1、高中數學 （ 兩個變量的線性相關 第2課時）示范教案 新人教A版必修3導入新課思路1 客觀事物是相互聯系的,過去研究的大多數是因果關系,但實際上更多存在的是一種非因果關系.比如說：某某同學的數學成績與物理成績,彼此是互相聯系的,但不能認為數學是“因”,物理是“果”,或者反過來說.事實上數學和物理成績都是“果”,而真正的“因”是學生的理科學習能力和努力程度.所以說,函數關系存在著一種確定性關系,但還存在著另一種非確定性關系相關關系.為表示這種相關關系,我們接著學習兩個變量的線性相關回歸直線及其方程.思路2 某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關系,隨機統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數與當天氣溫

2、的對照表：氣溫/261813104-1杯數202434385064 如果某天的氣溫是-5 ,你能根據這些數據預測這天小賣部賣出熱茶的杯數嗎？為解決這個問題我們接著學習兩個變量的線性相關回歸直線及其方程.推進新課新知探究提出問題（1）作散點圖的步驟和方法？（2）正、負相關的概念？（3）什么是線性相關？（4）看人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,當人的年齡增加時,體內脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回歸直線？（6）如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？（7）利用計算機如何求回歸直線的方程？（8）利用計算器如何求回歸直線的方程？活動：學生回顧,再思考或討論,教師及時提

3、示指導.討論結果：（1）建立相應的平面直角坐標系,將各數據在平面直角坐標中的對應點畫出來,得到表示兩個變量的一組數據的圖形,這樣的圖形叫做散點圖.（a.如果所有的樣本點都落在某一函數曲線上,就用該函數來描述變量之間的關系,即變量之間具有函數關系b.如果所有的樣本點都落在某一函數曲線附近,變量之間就有相關關系.c.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關關系）（2）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內,稱為正相關.如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內,稱為負相關.（3）如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關的關系.（4）大體上來看,隨著年齡的

4、增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關的趨勢,我們可以從散點圖上來進一步分析.（5）如下圖： 從散點圖上可以看出,這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近.如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系,這條直線叫做回歸直線(regression line).如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡稱回歸方程),那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內脂肪含量的相關性.就像平均數可以作為一個變量的數據的代表一樣,這條直線可以作為兩個變量具有線性相關關系的代表.（6）從散點圖上可以發(fā)現,人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,大致分布在通過散點圖中心的一條直線.

5、 那么,我們應當如何具體求出這個回歸方程呢? 有的同學可能會想,我可以采用測量的方法,先畫出一條直線,測量出各點與它的距離,然后移動直線,到達一個使距離的和最小的位置,測量出此時的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是,這樣做可靠嗎? 有的同學可能還會想,在圖中選擇這樣的兩點畫直線,使得直線兩側的點的個數基本相同.同樣地,這樣做能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎? 還有的同學會想,在散點圖中多取幾組點,確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數,將這兩個平均數當成回歸方程的斜率和截距. 同學們不妨去實踐一下,看看這些方法是不是真的可行?（學生討論：1.選擇能反映直線變化的兩

6、個點.2.在圖中放上一根細繩,使得上面和下面點的個數相同或基本相同.3.多取幾組點對,確定幾條直線方程.再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術平均值,作為所求直線的斜率、截距.）教師：分別分析各方法的可靠性.如下圖： 上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強. 實際上,求回歸方程的關鍵是如何用數學的方法來刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”.人們經過長期的實踐與研究,已經得出了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式其中，b是回歸方程的斜率，a是截距.推導公式的計算比較復雜，這里不作推導.但是,我們可以解釋一下得出它的原理.假設我們已經得到兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1

7、,y1),(x2,y2),(xn,yn)，且所求回歸方程是=bx+a,其中a、b是待定參數.當變量x取xi(i=1,2,n)時可以得到=bxi+a(i=1,2,n),它與實際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,n).這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的.由于（yi-）可正可負，為了避免相互抵消，可以考慮用來代替，但由于它含有絕對值，運算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2 來刻畫n個點與回歸直線在整體上的偏差.這樣，問題就歸結為:當a,b取什么值時Q最小，即總體偏差最小.經過數學

8、上求最小值的運算，a,b的值由公式給出.通過求式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數據的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（method of least square）.（7）利用計算機求回歸直線的方程. 根據最小二乘法的思想和公式，利用計算器或計算機，可以方便地求出回歸方程. 以Excel軟件為例,用散點圖來建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關關系的線性回歸方程,具體步驟如下：在Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關關系的散點圖（如下圖）,在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢線”選項,彈出“添加趨勢線”對話框.單擊“類型”標簽,選定“趨勢預測/回歸分析類

9、型”中的“線性”選項,單擊“確定”按鈕,得到回歸直線.雙擊回歸直線,彈出“趨勢線格式”對話框.單擊“選項”標簽,選定“顯示公式”,最后單擊“確定”按鈕,得到回歸直線的回歸方程=0.577x-0.448.（8）利用計算器求回歸直線的方程. 用計算器求這個回歸方程的過程如下：所以回歸方程為=0.577x-0.448.正像本節(jié)開頭所說的，我們從人體脂肪含量與年齡這兩個變量的一組隨機樣本數據中，找到了它們之間關系的一個規(guī)律，這個規(guī)律是由回歸直線來反映的.直線回歸方程的應用:描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系.利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入

10、回歸方程對預報量（即因變量Y）進行估計,即可得到個體Y值的容許區(qū)間.利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化,通過控制x的范圍來實現統(tǒng)計控制的目標.如已經得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度.應用示例思路1例1 有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數與當天氣溫的對比表：攝氏溫度/-504712151923273136熱飲杯數15615013212813011610489937654（1）畫出散點圖；（2）從散點圖中發(fā)現氣溫與熱飲銷售杯數之間關系的一般規(guī)律；（3）求回歸方程；（4）如果某天

11、的氣溫是2 ，預測這天賣出的熱飲杯數.解：（1）散點圖如下圖所示：（2）從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數之間呈負相關，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數越少.（3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數.利用計算器容易求得回歸方程=-2.352x+147.767.(4)當x=2時，=143.063.因此，某天的氣溫為2 時，這天大約可以賣出143杯熱飲. 思考 氣溫為2 時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 這里的答案是小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：1.線性回歸方程中的截距和斜率都是通

12、過樣本估計出來的，存在隨機誤差，這種誤差可以導致預測結果的偏差.2.即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應于x的預報值，能夠與實際值y很接近.我們不能保證點（x,y）落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近，事實上，y=bx+a+e=+e. 這里e是隨機變量，預報值與實際值y的接近程度由隨機變量e的標準差所決定. 一些學生可能會提出問題：既然不一定能夠賣出143杯左右熱飲，那么為什么我們還以“這天大約可以賣出143杯熱飲”作為結論呢？這是因為這個結論出現的可能性最大.具體地說，假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個非負整數作為可能的預測結果，則我們選擇142，143

13、和144能夠保證預測成功（即實際賣出的杯數是這3個數之一）的概率最大.例2 下表為某地近幾年機動車輛數與交通事故數的統(tǒng)計資料.機動車輛數x千臺95110112120129135150180交通事故數y千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)請判斷機動車輛數與交通事故數之間是否有線性相關關系,如果不具有線性相關關系,說明理由；(2)如果具有線性相關關系,求出線性回歸方程.解：（1）在直角坐標系中畫出數據的散點圖,如下圖.直觀判斷散點在一條直線附近,故具有線性相關關系(2)計算相應的數據之和：=1 031，=71.6,=137 835，=9 611.7.將它們代入公式計算得b0.

14、077 4,a=-1.024 1,所以,所求線性回歸方程為=0.077 4x-1.024 1.思路2例1 給出施化肥量對水稻產量影響的試驗數據：施化肥量x15202530354045水稻產量y330345365405445450455(1)畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線的方程.解：(1)散點圖如下圖(2)表中的數據進行具體計算,列成以下表格:i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 475故可得到b=4.75,a=399.3-4.75×30257.

15、從而得回歸直線方程是=4.75x+257.例2 一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間為此進行了10次試驗,測得數據如下：零件個數x（個）102030405060708090100加工時間y（分）626875818995102108115122 請判斷y與x是否具有線性相關關系,如果y與x具有線性相關關系,求線性回歸方程解：在直角坐標系中畫出數據的散點圖,如下圖.直觀判斷散點在一條直線附近,故具有線性相關關系由測得的數據表可知：=38 500,=87 777,=55 950.b=0.668.a=91.7-0.668×5554.96.因此,所求線性回歸方程為=bx+a=

16、0.668x+54.96.例3 已知10條狗的血球體積及紅血球數的測量值如下：血球體積x(mL)45424648423558403950紅血球數y(百萬)6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72（1）畫出上表的散點圖；（2）求出回歸直線的方程.解：（1）散點圖如下.（2）(45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50,(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37.設回歸直線方程為=bx+a,則b=0.175,a=-0.418,所以所求回歸直線的方程為=0.17

17、5x-0.148.點評：對一組數據進行線性回歸分析時,應先畫出其散點圖,看其是否呈直線形,再依系數a,b的計算公式,算出a,b由于計算量較大,所以在計算時應借助技術手段,認真細致,謹防計算中產生錯誤,求線性回歸方程的步驟：計算平均數；計算xi與yi的積,求xiyi；計算xi2；將結果代入公式求b；用a=求a；寫出回歸直線方程知能訓練1.下列兩個變量之間的關系哪個不是函數關系（ ）A.角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積C.正邊形的邊數和它的內角和 D.人的年齡和身高答案：2三點(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是（ ）A. B.=1.75+5.75xC. D.=5.75

18、+1.75x答案：3已知關于某設備的使用年限x與所支出的維修費用y（萬元）,有如下統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y2238556570 設y對x呈線性相關關系試求：（1）線性回歸方程=bx+a的回歸系數a,b；（2）估計使用年限為10年時,維修費用是多少？答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38.4我們考慮兩個表示變量x與y之間的關系的模型,為誤差項,模型如下：模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e（1）如果x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值；（2）分別說明以上兩個模型是確定性模型還是隨機模型解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18；模型2

19、：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.（2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因的不同,所得y值不一定相同,且為誤差項是隨機的,所以模型2是隨機性模型5以下是收集到的新房屋銷售價格y與房屋大小x的數據：房屋大小x（m2）80105110115135銷售價格y（萬元）18.42221.624.829.2（1）畫出數據的散點圖；（2）用最小二乘法估計求線性回歸方程.解：（1）散點圖如下圖.（2）n=5,=545,=109,=116,=23.2,=60 952,=12 952,b=0.199,a=23.2-0.199×1091.509,所以,線性回歸方程為y=0.199x+1.509拓展提升 某調查者從調查中獲知某公司近年來科研費用支出（Xi）與公司所獲得利潤（Yi）的統(tǒng)計資料如下表： 科研費用支出（Xi）與利潤（Yi）統(tǒng)計表 單位：萬元年份科研費用支出利潤1998199920002001200220035114532314030342520合計30180 要求估計利潤（Yi）對科研費用支出（Xi）的線性回歸模型.解：設線性回歸模型直線方程為：,因為：=5,=