1、第12章二次根式考點+易錯整理知識梳理重難點分類解析考點1 二次根式的概念和性質【考點解讀】一般地，式子叫做二次根式，叫做被開方數，被開方數為非負數.這是中考重要考點之一.二次根式的性質是二次根式化簡計算的依據，其性質有兩個:一是當時，;二是.在中考中多以計算的形式出現在選擇題或填空題中.例1 (2018蘇州)若在實數范圍內有意義，則的取值范圍在數軸上表示正確的是( )分析:由題意，得，解得.在數軸上表示是在點-2處取向右的方向，-2處用實心點圓.答案:D【規律技法】要使一個代數式有意義，在確定字母的取值范圍時，若含有分式，則分母不為0;若含有二次根式，則被開方數為非負數.【反饋練習】1.若有

2、意義，則實數的取值范圍是( ) A. B. C. D. 點撥:二次根式的被開方數大于或等于0，且分母不為零.2.已知實數在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡的結果是( )A. B. C. 3 D.-3點撥:由數軸可知與的符號，從而進行化簡.考點2 二次根式的乘除【考點解讀】二次根式的乘除主要運算公式有，這兩個公式是將二次根式進行化簡計算的依據，二次根式化簡后要求化為最簡二次根式，即被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，被開方數中不含分母，分母中不含根式.中考中本知識點常以選擇題形式出現.例2 下列式子為最簡二次根式的是( )A. B. C. D. 分析:A.被開方數不含分母，被開方數不含能開得

3、盡方的因數或因式，故A符合題意;B.被開方數含能開得盡方的因數，故B不符合題意;C.被開方數含能開得盡方的因數，故C不符合題意;D。被開方數含分母，故D不符合題意.答案:A【規律技法】最簡二次根式必須滿足三個條件:被開方數中不含能開得盡方的因數或因式;被開方數中不含分母;分母中不含有根號.【反饋練習】3. (2018鎮江) = .點撥:利用二次根式的乘法法則可得.4.下列各式中，錯誤的是( )A. B. C. D. 點撥:利用二次根式的性質和乘除法則求解.考點3 二次根式的加減【考點解讀】二次根式的加減運算的本質即為二次根式的化簡，然后合并同類二次根式.進行二次根式混合運算時，整式運算的法則、

4、公式和運算律仍然適用.中考主要以簡單的計算題為主，屬于簡單題型.例3 計算: = .分析:原式=.答案: 【規律技法】二次根式的混合運算，先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的加減運算，最后合并同類二次根式.【反饋練習】5.計算:(1) ; (2) .點撥:利用二次根式的性質和混合運算法則求解.6.計算:(1) ; (2) .點撥:利用二次根式的運算法則求解.考點4 二次根式的化簡求值【考點解讀】二次根式的化簡求值，主要利用二次根式的性質及運算法則.中考要求較低，一般以選擇題或填空題的形式出現.例4 已知，則的值為( )A.2 B. 4 C. 5 D. 7分析: 答案:B【規律技法】

5、二次根式的化簡求值，熟知二次根式混合運算的法則是解答此題的關鍵.【反饋練習】7.如果為有理數)，那么等于( ) A. B. 8 C. D. 10點撥:由二次根式的乘法運算求解.8.已知，求代數式的值.點撥:先分別對分母有理化，再代入求解.考點5 二次根式的應用【考點解讀】二次根式的應用比較廣泛，有關數學類計算均可涉及，應用過程主要體現二次根式的化簡與計算過程，難度比較低，屬于簡單的計算題.例5 已知的兩邊長和分別為2和，且第三邊上的高等于，則的面積是( )A. B. 2 C. 或2 D.不能確定分析:由題意，得.所以.如圖，;如圖, 的面積是2或.答案:C【規律技法】二次根式的應用是初中階段數

6、學重要的計算題型之一，常滲透于勻股定理計算、面積計算和化簡求值題中，計算的主要依據是二次根式的性質.【反饋練習】9. (2018無錫模擬)現將某一長方形紙片的長增加cm，寬增加cm，就成為一個面積為128 cm2的正方形紙片，則原來長方形紙片的面積是( ) A. 18 cm2 B. 20 cm2 C. 36 cm2 D. 48 cm2點撥:由正方形紙片的面積求得正方形紙片的邊長，再通過二次根式的加減運算，求出長方形紙片的長和寬，進而求出長方形紙片的面積.10. (2018威海)如圖，將矩形 (紙片)折疊，使點與邊上的點重合，為折痕;點與邊上的點重合，為折痕，已知，求的長.點撥:由折疊的性質，得

7、折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.易錯題辨析易錯點1 的化簡忽視的范圍例1 化簡: .錯誤解答: .錯因分析:此題錯解的原因是忽略了的前提條件是，即沒有考慮的取值對的符號的影響.正確解答: =.易錯辨析:在對進行化簡時，由于的取值為任意實數，先得到，再根據的取值情況進行討論，而不能誤認為.易錯點2 運算順序不正確例2 計算:(1) ；(2) ;(3).錯誤解答:(1) .(2) .(3) .錯因分析:本題錯在沒有正確掌握二次根式混合運算的順序.正確解答:(1). (2) . (3) .易錯辨析:二次根式混合運算的順序與有理數混合運算的順序相同，都是先乘方，再乘除，最后

8、加減，有括號則先算括號內的.【反饋練習】1.化簡:(1) ； (2).點撥:不能忽視算術平方根的非負性2.計算: (1) ; (2) .點撥:利用運算法則進行計算時，應看清運算順序.探究與應用探究1 整體代換求值例1 已知，求的值.點撥:由求值式變形: ，需先將分母有理化，再求出的值，然后整體代入就可以計算了.解答:因為，所以.所以.【規律提示】先分母有理化，再代入計算即可.【舉一反三】1.已知，求代數式的值.探究2 值的估算例2 已知實數的整數部分為，小數部分為，求的值.點撥:對于實數，可寫為，其中表示的整數部分，表示的小數部分，且，如.由此知識先確定的整數部分和小數部分，再代入求值.解答:

9、由題意，得.因為，所以，所以整部分，即，所以小數部分.所以.【規律提示】先分別表示出的值，再代入求值.例3 不用計算器，試比較和的大小.點撥: 與互為倒數，與為倒數，通過變形，使之成為同分子的分數相比較.解答:方法一:因為，所以.因為，所以.因為，所以，所以. 方法二:(作差比較)因為，且，所以，所以.【規律提示】“數感”是課程標準的一個重要教學目標，實數作為二次根式運算的一部分內容，在培養運算能力中成為一個重要的載體.【舉一反三】2. (1)化簡:； (2)設為的小數部分，為的小數部分，求的值.3.公元三世紀，我國古代數學家劉徽就能利用近似公式得到的近似值.他的算法是:先看成，由近似公式得到；再看成了，由近似公式得到，依此算法，所得的近似值會越來越精確.當取得近似值時，試確定近似公式中的與的值參考答案知