1、二元一次不等式(組)與簡單的線性規劃問題1.二元一次不等式表示的平面區域(1)一般地，二元一次不等式AxByC>0在平面直角坐標系中表示直線AxByC0某一側所有點組成的平面區域.我們把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線.當我們在坐標系中畫不等式AxByC0所表示的平面區域時，此區域應包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.(2)由于對直線AxByC0同一側的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入AxByC，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0By0C的符號即可判斷AxByC>0表示的直線是AxByC0哪一側的平面區域.2.線性

2、規劃相關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數欲求最大值或最小值的函數線性目標函數關于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優解使目標函數取得最大值或最小值的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題3.應用利用線性規劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是(1)在平面直角坐標系內作出可行域.(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形.(3)確定最優解：在可行域內平行移動目標函數變形后的直線，從而確定最優解.(4)求最值：將最優解代入目標函數即可求出最大值或最

3、小值. (2)不等式x2y2<0表示的平面區域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區域.()1.不等式組表示的平面區域是下圖中的陰影部分.(×)2.下列各點中，不在xy10表示的平面區域內的是()A.(0,0)B.(1,1) C.(1,3)D.(2，3)3.若實數x，y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區域的面積是()A.3B.C.2D.24.(2013·湖南)若變量x，y滿足約束條件則x2y的最大值是()A.B.0C.D.答案C解析畫出可行域如圖.設zx2y，平行移動直線yxz，當直線yx過點M時，z取最大值，所以(x2y)max.5.

4、(2013·浙江)設zkxy，其中實數x，y滿足若z的最大值為12，則實數k_.答案2解析作出可行域如圖陰影部分所示：由圖可知當0k<時，直線ykxz經過點M(4,4)時z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；當k時，直線ykxz經過點(0,2)時z最大，此時z的最大值為2，不合題意；當k<0時，直線ykxz經過點M(4,4)時z最大，所以4k412，解得k2，符合題意.綜上可知，k2.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區域練習:如圖，在平面直角坐標系中，已知ABC三個頂點的坐 標分別為A(0,1)，B(2,2)，C(2,6)，試寫出ABC及其內部區域所對應的二元一次

5、不等式組.解由已知得直線AB、BC、CA的方程分別為直線AB：x2y20，直線BC：xy40，直線CA：5x2y20，原點(0,0)不在各直線上，將原點坐標代入到各直線方程左端，結合式子的符號可得不等式組為.題型二求線性目標函數的最值例2設x，y滿足約束條件：，求zxy的最大值與最小值.思維啟迪作可行域后，通過平移直線l0：xy0來尋找最優解，求出目標函數的最值.解先作可行域，如圖所示中ABC的區域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，)，作出直線l0：xy0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過點B時，可使zxy達到最小值；當l0的平行線l2過點A時，可使zxy達到最大值.故zmin

6、2，zmax7.思維升華(1)線性目標函數的最大(小)值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得.(2)求線性目標函數的最優解，要注意分析線性目標函數所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關系.(1)已知平面直角坐標系xOy上的區域D由不等式組給定.若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z·的最大值為()A.3B.4C.3D.4(2)(2013·課標全國)已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a等于()A.B.C.1D.2答案(1)B(2)B解析(1)由線性約束條件畫出可行域如圖陰影部分所示，目標函數z·xy，將其化為yx

7、z，結合圖形可知，目標函數的圖象過點(，2)時，、z最大，將點(，2)的坐標代入zxy得z的最大值為4.(2)作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).易知直線z2xy過交點A時，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故選B.題型四求非線性目標函數的最值例4(1)設實數x，y滿足則的最大值為_.(2)已知O是坐標原點，點A(1,0)，若點M(x，y)為平面區域上的一個動點，則|的最小值是_.思維啟迪與二元一次不等式(組)表示的平面區域有關的非線性目標函數的最值問題的求解一般要結合給定代數式的幾何意義來完成.答案(1)(2)解析(1)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，在點(1，)

8、處取到最大值.(2)依題意得，(x1，y)，|可視為點(x，y)與點(1,0)間的距離，在坐標平面內畫出題中的不等式組表示的平面區域，結合圖形可知，在該平面區域內的點中，由點(1,0)向直線xy2引垂線的垂足位于該平面區域內，且與點(1,0)的距離最小，因此|的最小值是.思維升華常見代數式的幾何意義有(1)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；(2)表示點(x，y)與點(a，b)之間的距離；(3)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；(4)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率.設不等式組所表示的平面區域是1，平面區域2是與1關于直線3x4y90對稱的區域，對于1中的任意一點A與2中

9、的任意一點B，|AB|的最小值等于()A.B.4C.D.2答案B解析由題意知，所求的|AB|的最小值，即為區域1中的點到直線3x4y90的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區域，如圖所示，可看出點(1,1)到直線3x4y90的距離最小，故|AB|的最小值為2×4，選B.方法與技巧1.平面區域的畫法：線定界、點定域(注意實虛線).2.求最值：求二元一次函數zaxby (ab0)的最值，將函數zaxby轉化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.最優解在頂點或邊界取得.3.解線性規劃應用題，可先找出各變量之間的關系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線

10、性約束條件；寫出要研究的函數，轉化成線性規劃問題.失誤與防范1.畫出平面區域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化.2.在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時，要注意：當b>0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當b<0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值.A組專項基礎訓練一、選擇題1.在直角坐標平面內，不等式組所表示的平面區域的面積為，則t的值為()A.或B.3或1C.1D.答案C解析不等式組所表示的平面區域如圖中陰影部分所示.由解得交點B(t，t1)，在yx1中，令x0得y1， 即直線yx1與y軸的交點為C(0,

11、1)，由平面區域的面積S，得t22t30，解得t1或t3(不合題意，舍去)，故選C.2.直線2xy100與不等式組表示的平面區域的公共點有()A.0個B.1個C.2個D.無數個答案B解析在坐標平面內畫出直線2xy100與不等式組表示的平面區域，易知直線與此區域的公共點有1個.3.(2013·天津)設變量x，y滿足約束條件則目標函數zy2x的最小值為()A.7B.4C.1D.2答案A解析可行域如圖陰影部分(含邊界)令z0，得直線l0：y2x0，平移直線l0知，當直線l過A點時，z取得最小值.由得A(5,3).zmin32×57，選A.4.O為坐標原點，點M的坐標為(1,1)，

12、若點N(x，y)的坐標滿足則·的最大值為()A.B.2C.D.2答案B解析如圖，點N在圖中陰影區域內，當O、M、N共線時，·最大，此時N(，)，·(1,1)·(，)2，故選B.5.(2013·山東)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組 所表示的區域上 一動點，則直線OM斜率的最小值為()A.2B.1C.D.解析畫出圖形，數形結合得出答案.如圖所示，所表示的平面區域為圖中的陰影部分.由得A(3，1).當M點與A重合時，OM的斜率最小，kOM.二、填空題6.已知z2xy，式中變量x，y滿足約束條件則z的最大值為_.答案5解析在坐標平面內畫出題中的

13、不等式表示的平面區域及直線2xy0，平移該直線，當平移到經過該平面區域內的點(2，1)時，相應直線在x軸上的截距最大，此時z2xy取得最大值，最大值是z2×2(1)5.7.設z2xy， x，y滿足，若z的最大值為6，則k的值為_，z的最小值為_.答案22解析在坐標平面內畫出題中的不等式組表示的平面區域及直線2xy6，結合圖形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直線yk必過直線2xy6與xy0的交點，即必過點(2,2)，于是有k2；平移直線2xy6，當平移到經過該平面區域內的點(2,2)時，相應直線在y軸上的截距達到最小，此時z2xy取得最小值，最小值是z2×(2)22.三、

14、解答題10.已知x，y滿足條件，求4x3y的最大值和最小值.解不等式組表示的區域如圖所示.可觀察出4x3y在A點取到最大值，在B點取到最小值.解方程組，得，則A(1，6).解方程組，得.則B(3,2)，因此4x3y的最大值和最小值分別為14，18.B組專項能力提升1.(2012·課標全國)已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點(x，y)在ABC內部，則zxy的取值范圍是()A.(1，2)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,1)答案A解析如圖，根據題意得C(1，2).作直線xy0，并向左上或右下平移，過點B(1,3)和C(1，2)時，zxy取范圍的邊界值，即(1)2<z<13，zxy的取值范圍是(1，2).3.已知變量x，y滿足條件若目標函數zaxy(其中a>0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值