1、一個雙列滾動軸承的非線性平衡問題的統(tǒng)一和簡化處理。第1部分：滾動軸承模型摘要：為了增加軸承-軸系統(tǒng)的剛度，軸通常被一系列的雙排滾動軸承來支撐。隨著小工作量的多排滾動軸承的出現(xiàn)，提出了一種綜合型的模型，這種模型能夠測定內(nèi)部的相互作用力。軸承套圈之間彈性形變量是用矩陣向量的形式來表示的。各種雙排滾子軸承類型進(jìn)行了分析，如圓錐滾子軸承，圓柱滾子軸承，球面滾子軸承，調(diào)心球軸承，角接觸球軸承。應(yīng)考慮基本的內(nèi)部幾何形狀（包括內(nèi)部間隙）和載荷的影響（就初始軸向壓縮而言）。關(guān)鍵詞：雙列滾動軸承，五個自由度，負(fù)荷分布，矩陣向量法符號：A 內(nèi)圈和外圈滾道的曲率中心之間的距離（m）ACBB 角接觸球軸承CRB 短圓

2、柱滾子軸承dm 節(jié)距圓直徑（m）D 滾動體直徑（m）DB 背對背配置DF 面對面配置e 軸承列中滾子的慣性坐標(biāo)系原點之間的軸向距離E0 有效彈性模量（N/m2）Fx,Fy,Fz 軸承受到載荷的力分別沿X,Y,Z方向的分力(N)K 對于線接觸（定義單位長度上）（N/m19/9）和點接觸(N/m3/2)在固定載荷下的位移L 滾動體有效長度（m）M 軸承傾覆矢量力矩n 冪指數(shù)依據(jù)接觸形勢而定，點接觸用3/2,線接觸用10/9n 單位向量q 接觸載荷強(qiáng)度（N/m）q 接觸載荷強(qiáng)度矢量Q 接觸載荷（N）Q 接觸載荷矢量ri 內(nèi)滾道曲率半徑（m）r 慣性坐標(biāo)系中的標(biāo)稱位置矢量r 慣性坐標(biāo)系中的可替代位置矢

3、量R 從滾動體保持架中心到軸承軸線的距離（m）SABB 調(diào)心球軸承SRB 球面滾柱軸承T 從滾動體到慣性系的矩陣變換TRB 圓錐滾子軸承u 游隙(m)x 滾動體軸向坐標(biāo)（m）（x,y,z） 滾動體坐標(biāo)系（X,Y,Z） 軸承慣性坐標(biāo)系 接觸角（rad）p 軸向游隙/軸承一端壓緊（m）x,y,z 分別沿x,y,z方向的軸承相對線性位移(m) 軸承的位移向量 軸承套圈之間總的距離（m） 半圓錐滾子角度（rad） 軸承分別圍繞Y,Z方向的相對傾斜角度(rad) 外部替換到外部固定的變換矩陣 外圈滾道在滾子保持架中的位置矢量 曲率總和（m-1） 滾動體的角位置(rad)腳注：a 軸向i 內(nèi)圈m 軸承列o

4、 外圈r 徑向s 軸承載荷矢量的組成部分1. 引言在一些機(jī)械應(yīng)用領(lǐng)域雙列滾子軸承被使用，例如齒輪箱，機(jī)床主軸或者一些旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中，了解滾動體之間的載荷分布，以及載荷是隨著單個滾動體長度的變化而變化的這種理論是十分重要的。這就要考慮滾動體滾道的接觸負(fù)荷變形和軸承平衡方程的非線性問題了。滾動體的平衡問題已經(jīng)成為許多研究人員和設(shè)計師研究的主題，有關(guān)滾動體的文獻(xiàn)中提供了三種確定軸承內(nèi)部載荷分布的方式：方式1：當(dāng)軸承套圈之間的載荷分布能夠分析時，就總的方法來說第一種方法應(yīng)是一個整體的處理方式。基于這種方式，基于這一方法，Stribeck把對滾動軸承的機(jī)械相互作用（只有徑向加載）理論研究追溯至1907年。之

5、后，Harris1用Sjovall的積分思想分析了滾動軸承在兩個自由度上承載的問題。最近，Houpert3已經(jīng)豐富了Harris的研究成果，這種成果是單列球和滾子在五個自由度上的承載問題，把數(shù)據(jù)輸入電腦這種方式能夠完全替代真正的實驗。方式2：在第二種方式中，獨特的相互配合和每一個滾動體滾道赫茲接觸剛度都要考慮到。每一個軸承中滾動體的位置與滾柱軸承上三個任意的滾子和球軸承上任意兩個球相聯(lián)系的。換句話說，這種方式要求我們采用3Z來補(bǔ)充滾柱軸承的未知滾動體，對于球軸承要采用2Z來補(bǔ)充，其中Z是滾動體的個數(shù)。許多已經(jīng)致力于分析程序發(fā)展的研究是以這種方式為基礎(chǔ)的。考慮到內(nèi)圈五個相對位移Liu4提出了很好

6、的分析方法用來推導(dǎo)圓出錐滾子軸承的平衡分析方法。DeMuletal5,6豐富和發(fā)展了Liu的球和滾子軸承的模型。這些工作者為滾動體和軸承確定了雅克比矩陣。最近以來，Bourdonetal7,8為軸承的靜態(tài)非線性特性提出了一種普遍的理論方法。這種方式把軸承的每一個滾動體定義一個元件（有限元分析）作為主要組成部分。使用這種方法開發(fā)的模型是相當(dāng)精密的，并且每個套圈和滾動體都需要三個平衡方程來確定。方式3：第三個方式是最高效的方式，這種方式以同時求解出每一個滾動體（包括保持架）的六個動態(tài)方程為主要部分，這種方式是由Gupta9實現(xiàn)的，但是幾乎大多精密的方式都要求大量的計算機(jī)運(yùn)作和復(fù)雜的數(shù)據(jù)來進(jìn)行數(shù)據(jù)分

7、析。這種方法對單列滾動體的進(jìn)一步研究是最適合的，這種方法獨立于軸承的工作環(huán)境。在以前的研究的基礎(chǔ)上，這篇論文提出了一種新的通用理論方法，這種方法適用于在所有形式的雙列滾動軸承中模化的靜態(tài)機(jī)械作用。這種模型綜合了上面方式1和2所呈現(xiàn)的理論。因此，這種理論的構(gòu)想可以分成兩部分：首先，所有的（套圈之間的總的計算方法）幾何相互作用能用矢量和矩陣的方式確切地闡述。其次，正常觸點壓力只能通過其中一個套圈的平衡方程來估算（換句話說就是內(nèi)圈或外圈）。使用赫茲彈性接觸理論這種傳統(tǒng)的方法是為了表示接觸載荷與位移的關(guān)系。對于一個滾子軸承而言，目前的分析對滾子和滾道的輪廓修正線（無修正）或更復(fù)雜的輪廓線（鼓形，對數(shù)型

8、等）是有效的，自從切片技術(shù)被用來測定接觸壓力分布和相關(guān)的彈性撓度。一個簡單的直線輪廓對于預(yù)測軸的撓度是足夠的，但是可能導(dǎo)致最大水平應(yīng)力的低估，這種低估發(fā)生在受災(zāi)最劇烈的滾動體的力矩載荷端部，正如以前的研究所顯示的那樣，例如Ioannouetal10。在這種方式下，由于每一個滾動體精確的平衡被打破，使得計算時間變得有限。2. 幾何參數(shù)雙列滾動軸承的有以下幾種形式：(a) 圓錐滾子軸承（TRBs），(b) 圓柱滾子軸承（CRBs），(c) 調(diào)心滾子軸承（SRBs），(d) 調(diào)心球軸承（SABBs），(e) 角接觸球軸承（ACBBs）。用來分析軸承的主要參數(shù)包括滾動體的直徑D和滾動軸承滾動體的有效長

9、度L，滾動體的數(shù)量，Z，節(jié)距圓直徑dm，滾道溝曲率半徑ri和ro，接觸角和徑向游隙u。3. 套圈之間的總的相對方式用矢量和矩陣來描述滾動體之間的位移分布。為了方便計算引入以下坐標(biāo)系統(tǒng)：(1) 以內(nèi)圈的軸線作為慣性坐標(biāo)系(X,Y,Z)的一個軸線，并且坐標(biāo)原點 與軸承中心重合；(2) 兩個局部坐標(biāo)系(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)各自附屬于1列和2列滾動體的幾何中心，除了每一個圓錐滾子因為坐標(biāo)系的原點相當(dāng)于滾動體中截面的中心。所有的坐標(biāo)系都是右手系的。通常，人們認(rèn)為滾動軸承的外載荷是由內(nèi)圈承受的，從而可以把外圈固定在空間方便地對軸承進(jìn)行平衡分析。通常情況下，軸承在五個自由度方向上受載：三

10、個沿坐標(biāo)軸方向的力Fx,Fy和Fz，還有兩個傾覆力矩My,和Mz。因此，內(nèi)圈的運(yùn)動通過線性位移x,y和z還有旋轉(zhuǎn)角度和來表示。當(dāng)內(nèi)圈固定不動并且外圈有沿X,Y,Z方向的位移(-，-，-，-，-)時，滾動體之間的機(jī)械作用基本上是相同的。 承載能力和對齊方式 無 低 中 高 圖.1 雙列滾動軸承受力分析和相對應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)(a)圓錐滾子軸承（背對背）(b) 圓錐滾子軸承（面對面）(c)圓柱滾子軸承(d)調(diào)心滾子軸承(e)角接觸球軸承(f)調(diào)心球軸承首先，正如圖1所表示，與決定套圈之間研究方式相聯(lián)系的矢量和矩陣將被引用于雙列滾動軸承的大部分型號。外滾道接觸點的位置用位置矢量符號ro來表示名義上的位置，

11、用ro表示位移矢量，在慣性系統(tǒng)中用(X,Y,Z)表示向量。軸承套圈之間總的(變形)分析方法現(xiàn)在能夠表示為如下： （1）在上述公式中下標(biāo)o和m分別表示外滾道和軸承列（m=1指左邊的那一列，m=2指右邊的那一列）而nom表示與套圈和滾子接觸面垂直的單位矢量，如圖2所示。圖.2 外圈和滾動體的相互作用對于外滾道上的一個接觸點，它的位置矢量ro是通過坐標(biāo)(X,Y,Z)表示的，如下所示： (2)在上式中代表外圈的位移矢量，表示外圈的轉(zhuǎn)動變換矩陣。對于相同的接觸點標(biāo)稱位置矢量可以用慣性坐標(biāo)系中的(X,Y,Z)表示為如下： (3)在上式中是慣性系中滾子的坐標(biāo)系統(tǒng)原點的位置矢量；矢量的位置由滾子坐標(biāo)系的(xm

12、,ym,zm)確定，其中m=1或2，滾子從外滾道進(jìn)入接觸狀態(tài)。是從坐標(biāo)系 (xm,ym,zm)到(X,Y,Z)的轉(zhuǎn)換矩陣。通過方程式(1)和(3)的聯(lián)合，總的相關(guān)分析方式（或變形）能通過以下方式獲得 (4)依據(jù)圖1給出的每個滾動體的各種形式，給出矢量，和還有轉(zhuǎn)換矩陣和如下。3.1 定義向量 （5）在上式中表示各列軸承之間的初始軸向擠壓力；系數(shù)c1和c2依據(jù)軸承的型號而定，對于TRBs, ACBBs和 SRBs c1=1對于CRBs c1=0對于CRBs, ACBBs 和 SRBs c2=0對于 TRBs (DB) c2=1對于TRBs (DF) c2=1（在最后兩個中左邊一列用大寫字母，右邊一

13、列用小寫字母。） (6)R指的是滾動體原點到軸承軸心的距離，指的是滾動體的位置角，系數(shù)c3與符號m有關(guān)系。所以，對于左邊的一列c3=-1（此時m=1），對于右邊的一列c3=1（此時m=2）。 (7)D表示圓錐滾子軸承滾子的二次平均直徑，調(diào)心滾子軸承滾子的最大直徑，圓柱滾子軸承、角接觸球軸承和調(diào)心球軸承的滾動體的直徑。x是沿著軸向的坐標(biāo)長度，e表示圓錐滾子圓錐角的一半(對于其他的軸承，e=0)(見圖.1)。 (8)系數(shù)c4依據(jù)軸承列的形勢而變化；因此，對于角接觸球軸承和反裝的圓錐滾子軸承c4=1,對于調(diào)心球軸承、調(diào)心滾子軸承和正裝的圓錐滾子軸承c4=-1。對于圓柱滾子軸承接觸角為零，等式(8)中

14、已經(jīng)不用依靠系數(shù)c3和c4了。3.2 矩陣的定義運(yùn)用小角度的近似計算，把由于錯位引起的轉(zhuǎn)換矩陣表示為如下 (9)從每一列的滾動體系統(tǒng)到慣性坐標(biāo)系統(tǒng)的變換矩陣可以定義為如下 (10)把等式 (5)代入等式(10)得到的新等式，再代入等式(4)推導(dǎo)出了滾道之間的分析方法的通式如下： (11)在上式中a和b幾何參數(shù)，它們依據(jù)軸承的結(jié)構(gòu)形式而定： (12)對于給定的不同結(jié)構(gòu)形式的軸承，列舉方程(11)中的幾何參數(shù)如下： (13) (14)記，為合成方式，為錯位的總的影響，用給出的和表示如下： (15a) (15b) (15c) (15d)現(xiàn)在等式(11)可以寫成如下： (16)對于在中平面上的滾道之間

15、總的分析方法(x=0)： (17)3.3 初始游隙通常雙列滾動軸承裝配后有一定的間隙。考慮到初始游隙在計算方法上的影響，在方程(11)到方程(17)中建立的置換方式必須與每一個軸承的結(jié)構(gòu)形式相適應(yīng)。除了圓柱滾子軸承，其他軸承的徑向游隙ur與軸向游隙ua是有聯(lián)系的。對于圓錐滾子軸承、角接觸球軸承、調(diào)心滾子軸承和調(diào)心球軸承而言，只有當(dāng)軸向游隙突然消失，局部的彈性接觸變形才可能發(fā)生。對于圓柱滾子軸承而言，當(dāng)徑向游隙發(fā)生改變時，它的局部彈性接觸變形才發(fā)生。依據(jù)不同軸承的工作形式，其內(nèi)部游隙的表示由等式(11)可以得出如下等式：圓錐滾子軸承、角接觸球軸承、調(diào)心滾子軸承和調(diào)心球軸承的游隙表示方法是 (18

16、)圓柱滾子軸承游隙的表示式為 (19)圓柱滾子軸承的接觸角為零，其游隙只影響在滾道之間總的距離的徑向組成部分上。4. 集中接觸靜載荷當(dāng)套圈之間總距離確定時，對于干接觸下的接觸載荷能夠通過赫茲彈性理論進(jìn)行估算如下： (20)在上式中指數(shù)n依據(jù)接觸形式的不同發(fā)生變化11( 線接觸n=10/912，點接觸n=3/2)，k是總的剛度系數(shù)Harris 11給出了其表達(dá)式如下： (21)其中，Ki和Ko各自代表內(nèi)圈和外圈的滾子接觸剛度系數(shù)。根據(jù)國際單位制(牛頓米)，線接觸軸承的剛度系數(shù)正如Palmgren 12所描述的那樣可以被估算出來： (22)式中的L是接觸長度，是有效彈性模數(shù)。就點接觸而言，Harr

17、is 11給出了剛度系數(shù)的表示方法： (23)式中是在接觸點的曲率和，是Harris 11給出的一個描述接觸變形的無量綱的數(shù)，作為曲率函數(shù)的一部分。就角接觸球軸承和滾子軸承而言，Harris 11論述了等式(23)中 K隨著接觸角度的變化而變化的問題。5. 確立軸承平衡方程一旦確定了接觸力，靜態(tài)平衡方程就能通過慣性坐標(biāo)系中的(X，Y，Z)來表示。因為軸承外載荷一般都在五個自由度上受載，這些力和力矩可以用，和表示。這樣點接觸和線接觸軸承的平衡方程都可以寫出來了。5.1點接觸軸承平衡方程以x1，x2，x3，為矢量基準(zhǔn)，是滾子沿著外圈滾動的觸點壓力為： (24)(X，Y，Z)慣性坐標(biāo)系原點周圍的傾覆

18、力矩為; (25)因此外圈的平衡方程可以寫成： (26)方程中的F來自于下式：， 其中，通過運(yùn)用充分的有價值的系數(shù)c3和c4，平衡方程能夠很容易的適應(yīng)與方程(28)比較有點接觸的（角接觸球軸承、調(diào)心滾子軸承或調(diào)心球軸承）不同形式的軸承。任何滾動體位置處的工作接觸角在附錄中都給出了。5.2線接觸軸承的平衡方程對于線接觸的軸承（圓柱滾子軸承或圓錐滾子軸承），它的接觸載荷矢量Qm與點接觸軸承的確定方式有相同的部分，但是指數(shù)n變成了10/9。對于圓錐滾子軸承它的傾覆力矩是繞著慣性坐標(biāo)系(X，Y，Z)的原點，可以表示為： (27)式中q表示接觸載荷劇烈程度的矢量記： (28)把等式(28)代入等式(27)中得到如