1、四邊形：一：如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.(1) 當(dāng)ABAC時(shí)，證明四邊形ADFE為平行四邊形；EFDABC (2) 當(dāng)AB = AC時(shí)，順次連結(jié)A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.二：如圖，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連結(jié)AF、BE和CF。（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“”表示，并加以證明。（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由。（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積。四：在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接

2、BE，且ABE30°，BEDE，連接BD點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQBD交直線BE于點(diǎn)Q(1) 當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1），求證：BEPDPQ； （2）若 BC6，設(shè)PQ長(zhǎng)為x，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為y，求y與 x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（3）在的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接QC，過(guò)點(diǎn)P作PFQC，垂足為F，PF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G（如圖2），求線段PG的長(zhǎng)。解：（1）證明：A=90° ABE=30° AEB=60° EB=ED EBD=EDB=30° PQBD EQP=E

3、BD EPQ=EDB EPQ=EQP=30° EQ=EP 過(guò)點(diǎn)E作EMOP垂足為M PQ=2PM EPM=30°PM=PE PE=PQ BE=DE=PD+PE BE=PD+ PQ （2）解：由題意知AE=BE DE=BE=2AE AD=BC=6 AE=2 DE=BE=4 當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1） 過(guò)點(diǎn)Q做QHAD于點(diǎn)H QH=PQ=x 由（1）得PD=BE-PQ=4-x y=PD·QH= 當(dāng)點(diǎn)P在線段ED的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2）過(guò)點(diǎn)Q作QHDA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H QH=x 過(guò)點(diǎn)E作EMPQ于點(diǎn)M 同理可得EP=EQ=PQ BE=PQ-PD PD=x-4 y=P

4、D·QH= （3）解：連接PC交BD于點(diǎn)N（如圖3）點(diǎn)P是線段ED中點(diǎn) EP=PD=2 PQ= DC=AB=AE·tan60°= PC=4 cosDPC= DPC=60° QPC=180°-EPQ-DPC=90° PQBD PND=QPC=90° PN=PD=1 QC= PGN=90°-FPC PCF=90°-FPC PCN=PCF1分 PNG=QPC=90° PNGQPC PG=五：如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,腰長(zhǎng)為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來(lái)拼成較大

5、的等腰梯形,那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫出它們的示意圖,并寫出它們的周長(zhǎng). 解：如圖所示六：已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn),且EF=ED,EFED.求證:AE平分BAD.證明：四邊形ABCD是矩形B=C=BAD=90° AB=CDBEF+BFE=90°EFEDBEF+CED=90°BEF=CEDBEF=CDE又EF=EDEBFCDEBE=CDBE=ABBAE=BEA=45°EAD=45°BAE=EADAE平分BAD七：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上,BG=10

6、.(1)當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí),如圖(1).求EFG的面積.(2)當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí),如圖(2).證明四邊形BGEF為菱形,并求出折痕GF的長(zhǎng).圖（1）圖（2）解:(1)過(guò)點(diǎn)G作GHAD,則四邊形ABGH為矩形,GH=AB=8,AH=BG=10,由圖形的折疊可知BFGEFG,EG=BG=10,FEG=B=90°；EH=6,AE=4,AEF+HEG=90°,AEF+AFE=90°,HEG=AFE,又EHG=A=90°,EAFEHG,EF=5,SEFG=EF·EG=×5×10=25.(2)由圖形的折疊可知四邊形A

7、BGF四邊形HEGF,BG=EG,AB=EH,BGF=EGF,EFBG，BGF=EFG,EGF =EFG,EF=EG,BG=EF,四邊形BGEF為平行四邊形,又EF=EG,平行四邊形BGEF為菱形；連結(jié)BE，BE、FG互相垂直平分，在RtEFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，AE=16，BE=8，BO=4，F(xiàn)G=2OG=2=4。八：（1）請(qǐng)用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個(gè)矩形中各作一個(gè)不為正方形的菱形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上（保留作圖痕跡）（2）寫出你的作法解：（1）所作菱形如圖、所示說(shuō)明：作法相同的圖形視為同一種例如類似圖、圖的圖形視為與圖是同

8、一種（2）圖的作法：作矩形A1B1C1D1四條邊的中點(diǎn)E1、F1、G1、H1；連接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1四邊形E1F1G1H1即為菱形圖的作法：在B2C2上取一點(diǎn)E2，使E2C2A2E2且E2不與B2重合；以A2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交A2D2于H2；以E2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交B2C2于F2；連接H2F2，則四邊形A2E2F2H2為菱形ABCPDE九：如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證： PE=PD ； PEPD；（2）設(shè)AP=x, PBE的面積為y. 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并

9、寫出x的取值范圍； 當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值. 解：（1）證法一： 四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線， BC=DC, BCP=DCP=45°. PC=PC， PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. ABCDPE12H （i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(E與B、C不重合)時(shí)， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180°， DPE=360°-(BCD+PDC+PEC)=90°， PEPD. ）（ii）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)

10、處，此時(shí)，PEPD.（iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖. PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90°， PEPD.綜合（i）（ii）（iii）, PEPD. ABCPDEF（2） 過(guò)點(diǎn)P作PFBC，垂足為F，則BF=FE. AP=x，AC=， PC=- x，PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. SPBE=BF·PF=(). 即 (0x). . 0， 當(dāng)時(shí)，y最大值. （1）證法二：ABCPDEFG123 過(guò)點(diǎn)P作GFAB，分別交AD、BC于G、F. 如圖所示. 四邊形ABCD是正方形， 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰

11、直角三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90°. 又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90°. DPE=90°. PEPD. （2） AP=x， BF=PG=，PF=1-. SPBE=BF·PF=(). 即 (0x). . 0， 當(dāng)時(shí)，y最大值.十：如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中正方形改為矩形（如圖46），且AB=a，BC=