1、數學分析參考答案及評分標準一. 計算題（共8題，每題9分，共72分）。1. 求函數在點(0,0)處的二次極限與二重極限.解： ，因此二重極限為.(4分)因為與均不存在，故二次極限均不存在。 (9分)2. 設 是由方程組所確定的隱函數,其中和分別具有連續的導數和偏導數,求.解： 對兩方程分別關于求偏導: ， (4分)。解此方程組并整理得. (9分)3. 取為新自變量及為新函數，變換方程。設 （假設出現的導數皆連續）.解：看成是的復合函數如下：。 (4分)代人原方程，并將變換為。整理得： 。 (9分)4. 要做一個容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省?解： 設圓桶底面半徑為,高為,則原問題

2、即為：求目標函數在約束條件下的最小值，其中目標函數: ,約束條件: 。 (3分) 構造Lagrange函數：。令 (6分) 解得，故有 由題意知問題的最小值必存在，當底面半徑為高為時，制作圓桶用料最省。 (9分)5. 設,計算.解：由含參積分的求導公式 (5分) 。 (9分)6. 求曲線所圍的面積，其中常數.解：利用坐標變換 由于，則圖象在第一三象限，從而可以利用對稱性，只需求第一象限內的面積。 (3分)則 (6分) . (9分)7. 計算曲線積分,其中是圓柱面與平面的交線（為一橢圓），從軸的正向看去，是逆時針方向. 解： 取平面上由曲線所圍的部分作為Stokes公式中的曲面，定向為上側，則的

3、法向量為 。 (3分) 由Stokes公式得 (6分) (9分)8. 計算積分,為橢球的上半部分的下側.解：橢球的參數方程為，其中且 。 (3分)積分方向向下，取負號，因此， (6分) (9分) 二. 證明題（共3題，共28分）。9.（9分） 討論函數在原點(0,0)處的連續性、可偏導性和可微性.解：連續性：當時，當，從而函數在原點處連續。 (3分)可偏導性：， ，即函數在原點處可偏導。 (5分)可微性： 不存在，從而函數在原點處不可微。 (9分)10.（9分） （9分） 設滿足：（1）在上連續，（2），（3）當固定時，函數是的嚴格單減函數。試證：存在，使得在上通過定義了一個函數，且在上連續。

4、證明：（i）先證隱函數的存在性。由條件（3）知，在上是的嚴格單減函數，而由條件（2）知，從而由函數的連續性得 ， 。現考慮一元連續函數。由于，則必存在使得， 。同理，則必存在使得， 。取，則在鄰域內同時成立 ， 。 (3分)于是，對鄰域內的任意一點，都成立 ， 。 固定此，考慮一元連續函數。由上式和函數關于的連續性可知，存在的零點使得0。 而關于嚴格單減，從而使0的是唯一的。再由的任意性，證明了對內任意一點，總能從找到唯一確定的與相對應，即存在函數關系或。此證明了隱函數的存在性。(6分)（ii）下證隱函數的連續性。設是內的任意一點，記。對任意給定的，作兩平行線， 。由上述證明知 ， 。由的連續性，必存在的鄰域使得 ， ， 。對任意的，固定此并考慮的函數，它關于嚴格單減且， 。于是在內存在唯一的一個零點使，即 對任意的，它對應的函數值滿足。這證明了函數是連續的。 (9分)11.（10分）判斷積分在上是否一致收斂，并給出證明。證明：此積分在上非一致收斂。證明如下：作變量替換，則。 (3分)不論正整數多么大，當時，恒有。 (5分)因此， (7分) ，當時。因此原積分在上非一致收斂。 (10分)注：不能用Dirichlet判