1、植樹問題公式單邊植樹(兩端都植) :距離間隔數 +1=棵數單邊植樹(只植一端) :距離間隔數=棵數單邊植樹(兩端都不植) :距離間隔數-1=棵數雙邊植樹(兩端都植):( 距離間隔數+1)2=棵數雙邊植樹(只植一端):( 距離間隔數)2=棵數雙邊植樹(兩端都不植):( 距離間隔數-1)2=棵數循環植樹: 距離間隔數=棵數解釋:1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:株數=段數+1=全長株距+1全長=株距(株數-1)株距=全長(株數-1)如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么:株數=段數=全長株距全長=株距株數株距=全長株數如果在非封閉線

2、路的兩端都不要植樹,那么:株數=段數-1=全長株距-1全長=株距(株數+1)株距=全長(株數+1)2 封閉線路上的植樹問題的數量關系如下株數=段數=全長株距全長=株距株數株距=全長株數植樹問題折疊書上的知識1.植樹問題是在一定的線路上，根據總路程、間隔長和棵數進行植樹的問題。折疊專題分析一、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形。1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多 1，即:棵數=間隔數+1。2、如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數和要分的段數相等，即:棵數=間隔數。3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那么植樹的棵數比要分的段數少 1，即:棵數=間隔數-1。4、如果

3、植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多 1，再乘二，即:棵樹=段數+1 再乘二。二、在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即:棵數=間隔數。三、在正方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數=(每邊的棵數-1)邊數。1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么:株數=段數+1=全長株距+1全長=株距(株數-1)精選文檔2株距=全長(株數-1)如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么:株數=段數=全長株距全長=株距株數株距=全長株數盈虧問題的公式(盈+虧)兩次分配量之差=參加分配的份數(大盈-小盈)兩次分配量之差=參加分配的份

4、數(大虧-小虧)兩次分配量之差=參加分配的份數相遇問題的公式相遇路程=速度和相遇時間相遇時間=相遇路程速度和速度和=相遇路程相遇時間例題折疊例 1長方形場地:一個長 84 米，寬 54 米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是 2 米，行距是 3米.這個蘋果園共種蘋果樹多少棵?解:解法一:一行能種多少棵?842=42(棵).|這塊地能種蘋果樹多少行?543=18(行).這塊地共種蘋果樹多少棵?4218=756(棵).如果株距、行距的方向互換，結果相同:(843)(542)=2827=756(棵).解法二:這塊地的面積是多少平方米呢?8454=4536(平方米).一棵蘋果樹占地多少平方米呢?23=6(

5、平方米).這塊地能種蘋果樹多少棵呢?45366=756(棵).當長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時，可用上述兩種方法中的任意一種來解;當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就只能用第二種解法來解.但有些問題從表面上看，并沒有出現植樹二字，但題目實質上是反映封閉線段或不封閉線段長度、 分隔點、 每段長度三者之間的關系。 鋸木頭問題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。所鋸的段數總比鋸的次數多一。上樓梯問題，就是把每上一層樓梯所需的時間看成一個時間間隔，那么: 上樓所需總時間 =(終點層-起始層)每層所需時間。而方陣隊列問題，看似與植樹問題毫不相干，實質上都是植樹問題折疊例 2直線

6、場地:在一條公路的兩旁植樹，每隔 3 米植一棵，植到頭還剩 3 棵;每隔 2.5 米植一棵，植到頭還缺少 37 棵，求這條公路的長度。解法一:(代數解法)設一共有 x 棵樹【(x-3)/2-1】X3=【(x+37)/2-1】X2.5精選文檔3x=205公路長:【(205-3)/2-1】X3=300得:公路長度為 300 米解法二:(算術解法)這道題可以用解盈虧問題的思路來考慮:首先，我們在兩邊起點處各栽下一棵樹，這兩棵樹與路長沒有關系，以后每栽下一棵樹，不論栽在哪一側，植樹的路線(不是路)就增加一個間距，為了簡單起見，我們按單側植樹來考慮。當按 3 米的間距植樹時，最后剩下 3 棵，也就是說植

7、樹的路線要比路長出 3 個間距，33=9 米，當按 2.5 米的間距植樹時，最后還缺 37 棵樹，也就是說植樹的路線比路短了 37 個間距，2.537=92.5 米，兩次相差9+92.5=101.5米， 兩次植樹的間距相差是3-2.5=0.5米， 據此可以求出樹的棵數:(不包括起點的 2 棵)101.50.5=203(個)知道了樹的棵數，就可以求出植樹路線的長度了:3(203-3)=600(米)或 2.5(203+37)=600(米)因為是雙側植樹，所以路長為:6002=300(米)綜合算式為:3(33+2.537)(3-2.5)-32=300(米)或 2.5(33+2.537)(3-2.5)

8、+372=300(米)答:(略)折疊例 3圓形場地(難題):有一個圓形花壇，繞它走一圈是 120 米。如果在花壇周圍每隔 6 米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽 2 株月季花?？稍远∠慊ǘ嗌僦?可栽月季花多少株?每 2 株緊相鄰的月季花相距多少米解:解:根據棵數=全長間隔可求出栽丁香花的株數:1206=20 (株)由于是在每相鄰的 2 株丁香花之間栽 2 株月季花， 丁香花的株數與丁香花之間的間隔數相等，因此，可栽月季花:220=40(株)由于 2 株丁香花之間的 2 株月季花是緊相鄰的， 而 2 株丁香花之間的距離被 2 株月季花分為 3 等份，因此緊相鄰 2 株月季花之間

9、距離為:63=2(米)答:可栽丁香花 20 株，可栽月季花 40 株，2 株緊相鄰月季花之間相距 2 米。折疊例 4在圓形水池邊植樹，把樹植在距離岸邊均為 3 米的圓周上，按弧長計算，每隔 2 米植一棵樹，共植了 314 棵。水池的周長是多少米?(適于六年級程度)解:先求出植樹線路的長。植樹線路是一個圓的周長，這個圓的周長是:2314=628(米)這個圓的直徑是:6283.14=200(米)由于樹是植在距離岸邊均為 3 米的圓周上，所以圓形水池的直徑是:200-32=194(米)精選文檔4圓形水池的周長是:1943.14=609.16(米)綜合算式:(23143.14-32)3.14=(200

10、-6)3.14=1943.14=609.16(米)折疊例 5個人觀點，歡迎探討:(千里獨行)小明家門前有一條 10 米長的水溝，在溝的一側每隔 2 米栽一棵樹，一共可栽幾棵?(兩端都植樹)按常規解法， 答案應該是 6(102+1)棵， 同理， 如果小光家門前也有一段 10 米長的水溝，同樣可以栽 6 棵，也就是兩家一共可以栽 12 棵，這并看不出有什么不妥。但是，當小明與小光家是鄰居時，我們再計算一下:兩家的水溝總長是 20 米，202+1=11(棵)，也就是兩家一共可以栽 11 棵樹，結果比上次計算少了一棵(本人稱之為鄰里沖突)，這是因為在端點處有兩棵樹重合了，這兩棵樹的間距為 0，與題中要

11、求間距 2 米不符，因此，可以看出兩端植樹是不妥當的。 但如果兩端都不植樹， 又會出現公共點沒有樹鄰近的兩棵樹間距 4 米的情況，仍與題意不符。那么一端植樹又會怎樣呢?這種要求是無法實現的，因為當一方在與鄰家相接的端點上植上樹后，就會使鄰家地段兩端都有樹存在，還是不合題意。因此，要求在端點上植樹(或不植樹)都會出現矛盾，這樣的計算方法也不能正確的反映出各個數量間的關系。 數學是一門嚴謹的科學， 出題者固然可以任意給定條件，但用不同的計算方法得出的結果應該是相同的，當計算結果出現矛盾時，應該找出問題的原因所在，不能簡單的用兩樹重合來解釋解釋。再按照棵樹=段數的方法計算一下:小明家可栽樹:102=

12、5(棵)小光家可栽樹:102=5(棵)兩家一共可栽樹 10 棵。當兩家是鄰居時，可栽樹:(10+10)2=10(棵)兩次計算結果相同，因此可以說這種計算方法才能正確的反映出各個數量之間的關系。為什么說常規的解法不夠正確呢?那是因為在常規解法中，只考慮了植樹路段為一家獨有的情況，多栽或少栽一棵都不會出現爭議，也就無法判定栽法是否妥當。然而當植樹路段為多家共有時就會出現一方或雙方將樹栽到了公共端點上的情況， 從理論上講這是不正確的。相對于路邊加一，樓間減一也無道理，因為完全可以按間距 2 米栽下 5 棵而不是 4 棵樹， 至于端點處的兩棵樹與樓相距只有 1 米的情況， 與題意并不矛盾:1、要求間距 2 米可以認為每棵樹需要 2 米的生長空間，端點的樹和中間的樹同樣都具有 2 米的空間;2、如果把樓也看做樹而使間距不足，那么則是因為他將樹栽倒了公共端點上而侵占了我的空間，我并沒有栽錯。(點擊圖片可放大)反過來想， 如果要將已有的若干棵樹平均分給幾家， 不論這些樹是直線分布還是平面分布，無疑是要把分割點(端點)確定在兩棵樹之間而不是在某一棵樹上，至于在某些情況下(比如劃分衛生分擔區或除雪)將端點確定在路邊現有標志物(如電桿或樹)上，那是因為分割的對象是路而不是樹，這時以固有標志物為界