xx醉酒醉酒駕駛駕駛 在凌晨在凌晨1時警察發現一具尸體時警察發現一具尸體, 測得尸體溫度是測得尸體溫度是29 C, 當時環境溫度是當時環境溫度是21 C . 一小時后尸體溫度下降到一小時后尸體溫度下降到27 C , 若人的正常體溫是若人的正常體溫是37 C , 估計死者的死亡時估計死者的死亡時間間.牛頓冷卻定律牛頓冷卻定律 溫度降低的速度與溫差成正比溫度降低的速度與溫差成正比 有一有一30 30 12(m3)的車間的車間,空氣中

6、空氣中CO2的容積濃度為的容積濃度為0.12%為降低為降低CO2的含量的含量,用一臺風量為用一臺風量為1500(m3/min)的進風鼓風機通入濃度為的進風鼓風機通入濃度為0.04%的新鮮空氣的新鮮空氣,假定通入的新鮮空氣與車間內原有空氣能很快混合均勻假定通入的新鮮空氣與車間內原有空氣能很快混合均勻,用用另一臺風量為另一臺風量為1500(m3/min)的排風鼓風機排出的排風鼓風機排出,問兩臺鼓風機同時開動問兩臺鼓風機同時開動10min后后,車間中車間中CO2的容積濃度為多少？的容積濃度為多少？ 設設x(t)表示時刻表示時刻t車間內車間內CO2含量含量則有則有1500 0.04% 15001080

7、0dxxdt單位時間改變量單位時間改變量= =進風量進風量 進風進風濃度濃度 時間時間- -排風量排風量 排風排風濃度濃度 時間時間 35536(0)12.96dxxdtx)21 (32. 4)(365tetx%06. 010800)21 (32. 410800)10(3650ex模型模型解解 (dsolve(Dx-3/5+5*x/36=0,x(0)=12.96,t)1010分鐘后濃度分鐘后濃度例例3一個水池有一個進水管一個水池有一個進水管A和一個排水管和一個排水管B，水池中有，水池中有1000kg的鹽水。的鹽水。A水管每分鐘有濃度為水管每分鐘有濃度為20%的鹽水的鹽水60kg注入注入,鹽水流

8、入后即刻與水池鹽水流入后即刻與水池內的鹽水充分混合。內的鹽水充分混合。B水管每分鐘有水管每分鐘有60kg的鹽水從水池中流出的鹽水從水池中流出,試建立水池內鹽隨時間變試建立水池內鹽隨時間變化的模型并進行分析化的模型并進行分析設設S(t)表示時刻表示時刻t池內鹽的量池內鹽的量鹽的流入量鹽的流入量%2060鹽的流出量鹽的流出量( )601000S t則有則有31250dSSdt503600503600dtSdSSdtdStceSctS06. 013600503|3600|ln0.060.062200200(200(0)3ttcSeSe 分析分析0,200)0(, 0,200)0() 1 (dtdSS

9、dtdSS200)(lim)2(tSt結論結論S=200是系統的穩定的平衡點是系統的穩定的平衡點(Matlab)t=0:0.01:60;s1=200-100*exp(-0.06*t);s2=200-150*exp(-0.06*t);plot(t,s1,r,Linewidth,2),grid onhold onplot(t,s2,b,Linewidth,2),grid ons3=200+100*exp(-0.06*t);s4=200+150*exp(-0.06*t);plot(t,s3,k,Linewidth,2),grid onplot(t,s4,m,Linewidth,2),grid onl

10、egend(S(0)=100,S(0)=50,S(0)=300,S(0)=150)微分方程求解的微分方程求解的matlab實現實現dsolve(equation,condition,自變量自變量) 例例 求解微分方程求解微分方程22xxexydxdy并加以驗證并加以驗證例例 求解微分方程求解微分方程 2xxyye滿足初值條件滿足初值條件y(1)=2e的特解的特解例例 求解微分方程求解微分方程 2 0 xyye例例 求解微分方程求解微分方程,dxdyyxdtdt (disp(A.x,A.y)例例 求解微分方程求解微分方程)5(3 3 xeyyyyx例例 求解常系數微分方程組求解常系數微分方程組A

11、xdtdx其中其中211102113A 以前以前,美國原子能委員會把濃縮的放射性廢料裝入密封的圓桶里美國原子能委員會把濃縮的放射性廢料裝入密封的圓桶里,然后扔到水深為然后扔到水深為300英尺的海里。英尺的海里。 生態學家和科學家提出生態學家和科學家提出:圓桶是否會在運輸過程中破裂而造成放圓桶是否會在運輸過程中破裂而造成放射性污染？射性污染？美國原子能委員會美國原子能委員會:不會破裂不會破裂(用實驗證明用實驗證明).工程師提出工程師提出:圓桶扔到海洋中時是否會因與海底碰撞而破裂？圓桶扔到海洋中時是否會因與海底碰撞而破裂？ 美國原子能委員會美國原子能委員會:決不會。決不會。二、放射性核廢料處理問題

12、二、放射性核廢料處理問題若圓桶與海底碰撞時速度超過若圓桶與海底碰撞時速度超過4040英尺英尺/ /秒秒,就會因碰撞而破裂。就會因碰撞而破裂。這幾位工程師通過大量的這幾位工程師通過大量的實驗證明實驗證明: :527.43632.2,7.35,63.99,GgV，一些參數及假設一些參數及假設:08. 0, ccvf假設圓筒下沉時假設圓筒下沉時,所受海水的阻力與其速度成正比所受海水的阻力與其速度成正比,即即受力分析受力分析fFGF浮xyGf浮Fo,/99.63,35. 733英尺磅英尺海水V磅，436.527G470.327,F 浮磅08. 0, ccvf根據牛頓第二定理根據牛頓第二定理1 )(/m

13、ctecFGtv浮極限速度為：極限速度為：(0)0GFcvdvdtmv浮秒英尺浮/86.713cFGv?t轉換思路轉換思路:將速度將速度 v 看成位置看成位置 y 的函數的函數 v(y)dydvvdtdydydvdtdv代入得代入得(0)0GFcvdvvdymv浮012mycvFGcvcFG)ln(浮浮其解為其解為隱函數關系隱函數關系(300)(300)(300)( ),1( )cvvvvGFv 浮012mycvFGcvcFG)ln(浮浮2)1ln(2xxx由近似公式由近似公式030023002mFGv)()(浮2 ()(300)30045.740g GFvG浮結論結論圓桶與海底的碰撞速度超過

14、圓桶與海底的碰撞速度超過40英尺英尺/秒秒,會因碰撞而破裂。會因碰撞而破裂。 這一模型科學的論證了這一模型科學的論證了美國原子能委員會過去處理核廢料的方法美國原子能委員會過去處理核廢料的方法是錯誤的是錯誤的.現在美國原子能委員會條例明確禁止把低濃度的放射性廢物現在美國原子能委員會條例明確禁止把低濃度的放射性廢物拋到海里拋到海里,改為在廢棄的煤礦中修建放置核廢料的深井改為在廢棄的煤礦中修建放置核廢料的深井.我國政府在甘肅、廣西等地修建我國政府在甘肅、廣西等地修建核廢料核廢料深井深井,防止放射性污染防止放射性污染.三、最速降線三、最速降線 在地面上不同高度的兩個點在地面上不同高度的兩個點A和和B,

15、并且并且,不要讓其中一個點直接位于另不要讓其中一個點直接位于另一點的上方一點的上方.連接這兩個點連接這兩個點,當然可以作出無限多的不同曲線當然可以作出無限多的不同曲線,從直線、圓的從直線、圓的弧線到無數種其他曲線和波浪線弧線到無數種其他曲線和波浪線.現在設想有一個球沿著一條曲線從現在設想有一個球沿著一條曲線從A點滾點滾向較低的向較低的B點點.當然當然,球滾完全程所需要的時間取決于曲線的形狀球滾完全程所需要的時間取決于曲線的形狀.找出一條找出一條曲線曲線AMB,使球沿這條曲線滾完全程所用的時間最短使球沿這條曲線滾完全程所用的時間最短 -John.Bernoulli 1696年年6月于月于“不要草

16、率地作出判斷不要草率地作出判斷,雖然直線雖然直線AB的確是連接的確是連接A、B兩點的最短線路兩點的最短線路,但它卻不是所用時間最短的路線但它卻不是所用時間最短的路線.而曲線而曲線AMB則是幾何學家所熟知的一條則是幾何學家所熟知的一條曲線曲線,如果在年底之前還沒有其他人能夠發現這一曲線如果在年底之前還沒有其他人能夠發現這一曲線,我將公布這條曲線我將公布這條曲線的名稱的名稱.” -John.Bernoulli “很少有人能夠解出我們的問題很少有人能夠解出我們的問題,即使那些自稱通過特殊方法不僅深入探究即使那些自稱通過特殊方法不僅深入探究了幾何學的秘密、而且還以一種非凡的方式拓展了幾何學的疆域的人。

17、了幾何學的秘密、而且還以一種非凡的方式拓展了幾何學的疆域的人。 - John.Bernoulli 問題問題 鉛直平面內給定不在一條垂直線上的兩個點鉛直平面內給定不在一條垂直線上的兩個點A,B,求連接它們的光滑求連接它們的光滑曲線使質點在重力作用下沿曲線以最短時間從曲線使質點在重力作用下沿曲線以最短時間從A點運動至點運動至B 0dxdT一般地一般地,kvsintandxdygyv2又又聯立有聯立有由能量守恒定律由能量守恒定律得得2221) (1 gkCyy即即令令從而從而積分得積分得代入初值代入初值而而擺線擺線挑戰結果挑戰結果: John.Bernoulli共收到解法各異的共收到解法各異的5份答卷份答卷(1)John.Bernoulli 光學光學+微積分微積分,最漂亮最漂亮(2)Jacobi.Bernoulli 變分思想變分思想(3)Friedrich.Leibniz (4)L.Hospital (5)Isaac.