1、2.1 一元二次方程【重點難點】1經(jīng)歷抽象一元二次 方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，理解一元二次方程及相互概念。2經(jīng)歷方程的解的探索過程，增進對方程解的認識，發(fā)展估算能力及意識，能列出方程來刻畫實際問題。【預習導引】從前有一天，一個醉漢拿著一根竹竿進屋橫拿豎拿都拿不進去，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺，這時一道的另一個醉漢教他沿著門的兩個對角線斜著拿竿，這個醉漢一試不多不少剛好把竹竿拿進去了，你知道竹竿有多長嗎？請你根據(jù)這一問題列出方程，并把自己所列的方程與以前學習過的一元一次方程，二元一次方程比較有什么不同之處，并與其它的同伴交流自己的看法。點拔:本例中，設竹竿長

2、為x尺，則門框寬為(x4)尺，門框高為(x2)尺，門框的對角線長為x尺，根據(jù)“寬2+高2=對角線2”可列方程，（x4）2+(x2)2=x2,即x212x+20=0,這個方程與以前學習過的方程相比較有（1）只含一個未知數(shù)，（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2，這兩個特點，從本例中逐步體會一元二次方程的概念，本例實則是一個笑話，實際上不必這么麻煩，只須將竹竿垂直于門所在的平面就很方便地進去了，但我們還應在談笑之后，明白其中的數(shù)學知識?！局R分析】1一元二次方程的引入在前面，我們已經(jīng)學習過通過列一元一次方程，二元一次方程組來解決實際問題，但有些問題，如課本中的“花邊有多寬”，“五個連續(xù)整數(shù)，前三個數(shù)平方和等于

3、后面兩個數(shù)的平方和”，“梯子的底端滑動了多少米”等所列出的方程：（82x）(52x)=18,x2+(x+1)+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,(x+6)2+72=102,它們是一元一次方程嗎？是二元一次方程嗎？它們又有什么特點呢？把上述三個方程化簡：2x213x+11=0,x27x+10=0,x2+12x15=0,這三個方程都能化成ax2+bx+c=0的形式，并且只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，這就是我們要學習的一元二次方程。2一元二次方程的概念方程中只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是二次，這樣的整式方程叫一元二次方程。下列方程是一元二次方程嗎？為什么？2x23x+1=0

4、x2+y+2=3x (2x+1)2(4x+1)(x+1)=2任何一個關于x的一元二次方程都可化為ax2+bx+c=0的形式（a，b，c為常數(shù)，且a0）。因此我們把這種形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2,bx，c分別叫二次項，一次項，常數(shù)項。a,b分別為二次項系數(shù)和一次系數(shù)。如4x23x2=0中，4x2是二次項，3x是一次項，2為常數(shù)項，而4,3分別是二次項、一次項的系數(shù)。一元二次方程的項以及系數(shù)是針對方程的一般形式而言的，因此，我們在確定一元二次方程的項或系數(shù)時必須先把方程化為一般形式，然后再確定，另外，這類問題的答案并不唯一，如方程2x24x6=0,x22x3=0都是同一個方程的一般形

5、式，因而依據(jù)不同形式確定的項及系數(shù)也是不同的。3一元二次方程的解能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解，這與一元一次方程，二元一次方程的解的意義一樣。檢驗一個未知數(shù)的值是否是一元二次方程的解的方法：將未知數(shù)的值代入方程的左，右兩邊，分別計算結果，再比較左右兩邊是否相等，如果左右兩邊相等，則未知數(shù)的值是原方程的解，否則就不是原方程的解。判斷方程后面的數(shù)是否是方程的解：（1）2x23x+1=0 (,1) (2)x2=0 ()(3)(2x1)2=3 ()(1)x=,x=1是此方程的解。（2）x=是此方程的解，x=1不是此方程的解。（3）x=,x=均是此方程的解。)4求實際問題中一元二次方程的近

6、似解。對于實際問題列出的一元二次方程，我們可先根據(jù)實際問題確定其解的大致范圍，再通過具體計算進行兩邊“夾逼”，逐步獲得其近似解?！纠}講解】例1判斷下列式子是不是關于x的一元二次方程:下列關于x的方程:（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);(4)(m2+3)x2+2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序號）.解析 所謂關于“x”的一元二次方程，就是方程中只含有x為未知數(shù)，而其它的字母均理解為已知數(shù)。（1）不一定是一次方程，因為當a=0時，它不是一元二次方程；（2）中不含未知數(shù)x;(3)中x的最高指數(shù)為3，故（3）也不是一元二次方程；（4）中含一個未知數(shù)x，且其最

7、高次數(shù)為2，其系數(shù)(m2+2)>0,故它是關于x的一元二次方程；（5）是分式方程，故它也不是一元二次方程。解：應填（4）思路探究 判斷一個方程是否一元二次方程，看方程是否滿足以下三個條件：（1）是整式方程；（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)為2。三個條件缺一不可才是一元二次方程。例2求出下列方程二次項，一次項及常數(shù)項：（1）6x2=5x+2,(2)(3x1)(x+2)=. 解析 （1）通過移項方程化成一般形式：6x25x2=0,從而確定其二次項，一次項，常數(shù)項分別為 6x2,5x,2。（2）先把方程變形整理為一般形式：3x2+5x=0.故二次項，一次項，常數(shù)項分別為3x2,5

8、x, .解：（1）把方程化成一般形式為：6x25x2=0 這個方程的二次項，一次項，常數(shù)項分別為6x2,5x,2。（2）把方程化成一般形式為：3x2+5x=0 這個方程的二次項，一次項，常數(shù)項分別為3x2,5x, 思路探究 一元二次方程的二次項，一次項，常數(shù)項這三個概念都是相對一般形式而言的，求解時必須先把一元二次方程化為一般形式；此外還應注意，確定一元二次方程的項還應包括前面的符號。例3如圖 所示，要建一個面積為130平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長16米）并在與墻平行的一邊開一道1米寬的門，現(xiàn)有能圍成32米長的木板，求倉庫的長和寬，對于這個問題，你能列出方程嗎？試著求其解來，并與同伴交流

9、一下自己的心得。解析 本例中要求倉庫的長與寬兩個未知量，但這兩個量之間有著相應的代數(shù)關系，設寬為x米，則長就為（322x）米，根據(jù)長方形面積為130平方米，可列出方程。解:設倉庫的寬為x米,則長應為(322x)米,根據(jù)題意可列方程:x(332x)=130 方程整理得:2x233x+130=0 (2x13)(x10)=0 ,x2=10 . 當時，332x=20>16（墻長16米）， 不合題意應舍去，當x=10時，332x=13 倉庫的寬為10米，長為13米。點拔 題中“墻長16米”這一實際條件易被忽視，從而導致長寬分別為13米，10米和20米，米的錯誤，因而在作答前必須檢驗是否符合實際問題

10、的條件，不符合實際的應舍去。對實際問題，求出的方程的解要檢驗其是否符合題意，從而作出取舍?！局锌兼溄印坷?關于x的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0有一根為0,則a的值應為 .A1 B.1 C.1或1 D. 解析 根據(jù)方程根的定義,將x=0代入原方程中,則原方程變?yōu)殛P于a的一元二次方程,求得a的值,再根據(jù)一元二次方程中,其二次項系數(shù)不能為0,從而確定a的值.解:（a1）x2+x+a21=0有一根為0 把x=0代入方程中得:a21=0 a=±1 又此方程為一元二次方程 a10 a1 a=1 故選B 思路探究 本題易忽視二次項的系數(shù)a10這一隱含條件,容易錯選C,因此在本章解有關一

11、元二次方程的題目中,若二次項系數(shù)中有字母已知數(shù)時,一定要注意到二次項系數(shù)不能為0.【達標訓練】一、選擇：1.下列方程不是整式方程的是( )A.20.4x3=0 C. D.2.在下列方程中,一元二次方程的個數(shù)是( )3x2+7=0,ax2+bx+c=0,(x+2)(x3)=x21,x2+4=0,x2(+1)x+=0,3x2+6=0A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.關于x的一元二次方程3x2=5x2的二次項系數(shù),一次項和常數(shù)項,下列說法完全正確的是( )A.3,5,2 B.3,5x,2 C.3,5x,2 D.3,5,24.一元二次方程5x2+x3=0,把二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),且使方程的根不變

12、的是( )A.5x2x+3=0 B.5x2x3=0 C.5x2+x3=0 D.5x2+x+3=05.已知關于x的一元二次方程(m1)x2+x+m2+2m3=0的一個根為0,則m的值為( )A.1 B.3 C.1和3 D.不等于1的任何數(shù)6.已知2y2+y2的值為3，則4y2+2y+1值為（ ）A10 B.11 C.10或11 D.3或17.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項之和為0,則方程必有一根是( )A.0 B.1 C.1 D.±18.若b(b0)是方程x2+cx+b=0的根,則b+c的值為( )A.1 B.1 C.2 D.29.如圖所示,在正方

13、形的鐵片上,截去2cm寬的一個長方形,余下的面積是48cm2,則原來的正方形鐵片的面積是( )A.81cm2 B.64cm2 C.16cm2 D.8cm210.方程(m+2)+3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則( )A.m=±2 B.m=2 C.m=2 D.m±2二、填空：11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次項, 是一次項, 是常數(shù)項.12.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是 .13.方程4x2=3x+1的二次項是 ,一次項是 ,常數(shù)項是 .14.已知關于x的方程是一元二次方程,則m= .15.已知關于x的方程x2(2m1)x(2m

14、1)=0有一根為0,則m= .16.關于x的一元二次方程(a1)x2+a21=0有一根為0,則a= .17.已知關于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1,一根為1,則a+b+c= ,ab+c= .18.小王在超市用24元買了某種品牌的牛奶若干盆,過一段時間再去超市,發(fā)現(xiàn)這種牛奶進行讓利銷售,每盒讓利0.4元,他用24元錢比上次多買2盒,若設這種牛奶原價為每盒x元,則可列方程為 ,若設后來買了y盒,則依題意可列方程為 .19.某農(nóng)場的糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從3000噸增加到3630噸,若設平均每年的增長率為x,則所列方程為 .20.已知方程(x+a)(x3)=0和方程x22x3=0的解完全相同,則a

15、= .21.已知x2+7xy60y2=0,則= .22.若分式的值為0,則x= .三、解答題：23.關于x的方程(ab)x2+ax+b=0在什么條件下是一元一次方程?在什么條件下是一元二次方程?24.關于x的方程(2m2+m3)xm+1+5x=13能是一元二次方程嗎?為什么?25.當m為何值時,關于x的方程 (m29)x2+(m3)x+2m=0:(1)是一元一次方程? (2)是一元二次方程?26.已知關于x的方程(n2)+3nx+3=0是一元二次方程,試求n的值并寫出這個一元二次方程.27.已知a、b、c均為有理數(shù),試判定關于x的方程ax2x+b=c是不是一元二次方程,如果是,請寫出二次項系數(shù)

16、,一次項系數(shù)及常數(shù)項.28.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根為1,且a、b滿足等式b=3,求方程c=0的根.29.一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示,要在這塊地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條水渠,如果水渠的寬度相等,而且要保證余下的耕地面積為9600米2,那么水渠應挖多寬?30.已知x23x+2=0,試求的值.2.2 配方法【重點難點】1.會用開平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法,會用配方法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.2.能夠建立一元二次方程刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系,增強應用數(shù)學知識的意識和能力.3.體會轉化的數(shù)學思想.4.能根據(jù)具體實際問題檢驗結果的合理性.【

17、預習導引】在學習了一元二次方程后,數(shù)學課王老師出示了一道解方程的題目:解方程:(4x3)2=(12x)2小明是這樣解答的:(4x3)2=(12x)2 ,4x3=12x,6x=4,x=你覺得小明的解方程的過程正確嗎?如果不正確,你覺得應如何修正?不妨大膽談談自己的想法與同伴交流.點拔 由(4x3)2=(12x)2可知:4x3與12x相等若互為相反數(shù),所以4x3=12x或(4x3)+(12x)=0解這兩個一元一次方程可得:x=或x=1,小明的解法遺漏4x3與12x還能互為相反數(shù)的情況,從本例中我們體會到解一元二次方程可以把一元二次方程轉化為一元一次方程來解.【知能互動】1.直接開平方法解一元二次方

18、程對于形如x2=m或(ax+n)2=m(a0,m0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方,而另一邊是一個非負數(shù),可用直接開平方法求解.x2=m的解為x=,即(ax+n)2=m轉化為ax+n=,即ax+n=,或ax+n=,這兩個一元一次方程來解.因為負數(shù)沒有平方根,所以當m<0時,x2=m或(ax+n)2=m無解你能解下列方程嗎?并結合自己解方程的過程與結果探索方程的解的情況. (3x1)2=0 答案：; ; 無實根2.運用配方法解一元二次方程通過配方的方法把一元二次方程轉化成形如(ax+b)2=m的形式,再運用直接開平方的方法求解.用配方法解一元二次方程的步

19、驟如下:(1)把方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊,常數(shù)項移到方程的右邊.(2)根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1.(3)把方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,使左邊配成一個完全平方式.這時,方程右邊如果是一個非負數(shù),就可直接用開平方的方法求出它的解,如果方程右邊是負數(shù),則這個方程無解.用配方法解一元二次方程比較麻煩,在解一元二次方程時一般不用配方法,這是為公式法作準備的一種方法.但在今后的學習中,配方法經(jīng)常用到,因而必須正確掌握配方法的方法.3.建立一元二次方程模型解決實際問題回顧以前學習過的列一元一次方程解應用題的方法與步驟.你能說說如何列一元二次方程解應用題嗎?與同伴交流自己的想法.列一

20、元二次方程解應用題步驟:(1)審題:弄清題意,找出已知量和未知量,并分清數(shù)量關系,明確所求的量.(2)設出未知數(shù),根據(jù)題意,設出合適的未知數(shù),根據(jù)所設未知數(shù),列出有關的代數(shù)式.(3)分析等量關系:即找到能反映全部意義的相等關系.(4)列方程:根據(jù)等量關系列出方程。(5)解方程(6)檢驗:檢驗所求得的解是否符合題意,正確取舍。(7)寫出答案在解一元一次方程時,只要題目,方程及解法正確,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是所解應用題的解,而一元二次方程有兩個根,這些根雖然滿足所列一元二次方程,但未必符合題意,因此在解完一元二次方程之后,要按題意檢驗這些根是否符合實際問題,作出正確取舍.【名題探

21、究】例1.解下列方程:(1)4(2x1)29=0 (2)9(3x2)2=(12x)2 解析 (1)方程可化為,直接開平方法即可求解.(2)中方程可化為3(3x2)2=(12x)2因而方程化轉化為3(3x2)=12x或3(3x2)+(12x)=0兩個一元一次方程求解.解:（1)原方程化為 , 開平方得:2x1=±, 即2x1=或2x1=, 所以:.(2)原方程化為: 3(3x2)2=(12x)2 所以3(3x2)=12x或3(3x2)+(12x)=0.思路探究 形如(ax+b)2=c形的一元二次方程用直接開平方法解較簡單.注意兩邊開平方時不要漏掉負號的情況.例2.用配方法解下列方程(1

22、)2x2+4x9=0; (2)3x2=6+8 解析 運用配方法解一元二次方程,先移項把含有未知數(shù)的項移到方程的左邊,常數(shù)項移到方程中的右邊,再在方程左右兩邊同時除以二次項的系數(shù),把二次項的系數(shù)化為”1”的形式,然后在方程的左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方,把方程化為(ax+b)2=c的形式,再用直接開平方的方法求解.解 (1)方程兩邊都除以2得,移項得:x2+2x= 配方得:x2+2x+1=+1 即(x+1)2=. (2)方程兩邊都除以3,得: 移項得:配方得: , .即所以此方程的根為:.思路探究 配方的關鍵是在二次項系數(shù)為1的形式下,方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.例3 閱讀材料

23、解答問題為解方程(x21)25(x21)+4=0我們可以將x21視為一個整體,設x21=y,則(x21)2=y2,原方程化為y25y+4=0(1)解得y1=4,y2=1當y=4時,x21=4, x2=5 , .當y=1時,x21=1, x2=2, x=.原方程的解為:.解答問題:(1)填空:在由原方程得到方程(1)的過程 ,利用 方法達到降次的目地,體現(xiàn)了 的數(shù)學思想.(2)解方程:x4x26=0 解析閱讀理解,并運用材料中所反映的方法,結論解決問題,這是近年中考中熱點題型,解答此例問題的關鍵是弄懂材料內(nèi)容.發(fā)現(xiàn)材料所揭示的方法或結論.解 (1)換元, 轉化, (2)設x2=y,則此方程化為:

24、y2y6=0 解得:y1=3,y2=2又x20 y=3 , 即x2=3 . . 原方程的根是x1=3, x2=. 思路探究 換元,轉化的數(shù)學思想方法在很多時候是我們解決問題的有效途徑.【中考鏈接】例4 某商店如果將進貨為8元的商品每件10元售出,每天可銷售200件,通過一段時間的摸索,該店主發(fā)現(xiàn)這種商品每漲價0.5元,其銷售量就減少10件,每降價0.5元,其銷售量就增加10件.(1)你能幫助店主設計一種方案,使每天的利潤達到700元嗎?(2)將售價定為每價多少元時,能使這天所獲利潤最大?最大利潤是多少? 解析 本例中售價與銷量之間互相關聯(lián),設每件銷售價提高了x元,則每件利潤為(10+x8)=(

25、x+2)元,每天銷量減少到(20020x)件,則每一天的利潤可用代數(shù)式(x+2)(20020x)表示,再據(jù)此建立方程或函數(shù)模型解答.解: (1)設每件商品提高x元,則每件利潤為(10+x8)=(x+2)元,每天銷售量為(20020x)件,根據(jù)題意可列方程(x+2)(20020x)=700. 整理得:x28x+15=0.解得:x1=3,x2=5. 檢驗知: x1=3,x2=5均符合題意. 把售價定為每件13元或15元能使每天利潤達到700元.(2)設每天利潤為y元,由(1)中可知:y=(x+2)(20020x)=20(x28x20)=20(x28x+1636)=20(x4)2+72020(x4)

26、20 當x=4時,20(x4)2+720最大,最大值為720.即每件售價為14元時,每天所獲利潤最大,最大利潤為720元.思路探究 通過配方的方法,可以求得一個二次三項式的最大值或最小值.【達標訓練】一、選擇：1.方程x20.36=0的解是( ) B.0.6 C.±6 D.±0.62.解方程:4x2+8=0的解為( )A.x1=2 x2=2 B. C.x1=4 x2=4 D.此方程無實根3.關于x的一元二次方程2mx2x+m2=0有一根為1,則m的值應為( )A.1,1 B.1 C.1 D.4.方程(x+1)22=0的根是( )A. B. C. D. 5.將方程5x2=2x

27、+10化為二次項系數(shù)為1的一般形式是( )A. B. C. D.x22x10=06.方程x2a2=(xa)2(a0)的根是( )A.a B.0 C.1或a D.0或a7.已知關于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m3=0一根為0,另一根不為0,則m的值為( )A.1 B.3 C.1或3 D.以上均不對8.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是( )A.不論c為何值,方程均有實數(shù)根 B.方程的根是C.當c0時,方程可化為:D.當c=0時,9.若x2mx+是一個完全平方式,則m=( )A.1 B.1 C.±1 D.以上均不對10.方程(x2)2=(32x)2可化為( )A.x2=3

28、2x B.x2=2x3C.x2=32x或x2=2x3 D.以上均不對11.對于二次三項式2x2+4x+5的值,下列敘述正確的是( )A.一定為正數(shù) B.可為正數(shù),也可能為負數(shù)C.一定為負數(shù) D.其值的符號與x值有關二、填空：12.方程x2=5的解是 ,方程(x1)2=5的解是 ,方程(3x1)2=5的解是 。13. =(x )2 =(x+ )214.若(2x1)2=1m有實數(shù)解,則m1= 。15.一小球以15米/秒的速度豎直向上彈出,它在空中的高度h(米)與時間t(秒)滿足關系式:h=15t5t2,當t= 秒時,小球高度為10米,小球所能達到的最大高度為 米.16.已知(x2+y22)(x2+

29、y2)=3,則x2+y2= .17.若a2+b2+a2b+=0 ,則=_.18.將方程化成二次項系數(shù)為1的一般形式,則一次項系數(shù)是_,常數(shù)項是_.19.方程(3x1)2=(2x)2的根是_.20.某種手表的成本在兩年內(nèi)以100元降低到81元,那么平均每年降低成本的百分率是_.三、解答題:21.解下列方程:5x240=0 (x+1)29=0 (2x+4)216=09(x3)249=0 (3x)2=27 x24x+4=022.把下列方程化為(x+m)2=n的形式.x2+4x=21 t22=2t2x2+3x=1 4y216y=723.你能用配方法解下列方程嗎?試試看:x22=4x x2+x+=03x

30、22=4x 2x24x+1=024.在矩形的場地的中央修建一個正方形花壇,花壇四周的面積與花壇面積相等,如果場地的長比花壇的邊長多6米,場地的寬比花壇多4米,求矩形場地的長與寬及正方形花壇的邊長.25.一建筑工地要用木欄圍出一片長方形的安全地帶,如圖所示,安全區(qū)一邊靠著建筑物,現(xiàn)有木欄長400米.(1)圍出的安全區(qū)面積能到達19200平方米嗎?能達到20000平方米嗎?如果能請給出設計方案;如果不能請說明理由.(2)你能設計出一種方案,使圍出的安全區(qū)面積最大嗎?與同伴交流一下自己的設計方案.26.若方程(2x1)2=a有兩不等的實數(shù)根,(2x1)2=b有兩相等的實根，(2x1)2=c 無實根.

31、試比較a、b、c三數(shù)的大小.27.設a、b為實數(shù),求a2+2ab+b24b+5的最小值,并求此時a與b的值.28.如圖,一個長為15米的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的距離為12米,如果 梯子的頂端下滑了1米,那么梯子的底端也向后滑動1米嗎?試列出方程解答此問題,并論證前面的結論.3.3 公式法【重點難點】1能夠推導出一元二次方程的求根公式。2會用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程。【預習導引】方華在學習了一元二次方程及其解法就思考：一個一元二次方程是由其各項的系數(shù)確定的，那么它們的解肯定與其系數(shù)有關系，于是他寫出了二個一元二次方程:（1）x23x4=0;（2）3x24x+1=0.并分別求出它們

32、的解：方程（1）的解為x1=4,x2=1,方程（2）的解為x1=,x2=1.通過嘗試他發(fā)現(xiàn)：方程（1）中，x1+x2=3=,x1x2=4=;在方程（2）中也有：x1+x2=,x1x2=于是他就猜測:對于一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1,x2,則，你認為方華的對于一元二次方程兩個根與方程系數(shù)關系的猜測正確嗎？能運用前面學習過的有關一元二次方程知識幫助方華證明嗎？不妨與同伴交流一下。點拔 方華同學從兩個特殊的方程猜測歸納出一元二次方程根與系數(shù)的關系，這種思考問題的方法是數(shù)學中一種常見的方法。至于方華的這種猜想是否正確，通過后面學習，大家自然就知道了。【知能互動】1求根公式的推導推導求

33、根公式的過程，實際上就是運用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的過程。a0 可以把方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)a，得： 移項得： 配方得：即a0 4a2>0 當b24ac0時，兩邊開方得：即 這樣就得到了一元二次方程的求根公式:對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),當b24ac0時，它的根為。2運用求根公式解一元二次方程因為任何一個一元二次方程都可以寫成ax2+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知，它的根由系數(shù)a,b,c確定，因此求根時，只需將方程各項的系數(shù)分別代入公式即可求出方程的解。對于任何一個一元二次方程并不是都有實數(shù)根。因此在運用求根公式之前，應先求b2

34、4ac，當b24ac0時可繼續(xù)把根求出；當b24ac<0時，由于負數(shù)沒有平方根，所以方程無解，這時不必代入公式求解了。運用公式解一元二次方程的步驟：（1）將方程化為一元二次方程一般形式。（2）確定a、b、c的值。（3）求出b24ac的值,確定方程是否有實根.（4）代入求根公式求根。3選擇合適的方法解一元二次方程前面學習了用直接開平方法，配方法，公式法解一元二次方程。直接開平方法只能解左邊是含未知數(shù)的平方式，右邊是一個非負數(shù)的方程;而公式法是由配方法推導出來的，它比配方法簡單，所以選用適當?shù)姆椒ń夥匠?，首先要看方程是含符合直接開平方法的條件，符合條件的就用直接開平方法來解，其它的時候用公式

35、法。例如：方程(2x+1)25=0宜用 求解; 方程2x2+5(2x+1)=0 求解.答案:直接開平方法，公式法.【名題探究】例1運用求根公式解下列方程：（1）5x2=3x (2)x2+2=0 (3)(y1)(y+3)+5=0 解析 運用公式法解一元二次方程應先把一元二次方程化為一般形式，正確確定a、b、c的值；計算出b24ac的值再代入公式求解。（1）中應注意到常數(shù)項 c=0.解：（1）移項得：5x23x=0, a=5,b=3,c=0, b24ac=(3)24×5×0=9>0.。 , x2=0。(2)這里a=1,b=,c=2 b24ac=（）24×1

36、15;2=0。 。（3）方程化為一般形式為：y2+2y+2=0. a=1,b=2,c=2, b24ac=224×1×2=4<0。此方程無實根。思路探究 一元二次方程的根可以會出現(xiàn)三種情況：有兩不等實根，有兩相等實根，無實根。例2選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?（1）4(3x2)2=36 (2)3x2+5(2x+1)=0 解析 方程（1）變形為(3x2)2=9,根據(jù)其特點選擇用直接開平方法解。方程無其它這特殊性，故選擇用公式法解。解：（1）將原方程化為(3x2)2=9，兩邊直接開平方得：3x2=±3, 。(2)將原方程整理得：3x2+10x+5=0, a=3,b=1

37、0,c=5, b24ac=1024×3×5=40>0。 。思路探究 結合不同問題的特點，選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓庆褵捤季S靈活性的有效途徑，選擇的標準是使解答過程簡便。例3已知一個直角三角形的兩直角邊的長恰當方程2x28x+7=0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 .A. B.3 C.6 D.9 解析 解答本題,關鍵是正確求出方程的兩根,即得直角三角形的兩直角邊,然后利用勾股定理求解.解：a=2,b=8,c=7 b24ac=(8)24×2×7=8>0 斜邊長為 故選B 思路探究 通過解方程求解是本例的一種解法,在以后的學習中,我們還可以運用根與

38、系數(shù)的關系求解.【中考鏈接】例4 先從括號內(nèi)備選項中選出合適的一項,填在橫線上,將題目補充完整后再解答.(1)如果a是關于x的方程x2+bx+a=0的根,并且a0,求 的值.(ab a+b ab)(2)已知7x2+5y2=12xy,并且xy0,求 的值.(xy x+y xy 解析 (1)把x=a代入方程x2+bx+a=0中,得到a2+ab+a=0,因為a0,所以a+b+1=0,即a+b=1因此可以求出a+b的值;(2)7x2+5y2=12xy可變?yōu)?x212xy+5y2=0,因而可求得x與y之間的關系,從而能確定求出哪一個式子的值. 思路探究 留空回填，完善試題，是近年中考試題的創(chuàng)新亮點處。解

39、答這類問題應著眼于題設條件，通過推導分析等，看從中能推出何種結果?！具_標訓練】一、選擇:1方程2x(x3)=5(x3)的根為( )A. B.x=3 C. D.2.若代數(shù)式4x22x5與2x2+1的值互為相反數(shù),則x的值為( )A.1或 B.1或 C.1或 D.1或3.利用求根公式求的根時,a,b,c的值分別是( )A.5, ,6 B.5,6, C.5,6, D.5,6, 4.方程(x1)(x5)=1的兩個根等于( )A.x1=5,x21 B.x1=6,x2=2C.x1= D.5.對于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是( )A.方程總有兩個實數(shù)根 B.只有當b24ac0時,才有兩

40、實根C.當b24ac<0時,方程只有一個實根; D.當b24ac=0時,方程無實根6.如果分式的值為0,則x值為( )A.3或1 B.3 C.1 D.1或37.一個直角三角形三邊的長為三個連續(xù)的偶數(shù),則這個直角三角形三邊的長分別是( )A.2、4、6 B.4、6、8 C.6、8、10 D.3、4、58.已知關于x的一元二次方程的一個根是0,則m的值為( )A. B. C. D.不能求出9.已知三角形兩邊長分別是1和2,第三邊的長為2x25x+3=0的根,則這個三角形的周長是( )A.4 B. C.4或 D.不存在10.已知x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,則=b24ac與M=（

41、2ax0+b2）的關系是( )A.>M B.=M C.<M D.不能確定二、填空：11.把化成ax2+bx+c=0(a0)的形式后,則a= ,b= ,c= .12.當x= 時,既是最簡根式又是同類根式.13.請寫出一個一元二次方程,使其一根為1,你寫的方程是 .14.若分式的值為0,則x= .15.已知(x2+y2+1)2=4,則x2+y2= .16.方程x2=|x|的根是 .三、解答題:17.解方程,有一位同學解答如下:解:這里a=,b=,c= b24ac=(請你分析以上解答有無錯誤,如有錯誤,指出錯誤的地方,并寫出正確的結果.18.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1) (2) (3)

42、(y3)218=0 (4)19.一次會議上,每兩個參加會議的人都相互握了一次手,有人統(tǒng)計一共握了210次手,你能根據(jù)上述提供的信息求出參加此次會議的有多少人嗎?20.要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)豬場,為了節(jié)約材料,雞場的一邊靠著原有的一堵墻,墻長為a米,另三邊用竹籬笆圍成,如果籬笆長為35米(1)你能求出雞場的長與寬嗎?試試看;(2)題中的墻的長度a對解題有什么作用.2.4 分解因式法【本節(jié)必學】1.能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性.2.會用分解因式法(提取公因式法,公式法)解某些簡單系數(shù)的一元二次方程.【預習導引】對于方程3(x2)2=2x,張

43、明的解法如下:解:方程整理得:3(x2)2=(x2) 方程兩邊同時除以(x2)得:3(x2)=1 去括號得:3x6=1 移項并合并同類項得,3x=5 你認為張明解方程的過程有錯誤嗎?如果有,請指出錯在哪一步?并說明錯誤的原因.你能解這個方程嗎?并與同伴交流自己的心得.點拔 張明在解方程的過程中,在方程兩邊同時除以一個含有未知數(shù)的代數(shù)式(x2),這樣得到的方程與原方程不一定是同解方程.因為含有未知數(shù)的代數(shù)式的值可能是0,這時變形的過程就是在方程左右兩邊同時除以0了,正確的解法應是:3(x2)2+(x2)=0,(x2)3(x2)+1=0 (x2)(3x5)=0 x2=0或3x5=0 x1=2,x2

44、=.這也就是本節(jié)學習的一元二次方程的一種解法分解因式法.知能互動1.因式分解法解一元二次方程的根據(jù)如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0,反過來,如果兩個因式中有一個因式為0那么它們之積為0.例如:(2x1)(3x)=0,則2x1=0或3x=0 (27x)(5x3)=0,則 _ 或 _ (答案：27x=0 5x3=0)2.因式分解法解一元二次方程的方法及步驟:解方程或方程組的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的問題,而是需要降次,將二次轉化為一次,因式分解法能幫助我們實現(xiàn)這一目標.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化為右邊為0,而左邊為兩個關于未知數(shù)的一次因式

45、之積的形式.例如:一元二次方程(2x1)(3x)=0可轉化為 , 兩個一元一次方程.如方程(2x1)(3x)=2化為2x1=1或是錯誤的.分解因式法解一元二次方程的步驟為:(1)將方程的右邊化為0;(2)把方程的左邊分解為兩個一次因式的積;(3)令每個因式為0,得到兩個一元一次方程;(4)解這兩個一元一次方程得原方程的解.(2x1=0,3x=0)3.選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?根據(jù)方程的不同特點,選擇合適的方法解方程,可以使計算簡便,效率提高.選擇解法的思路是:先特殊后一般.選擇解法的順序是:直接開平方法因式分解法公式法或配方法.配方法是普遍適用的方法,但不夠簡便,一般不常用.不過對于二次項

46、系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù)的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要簡單些.【名題探究】例1.用因式分解法解下列方程:(1)(2x1)2+3(12x)=0 (2)(13x)2=16(2x+3)2 (3)x2+6x7=0 解析 (1)經(jīng)過變形可以用提取公因式法;(2)經(jīng)過變形可以用平方差公式分解法因式;(3)方程為一般形式,嘗試用十字相乘法.解: (1)原方程變形為：(2x1)23(2x1)=0 (2x1)(2x1)3=0 ， 2x1=0或(2x1)3=0。 x1= x2=2。(2)原方程變形為(13x)24(2x+3)2=0， (13x)+4(2x+3)(13x)4(2x3)=0即(13+5x)

47、(11x+11)=0 x2=1(3)原方程化為（x7）(x+1)=0 x1=7 x2=1思路探究 用因式分解法解一元二次方程,關鍵是把方程化為左邊為關于未知數(shù)的一次因式之積,右邊為0的形式.例2:用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?1)(2x3)2=9(2x+3)2 (2)x28x+6=0(3)(x+2)(x1)=10 (4)2x25x2=0 解析 (1)方程兩邊為完全平方式,可以移項使方程一邊為0,另一邊用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法來解,但運用直接開平方法解更簡便.(2)方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考慮用公式法解,但此題的二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù),用配方法解更簡便.

48、(3)不經(jīng)過變形,無”法”可解,先將其化為一般形式,再觀察其特征選擇解法.(4)不宜用直接開平方法,因式分解法,就用公式法求解.解 (1)方程兩邊開平方,得:2x3=±3(2x+3) 2x3=3(2x+3)或2x3=3(2x+3)解這兩個一元一次方程得,x1=3,x2=。(2)移項得:x28x=6 配方得:x28x+16=6+16 (x4)2=10 x4=±x4=± 或x4= x1= x2= (3)將原方程化為一般形式,得x2+x12=0， (x3)(x+4)=0， x3+0或x+4=0，x1=3或x2=4。(4)將方程化為一般形式,得:2x25x2=0 b24ac=(5)24×2×(2)=41。x= 。思路探究 在解一元二次