1、實驗六多元函數的極值【實驗目的】1 多元函數偏導數的求法。2 多元函數自由極值的求法3 多元函數條件極值的求法.4 學習掌握MATLAB軟件有關的命令。【實驗內容】求函數的極值點和極值【實驗準備】1計算多元函數的自由極值對于多元函數的自由極值問題,根據多元函數極值的必要和充分條件,可分為以下幾個步驟:步驟1.定義多元函數步驟2.求解正規方程,得到駐點步驟3.對于每一個駐點,求出二階偏導數步驟4. 對于每一個駐點,計算判別式,如果,則該駐點是極值點,當為極小值, 為極大值;,如果,判別法失效,需進一步判斷; 如果,則該駐點不是極值點.2計算二元函數在區域D內的最大值和最小值設函數在有界區域上連續

2、，則在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步驟為：步驟1. 計算在內所有駐點處的函數值；步驟2. 計算在的各個邊界線上的最大值和最小值；步驟3. 將上述各函數值進行比較，最終確定出在內的最大值和最小值。3函數求偏導數的MATLAB命令MATLAB中主要用diff求函數的偏導數,用jacobian求Jacobian矩陣。diff(f,x,n) 求函數f關于自變量x的n階導數。jacobian(f,x)求向量函數f關于自變量x(x也為向量)的jacobian矩陣。可以用help diff, help jacobian查閱有關這些命令的詳細信息【實驗方法與步驟】 練習1 求函數的極值

3、點和極值.首先用diff命令求z關于x,y的偏導數>>clear; syms x y;>>z=x4-8*x*y+2*y2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)結果為ans =4*x3-8*y ans =-8*x+4*y即再求解正規方程，求得各駐點的坐標。一般方程組的符號解用solve命令，當方程組不存在符號解時，solve將給出數值解。求解正規方程的MATLAB代碼為：>>clear; >>x,y=solve('4*x3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x

4、9;,'y')結果有三個駐點，分別是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判別式中的二階偏導數：>>clear; syms x y;>>z=x4-8*x*y+2*y2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)結果為A=2*x2B =-8 C =4由判別法可知和都是函數的極小值點，而點Q(0,0)不是極值點，實際上，和是函數的最小值點。當然，我們可以通過畫函數圖形來觀測極值點與鞍點。>>clear; >>x=-5:0

5、.2:5; y=-5:0.2:5;>>X,Y=meshgrid(x,y);>>Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')結果如圖6.1圖6.1 函數曲面圖可在圖6.1種不容易觀測極值點與鞍點,這是因為z的取值范圍為-500,100,是一幅遠景圖,局部信息丟失較多,觀測不到圖像細節.可以通過畫等值線來觀測極值.>>contour(X,Y,Z, 600)>>xlabel('

6、x'),ylabel('y')結果如圖6.2圖6.2 等值線圖由圖6.2可見,隨著圖形灰度的逐漸變淺,函數值逐漸減小,圖形中有兩個明顯的極小值點和.根據提梯度與等高線之間的關系,梯度的方向是等高線的法方向,且指向函數增加的方向.由此可知,極值點應該有等高線環繞,而點周圍沒有等高線環繞,不是極值點,是鞍點.練習 求函數在條件下的極值.構造Lagrange函數求Lagrange函數的自由極值.先求關于的一階偏導數>>clear; syms x y k>>l=x*y+k*(x+y-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y

7、)>>diff(l,k)得再解正規方程>>clear; syms x y k>>x,y,k=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得進過判斷,此點為函數的極大值點,此時函數達到最大值.練習3 拋物面被平面截成一個橢圓,求這個橢圓到原點的最長與最短距離.這個問題實際上就是求函數在條件及下的最大值和最小值問題.構造Lagrange函數求Lagrange函數的自由極值.先求關于的一階偏導數>>clear; s

8、yms x y z u v>>l=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,z)>>diff(l,u)>>diff(l,v)得再解正規方程>>clear;>>x,y,z,u,v=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','x2+y2-z=0','x+y+z-1=0','x

9、','y','z','u','v')得上面就是Lagrange函數的穩定點，求所求的條件極值點必在其中取到。由于所求問題存在最大值與最小值（因為函數在有界閉集，上連續，從而存在最大值與最小值），故由求得的兩個函數值，可得橢圓到原點的最長距離為，最短距離為。練習4 求函數在上半圓上的最大值和最小值。首先畫出等高線進行觀測，相應的MATLAB程序代碼為：>>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4;>>X,Y=meshgrid(x,y);>>Z=X.2+Y.

10、2-4*X-2*Y+7;>>contour(X,Y,Z,100)>>xlabel('x'),ylabel('y')結果如圖6.3圖6.3 等值線觀測圖6.3可看出，在區域內部有唯一的駐點，大約位于在該點處漢書趣的最小值。在圓弧與直線的交點處取得最大值，大約位于。下面通過計算加以驗證。求函數在區域內的駐點，計算相應的函數值。求z關于x,y的偏導數>>clear; syms x y;>>z=x2+y2-4*x-2*y+7;>>diff(z,x)>>diff(z,y)結果得解正規方程>>

11、;clear; x,y=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y')得駐點為(2,1),相應的函數值為2。求函數在直線邊界上的最大值和最小值。將代入原函數，則二元函數變為一元函數首先觀測此函數圖形，相應的MATLAB程序代碼為：>>x=-4:0.01:4; y=x.2-4*x+7;>>plot(x,y);>>xlabel('x'),ylabel('z')結果如圖6.4所示圖6.4 函數圖由圖6.4可看出，當時函數取得最大值，時函數取得最小值

12、。下面用計算驗證。對函數求導>>clear; syms x ;>>z=x2-4*x+7; diff(z,x)得，可知駐點為，而邊界點為，計算著三個點上的函數值可得當時函數取得最大值39，時函數取得最小值3。求函數在圓弧邊界線上的最大值和最小值。此邊界線可用參數方程表示。則二元函數變為一元函數首先觀測此函數圖形，相應的MATLAB程序代碼為：>>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;>>plot(t,z);>>xlabel('t'),ylabel('z')結果如圖6.5所示圖6.5 函數圖由圖6.5可看出，當時函數取得最小值，時函數取得最大值。下面用計算驗證。對函數求導>>clear; syms t ;>>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t)得,解正規方程>>clear; >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t')>>numeric(t) %求出t的數值得，邊