1、2015年上海初三數學競賽（大同中學杯）（2015年12月6日）解答本題可以使用科學計算器一填空題（每小題10分，共80分）1、已知AB為圓O的直徑，AB=1，延長AB到點C，使得BC=1，CD是圓O的切線，D是切點，則的面積為_。解答：依據切割線定理可以得到：。因為可以得到因此有。因為AB為圓O的直徑，所以時直角三角形。依據勾股定理有。而2、有編號分別為去1,2,3,4,5,6,7的7個大小相同的小球，從中任取3個小球，則取出的3個小球的編號和為奇數的概率為_。解答：從七個小球任意取出三個小球的取法為種，因為沒有小球的數字不同，這樣這三個球的數字和有35和結果。要使用和為奇數。應該包括兩種下

2、面情況第一種三個數均為奇數，也就是從1,3,5,7四個數中取三個，取法為第二種，一個奇數，兩個偶數，也就是從1,3,5,7的四個數中取1個，從2,4,6三個數中取兩個，取法有.這樣和為奇數一共有種。從而取出的3個小球的編號和為奇數的概率為3、實數滿足，則的值為_。解答：因為上述兩個相減，得到：。因為所以有。上述相加得到所以。因此 4. 若三個素數的乘積恰好等于它們和的23 倍，則這三個素數為_解答：設這三個素數為。則有。因為23是素數，從，可以得到23能夠整除三個素數的積。從而可以得到其中有一個素數必為23。假設這樣就有因為為素數，所以得到或這樣得到三個素數為5,7,23或3,13,23。5.

3、 如圖，圓與圓 外切于點P ，從圓上點A 作圓的切線AB ， B 是切點，連接AP 并延長，與圓交于點C 已知圓 、圓的半徑分別為2、1，則_解答：做如圖所示的輔助線。可以得到為此設，則應用切割線定理有：所以。6、 如圖所示，在平面直角坐標系xOy 中，ÐMON 的兩邊分別是射線 y = x(x ³ 0)與x軸正半軸點A(6,5)，B(10,2)是ÐMON 內的兩個定點，點P、Q分別是ÐMON 兩邊上的動點，則四邊形ABQP 周長的最小值是_解答：本題主要就是應用對稱。應為四邊形ABQP ，其中一個邊AB為定值。要求四邊形ABQP 周長的最小值，只要求另

4、外三邊的最小值。從對稱可以得到,.四邊形另外三邊的最小值為依據兩點間距離公式有。，從而最小值為。7. 不定方程的整數解共有_組。解答：設，所以從，可以得到所以。這樣是方程的兩個根，并且根為整數。所以。因此有。同時要保證為整數。這樣就有，當時，當時，方程為方程沒有整數解。當時，方程為方程沒有整數解。當時，方程為方程，有整數解為2,4。所以或當時，方程為方程，有整數解為4,4。所以 整數解共有4組8. 設是給定的正實數， 是給定的大于1 的整數，實數 滿足，則的最大值_。解答：因為有這樣的一個結論，因為而所以最大值為二、解答題（第9、10 題，每題15 分，第11、12 題，每題20 分，共70

5、分）9. 如圖，在ABC中，BC = a，CA = b，ÐACB = 60°，ABD是正三角形，P是其中心，求CP 的長度解答：分析作D點關于AB的對稱點。則為等邊三角形，這樣就有，已知ÐACB = 60°所以四點共圓。這個圓過P點。連接AP，BP。因為P是正三角形ABD的中心，所以因為A,C,B,P四點共圓，也就是四邊形ACBP為圓內接四邊形，應用圓內接四邊形托勒密定理可以得到所以。10. 在1，2， ，2015 這2015 個正整數中選出個數，使得其中任意兩個不同的數的和都不是50 的倍數，求k 的最大值解答：因為所有的整數，被5除余數為0,1,2,

6、3,4， ,47,48,49。共50中情況。而。下面吧從1,2， ，2015這2015個數被50除，余數的情況列表如下。余數121524252648490第1行1215242526484950第2行5152657475769899100第3行101102115124125126148149150第40行19511952199819992000第41行200120022015第1行取1到25這25個數，取50這個個數，任意兩個數的和都不能被50整除。第2行取51到74這24個數，和第一組取得的數組成新的數集，則這新的數集任意兩個數的和不能被50整除。以后每行都取前24個數，取到第40行位置。最后

7、一行取15個數。這樣正整數集合最大數值個數為這樣集合為這樣式樣50這個數可以換成1到2015之間50的倍數任意一個數。因此的最大值為977.11. 已知ABC的三邊長均為正整數，周長為 35，G 和I 分別為ABC的重心和內心，且ÐGIC = 90°，求邊AB的長度解答：本題有一定難度，但是抓住內心和重心的特征還是能夠找到解題的路徑的。由題意知道ÐGIC = 90°，并且CI平分,出現角平分+垂直的特征。這樣可以構造出三角形。為此延長GI和反向延長GI.很容易得到為等腰三角形，也就是過垂心G和內心I分別做AC和BC邊的垂線。設的內接圓的半徑為。由面積法得到：也就是所以因為G為三角形ABC的重心，可以得到用面積法有：化簡為也就是，因為為正整數所以得到，則為此為方程的兩個根。有。因此當時，方程為所以此時。因此。當時，方程為沒有整數解。因此。12. 設是正整數， 不是 4的倍數，求證：不是完全平方數 證明：，當為同奇數，或者同偶數時，可以得到一定是4的倍數。已知 不是 4的倍數，所以中一個為奇數，一個為偶數。假設。因為因為能夠被8整