1、第二章.極限概念 函數的連續性對于函數的概念，我們總是能夠從日常直觀出發，就能很好地加以理解，因為畢竟因果關系的觀念在我們的意識當中是非常深根蒂固的。那么要真正嚴格地理解極限的觀念，就不是那么自然的了。對于極限的觀念，最為關鍵的問題是，如何定量地加以描述，并把這種描述作為一般的判別標準。這個問題實際上困擾了人們幾百年，一直到19世紀才加以解決的。 數列的極限描述（數列存在極限判別定理，定義法、柯西法、子數列法、夾逼法、單調有界法）設存在一個數列，也就是一個數值的集合，這個集合的元素可以一個一個的數出來，同時每一個元素都可以加上唯一的標志，而自然數是最為適宜作這件工作的。比如說，把一個

2、數列寫成這樣的樣子：，或者簡單地記成。觀察這個數列取值變化， 有的數列變化具有下面的變化規律：對于數列，假設存在一個確定的常數a，現在我們考慮變量（顯然這是一個反映數列數值變化的，隨著n而發生變化的變量。），如果我們任意找到一個數，無論它的數值有多么大或者多么小，我們總是能夠在這個數列當中找到一個元素，使得在這個元素后面的所有的數列元素，都使得相應的變量的值小于，換一句話來說，對于任意的，總是存在一個N，當n>N時，總是有成立這時我們就把a稱為數列的極限。并且稱數列收斂于極限a。我們使用記號來表示該數列極限。否則我們就說數列是發散的。這就是一個數列收斂于一個極限或者說存在一個極限的定義。

3、在這個定義里面，最為關鍵的地方，也是初學者最為困難的地方有兩個：1。數值是任意的。就是說只要存在一個的數值不滿足定義的條件，就不能說數列收斂于極限a。這里初學者感到非常困難的地方是，我們是不是一定要對所有可能的都進行檢驗，才能得到最后的判斷呢？不是的,在實際問題中，由于我們的目的是希望知道變量是否越來越小，一般只要取大于0，并且足夠小（我們在有關極限的定義當中，總是先假設了這點，），當然這樣不能減少我們對的任意取值進行驗證的任務，但是我們所處理的數列，總是按照某種特定的規律來變化，一般從這個數列的變化規律本身就可以找到由決定的N的值，使得小于，或者是找到反例。從而實現對所有可能的們進行判斷.不

4、過，我們的課程在這個方面的要求并不是過高的，因此我們只是需要考慮一些比較簡單的例子，而我們的精力應該集中在對于極限思想的理解。 2. 滿足條件的n必須取遍所有大于N的自然數。初學者往往會覺得這是不可能的，實際上，我們并不需要對所有大于N的n值進行檢驗，同樣由于數列的變化是具有規律的，從數列本身的規律，我們一般總是能夠通過有限的步驟，來得到所需要的判斷。那么數列的規律是什么呢？一般說來，一個數列的元素總是一個由變量n決定的函數，這里變量n取遍自然數，就生成了數列的全部項。這個函數的表達式稱為通項的通項公式。不過通項公式有時候并非完全只是n的函數，有時由變量n和第n項之前的項所決定，這時，通項公式

5、表現為一個遞推公式，這種情況的處理比較復雜，我們不過多的涉及。利用極限的定義和應用不等式（絕對值不等式.）對一個數列進行檢驗是否存在極限，實際上是預先假設知道了這個極限是多少，所謂的檢驗只不過是證明這個數列的極限是否是這個給出的極限值。 答疑解難。1數列的極限的定義當中，與N的取值是一一對應的嗎？答：不是。初學者對于極限的定義的敘述往往理解不夠深入，并且常常產生歧義，這個問題就是最為典型的。盡管在根據定義進行具體的極限分析時，常常是由推出N的表達式，但這并不是意味著這兩個變量之間具有一定的函數關系，這兩個變量之間確實是具有一定的關系，但決不是函數的關系，而是一種兩個區間的相互影響與決定的關系，

6、實際上，我們給出一個的意思，實際上是給出了一個區間，同樣由此而得到的N，也是一個區間的概念，而不是兩個數值變量的關系，因此N的求法是很多形式的，實際問題當中，我們只是選擇了最為方便的形式而已。 那么在不知道預先極限值時，有沒有方法驗證數列是否有極限，這就是相當重要的柯西收斂原理：我們說數列收斂，它的充要條件是：對于任意的>0，總是存在正整數N，使得對于任意的自然數p和n>0，有 成立。可以看到，在這里對數列所進行的檢驗與極限的定義當中對數列所進行的檢驗是存在一點差異的，就是在這里對數列進行檢驗，我們并不需要知道這個數列的極限a究竟是多少，而通過檢驗，我們也只是知道這個極限

7、是否存在極限，但求不出極限是多少。而在極限的定義當中，要對一個數列進行檢驗，實際上是預先假設知道了這個極限是多少，所謂的檢驗只不過是證明這個數列的極限是否是這個給出的極限值。柯西原理是更為方便的驗證是否有極限方法其他判別極限存在定理（1）數列以a為極限的另一個說法，或者說一個充要條件是：對于數列的任意一個子數列都以a為極限。我們只要能夠在一個數列里，構造出一個發散的子數列，或者是構造出兩個具有不同收斂極限的子數列，就可以說明這個數列是發散的。（2）如果數列的子數列和都收斂于同一個極限，那么數列也收斂于這個極限。顯然這個定理比性質（1）所需要的條件更弱，但結論是一樣的，這是因為我們選取了特定的子

8、數列。（3）如果兩個不同數列具有相同的極限：，而另外一個數列滿足條件：存在一個確定的自然數N，當n>N時，總是有成立，那么數列收斂，并且極限為c。這個性質被稱為夾逼定理，常常用來求某個合適的數列的極限，前提是已知另外兩個數列的極限，并且這三個數列具有定理所要求的關系。（4）如果我們把數列看成是以自然數為自變量的函數，那么就可以相應地定義這個函數的有界性和單調性，這兩個概念是相當直觀的，并且顯然可以知道一個收斂數列必然是有界的，因為按照極限(收斂)的定義，滿足 的項總是有限的，因此總能夠得到一個確定的函數的界。反過來，則還必須加上一個條件(單調)：單調而且有界的數列必定存在極限。這是一個相

9、當重要的極限存在定理，因為往往判定一個數列的單調性和有界性是比較容易的。數列存在極限判別方法中，定義法、子數列法、夾逼法、需要知曉極限然后去驗證。單調有界法、柯西法不需要知曉極限就可以驗證極限四則運算的理解 如果一個數列是由兩個收斂數列通過四則運算得到的，那么這個數列的收斂性質就由這兩個數列決定，這就是數列極限的四則運算性質：a如果數列an極限存在（收斂），那么其中k為實數；b如果數列an、bn極限存在（收斂），那么；而數列的減法則沒有一般的運算規則c如果數列an、bn極限存在（收斂），那么；d如果數列an、bn極限存在（收斂），其中，那么，。 函數的極限數列可以看成是對于一種最為簡

10、單的函數，唯一的差別，就是函數自變量以及函數值往往是連續的，而數列的變量和數列的值是離散的。數列的這種離散取值形式對于數列的極限是無關緊要的。所以我們可以仿照數列的極限的定義，說明一個連續取值函數的極限的定義。一個函數變化過程當中極限有兩種？一種類似于數列的極限過程，函數自變量趨近任意大時的函數值極限過程，另一種是自變量趨近某一個特定值時函數值極限過程。為了說明自變量與某個特定值的距離任意小這種變化的特定形式，我們定義一個概念，就是鄰域的概念：對于確定的一個實數x，我們定義它的一個鄰域，是一個開區間這個開區間的特別之處在于可以看成是一個變量，并且一般是可以取任意小的變量，所以這個開區間的大小是

11、可以任意地小。鄰域這個概念在下面函數的極限定義當中具有關鍵的作用，希望同學們認真加以體會。首先假設函數f（x）在點的鄰域內有定義，而在點不一定有定義。如果存在一個確定的點A，而我們如果取點A的任意一個鄰域，都可以找到相應的點的鄰域只要自變量x屬于鄰域里，對于函數y=f（x）來說，就有因變量y屬于鄰域，這樣我們就可以說當函數自變量x趨向于點時，函數以A為極限，記成 。我們也可以不使用鄰域是概念，直接使用實數之間距離的概念，類似于數列極限的形式來說明函數的極限：對于函數y=f（x），假設存在兩個確定的常數和A，現在我們分別考慮變量（這個變量反映了函數自變量和一個確定的點之間的距離）和（顯然這是一個

12、反映函數數值變化的，隨著x而發生變化的距離變量。），如果我們任意找到一個數，無論它的數值有多么大或者多么小，我們總是能夠找到一個相應的數，當變量滿足時，使得相應的變量的數值小于，換一句話來說，就是對于任意的，總是存在一個，當 時，總是有成立，這時我們就把A稱為函數f（x）在x趨向于x0時的極限。我們使用記號來表示這點極限。否則我們就說函數f（x）在x趨向于x0時是發散的。由于函數變化的連續性，使得函數的極限的概念比數列的極限的概念要顯得復雜，因此我們還可以通過圖形的方式來加強理解。如下圖所示，我們可以分別觀察在X軸和Y軸上的取值情況。可以看到，在x的取值向x0接近的過程中，函數y=f（x）表現

13、出了這么一種現象，就是在Y軸上存在一點A，無論我們取多么小的A的一個鄰域，我們都總能至少找到x0的一個鄰域，使得在這個鄰域內的所有函數值都處于我們取定了的A的那個鄰域內，這就說明了函數在x趨向x0時，存在一個極限A。假如在x0的這個鄰域內存在一點，使得函數值超出了A的那個鄰域，比如函數的圖形如圖中虛線所示，突出一個峰B點，那么我們還可以在繼續向x0接近的過程中，找到更小的鄰域使函數值在A鄰域內。另外在圖中，我們也可以看到，極限的存在并不要求函數在x0是有定義的，只要函數能夠無限地接近這點就可以了。從圖形當中我們可以體會到，函數在某點存在極限，反映的是函數在這點附近的局部性質，函數在這點是否具有

14、這個極限性質，是分析函數在這點的行為的一個強大工具。后面的學習當中，我們能夠進一步體會到，判斷一個函數在某點處是否具有極限，是表示函數在這點行為的重要特征。 函數的單側極限，左右極限，函數的分段點處的極限。在前面的圖形說明當中，我們可以看到，函數自變量的取值趨向某個特定的點，還可以取特定的方向，比方說只從左邊或者只從右邊接近特定的點，這就自然地得到了單側極限的概念。根據自變量趨向某點的方向的左右，可以把單側極限分成兩種，即左極限與右極限。顧名思義，左極限就是在X軸上，自變量總是從左邊趨向特定的點，右極限就是在X軸上，自變量總是從右邊趨向特定的點，引入這個概念，首先在理論上具有重要的作

15、用，這體現在如下的定理當中：一個函數在自變量趨向某點時具有極限A，這件事的另一個說法，或者說它的一個充要條件就是函數在這點的左右極限都存在，并且都是A。這個定理可以應用于對很多函數在特定點的極限性質的判斷，當然一般是應用于否定性的判斷，即通過計算出函數在這個特定點的左右極限，由于它們不相等，從而得到函數在這點不存在極限的結論。這個定理還具有另外一個方面的實際應用價值，就是用于分析分段函數。我們知道分段函數在分段點處的性質是分段函數最為關鍵的地方，而對于分段函數在分段點處的極限性質，就只有通過分別地考慮函數在分段點處的左右極限來得到。 1函數的極限的定義當中，與是取值是一一對應的嗎？答

16、：不對。這里的原因與數列的情形是類似的。這兩個變量同樣是意味著兩個區域，而并不是兩個數值變量的關系。因此在作具體問題時，可以靈活地選擇最為方便的途徑來求出它們的對應關系。 2函數的極限的定義當中，不等式里面大于0是必要的嗎？答：是。初學者往往忽略了這點，因為在數列的極限的定義當中不存在這個問題。這里的意思其實就是取x0的去心鄰域。因為函數可以對某點取極限，而同時函數不一定需要在該點有定義，這種情況在實際問題當中是有必要考慮的，因此為了照顧到這種情況，就在定義當中加入了這點要求，而同時不會損害極限的定義本身。 3求極限的主要方法有哪些？答：在求極限之前，要注意觀察，通過觀察來

17、判斷需要應用什么樣的途徑與方法，而不是盲目嘗試，一般的方法有如下的幾種，其中有些方法是基于后面的知識，我們也列出，以供參考：（1）     對于函數在連續點的極限，直接代入即可；（2）     運用消去零因子的方法；（3）     通過一定的變形，利用兩個重要的極限；（4）     在某些特殊情況下，需要通過左右極限來判斷函數在某點的極限；（5）     運用等價無窮小或者無窮大的性質；（6）&#

18、160;    運用單調有界性質；（7）     運用夾逼準則；（8）     通過變量代換；（9）     對于未定式，必要的話可以考慮運用羅必塔法則；（10）  對于數列，可以先嘗試計算出有限和，再取其極限；（11）  運用級數收斂的必要條件；（12）  通過運用定積分的定義來得到；（13）  應用導數的定義；（14）  運用微分中值定理。 無窮小量，無窮大量，無窮小量的階。在微積分

19、的歷史上，一種具有重要意義的極限過程，即無窮小量充當了很關鍵的角色。而在理論的角度來看，這種極限過程也是非常有用的。所謂無窮小量就是這樣一種函數的極限過程，即當函數自變量趨向于某個特定的值時，函數值本身趨向于0，直觀地說，也就是函數值要多小就有多小。更清楚地說明這點，就是：對于任意的，總是存在一個，使得當時，總是有成立。這里的f（x）在x趨向于x0時，就是無窮小量。正如一個函數的極限和這個函數在這點的取值不能混為一談一樣，無窮小量和0不能混為一談。無窮小量是一種極限過程，可以理解為是“運動物體”，而任何一個確定的數值，總是一個“靜止物體”。一個無窮小量可以無限地接近而總是不能取值為0，因為極限

20、過程畢竟表達的是一個函數值的變化過程。把無窮小量看成是以0為極限值的函數，則同樣可以對它進行四則運算，我們可以得到如下定理：（1）     有限個無窮小量的和仍然是無窮小量。（2）     有界函數與無窮小量的乘積是無窮小量。（3）     常數和無窮小量的乘積是無窮小量。（4）     有限個無窮小量的乘積是無窮小量。 既然以0為極限的函數具有特定的研究價值，那么反過來，比方說無窮小量的倒數，是趨向于無窮大的，也是具有一點價

21、值的研究對象。這就是所謂無窮大量。類似地，我們可以定義無窮大量為當函數自變量趨向于某個特定的值時，函數值本身趨向于無窮大，直觀地說，也就是函數值要多大就有多大。我們更清楚地說明這點，就是：對于任意的，總是存在一個，使得當時，總是有成立。這里的f（x）在x趨向于x0時，就是無窮大量。 無窮小量最為重要的研究價值，體現在我們可以對它的趨向于0的“速度”進行比較。這種比較的結果，就得到了階的概念。設在同一個極限過程當中，和都是無窮小量，如果（1），那么關于就是高階無窮小量，反過來關于就是低階無窮小量。寫成。（2），那么和就是等階無窮小量，寫成。并且稱和互為主要部分。如果，則有和。反過來也成

22、立。這個定理則是進行近似計算的基本定理，即用主要部分代替一個變量，誤差為一個高階無窮小。 （3），那么和就是同階無窮小量，寫成a。 利用無窮小量的性質求極限 無窮小量無窮大量之間的關系求極限首先, 利用無窮小量乘有界變量仍然是無窮小量,這一方法在求極限時常常用到;再者利用等價無窮量。在求函數極限過程中,如果此函數是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時, 這個無窮小量可以用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡化。例1：求的值解：因為是無窮小量，而是有界變量，所以 還是無窮小量，即 利用等價無窮小量代換來求極限所謂等價無窮小量即稱與是時的等價無窮小量，記作定理：設函數在內有定義，且有1.

23、若則2.若則證明： 可類似證明，在此就不在詳細證明了！ 由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函數的極限例1：求的極限解：由 而；故有注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數的極限必須熟練掌握一些常用的等價無窮小量，如：由于，故有又由于故有，。另注：在利用等價無窮小代換求極限時，應該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的則得到的結果是錯誤的。小結:在求解極限的時候要特別注意無窮小等價替換,無窮小等價替換可以很好的簡化解題。函數極限的四則運算法則。在研究數列的極限時，我們已經討論了數列極限的四則運

24、算性質，對于函數的極限，具有同樣的性質，因為這種運算性質只涉及到極限過程本身，與是數列還是函數無關。我們列出如下：首先假設函數f（x）和g（x）都在自變量x趨向于x0時存在有限的極限，那么就有下面的運算規則，（我們簡寫了極限符號，都是表示）：a如果f（x）極限存在，那么其中k為實數；b如果f（x）、g（x）極限存在，那么；c如果f（x）、g（x）極限存在，那么；d如果f（x）、g（x）極限存在，其中那么，。注意這里函數的運算規則里面包括了減法，而數列的減法則沒有一般的運算規則。函數除了通過四則運算進行構造以外，另一個重要的函數構造途徑就是函數的復合，那么復合函數的極限與其組成函數的極限有什么關

25、系呢？（1）設，；（2）設存在x0的一個去心鄰域。對于在這個鄰域內的所有x都有，也就是說，在x趨向于x0的過程當中，g（x）不會取值u0；在這兩個條件下，我們有這個法則對于我們求函數的極限是非常有用的，因為常常需要進行變量代換，使得復雜函數變換為比較簡單的函數，從而得到所需要的極限。 函數極限存在的判別定理類似于數列極限的夾逼定理，同樣存在函數極限的夾逼定理：設兩個函數g（x）和h（x）在時，存在同一個極限A，而在x0的去心鄰域里，存在另一個函數f（x）滿足以下條件：，那么在時，f（x）也存在極限A。在有關函數極限的問題當中，記住重要的一點，就是函數的自變量只需要考慮在它所趨向的點的

26、去心鄰域內的有定義即可。這個定理在某些條件下，可以應用于求函數在某點的極限，即如果已知g（x）和h（x）具有簡單極限性質，和要考慮的函數f（x）具有上面不等式所要求的性質，則可以直接得到f（x）函數的極限性質。利用這個定理，可以得到重要的兩種形式的函數的極限。 兩個重要極限。對于這兩個極限，重要的是抓住它們的結構特征：（1）。這個極限的結構特征可以表示為：，也就是說，括號里的部分是無窮小量。這個極限可以應用于求很多函數的極限。（2）這個極限的結構特征可以表示為：也就是說，括號里的部分是無窮大量。這個極限同樣可以應用于求很多函數的極限。我們在后面的練習當中，會遇到很多的例子。 

27、;函數的連續性，單側連續性。我們已經提到過實數的連續性，不過實數的連續性是比較困難的概念，我們不要求掌握，至于函數的連續性，則是另外一個概念，利用極限作為工具，可以說明函數的連續。我們說函數在某點是連續的，意思是說（1）     函數在這點的某個領域內有定義；（2）     函數在這點存在極限；（3）     函數在這點的極限等于函數在這點的函數值。精確地說，就是：我們說函數在某點處是連續的，意思是說（1）     函數在這點的某個領域

28、內有定義；（2）     對于任意給定的，總是存在某個，使得只要，就可以得到相應的，注意與極限定義相比，這里沒有要求大于0，而是存在等于0的情況。我們可以看到極限與連續存在緊密聯系，比照單側極限的可以用單側極限來定義單側連續。函數在某點存在左極限，并且左極限值等于函數在這點的因變量值，這稱函數在這點左連續；函數在某點存在右極限，并且右極限值等于函數在這點的因變量值，這稱函數在這點右連續。顯然函數在這點連續的一個充要條件就是函數在這點同時左連續與右連續，左右極限值都同時等于函數在這點的因變量值。同樣這種單側連續概念可以應用于研究分段函數。最后，我們可以看到

29、，函數極限性質是函數一種局部性質，函數連續性同樣是函數在一點的局部性質，都要求函數在這點的某個鄰域有定義。鄰域概念本身就是一個表達一點的局部范圍的概念。對于一個函數，如果它在定義域的每一點都是連續的，則稱函數在它的定義域上都是連續的。 連續函數的運算性質，初等函數的連續性。（連續性運算）非常類似于極限的運算性質，對于連續性，由于它的極限本質，同樣存在相應的四則運算性質和復合性質：1設函數f（x）和g（x）在x0處連續，則函數（1），其中a，b為任意常數；（2）；（3），其中g（x）不能等于0。都在x0處連續。2設函數u=g（x）在x0處連續，函數y=f（u）在u0處連續，g（x0）=

30、 u0，那么函數y=fg（x）在x0處連續。有了這兩個基本定理，我們從基本初等函數的連續性開始，可以一步一步地得到初等函數的連續性，即任意初等函數在其定義域上的每一點處都是連續的。這個結論具有極其重要的價值。后面我們可以看到，初等函數的這個性質使得我們對它們的處理大大簡化了。 閉區間連續函數的性質，中值，最值。所謂區間的連續性，直觀地看，就是實數軸X上面的一個線段區間，而函數的連續性，就是把X軸上面的一個連續線段區間，變換為Y軸上面的一個連續線段區間。對于所謂實數區間的連續性，我們只能從直觀的角度來把握，而不能作更進一步的理論探討，因為這超出了本課程的范圍。對于連續函數來說，實數軸上

31、面的閉區間具有非常重要的意義，首先我們給出一個基本定理：定義在有限閉區間上面的連續函數的值域也是有限閉區間。定義域是閉區間函數的值域也是閉區間從這個基本定理出發，我們可以從下面的幾個定理體會到閉區間對于連續函數的意義之所在：（1）          定義在一個閉區間上面的連續函數，必定存在函數在這個區間上面的最大值與最小值。這就是所謂最值定理。（2）          定義在一個閉區間上面的連續函數，必定是有界的。這就是所謂有界性定理。（3）          定義在一個閉區間a，b上面的連續函數f（x），對于滿足f（a）<c<f（b）的任意的c值，總是存在一個相應的，使得這就是所謂介值定理。（4）