1、第十一講 雙曲線 形如()的函數叫做反比例函數，它的圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，與雙曲線相關的知識有：1 雙曲線解析式中的系數決定圖象的大致位置及隨變化的狀況 2雙曲線圖象上的點是關于原點O成中心對稱，在>0時函數的圖象關于直線軸對稱；在<0時函數的圖象關于直線軸對稱 3自變量的取值是不等于零的全體實數，雙曲線向坐標軸無限延伸但不能接近坐標軸【例題求解】【例1】 已知反比例函數的圖象與直線和過同一點，則當時，這個反比例函數的函數值隨的增大而 (填增大或減小) 思路點撥 確定的值，只需求出雙曲線上一點的坐標即可注：(1)解與反比函數相關問題時，充分考慮它的對稱性(關于原點O中心稱，

2、關于軸對稱)，這樣既能從整上思考問題，又能提高思維的周密性(2)一個常用命題： 如圖，設點A是反比例函數()的圖象上一點，過A作AB軸于B，過A作AC軸于C，則 SAOB=； S矩形OBAC=【例2】 如圖，正比例函數 ()與反比例函數的圖象相交于A、C兩點，過A作AB軸于B，連結BC，若SABC的面積為S，則( ) AS=1 BS =2 CS= DS= 思路點撥 運用雙曲線的對稱性，導出SAOB與SOBC的關系【例3】 如圖，已知一次函數和反比例函數()的圖象在第一象限內有兩個不同的公共點A、B(1)求實數的取值范圍；(2)若AOB面積S24，求的值(2003年荊門市中考題)思路點撥 (1)

3、兩圖象有兩個不同的公共點，即聯立方程組有兩組不同實數解；(2)SAOB= SCOB S- SCOA，建立的方程【例4】 如圖，直線分別交、軸于點A、C，P是該直線上在第一象限內的一點，PB軸于B，SABP=9(1)求點P的坐標；(2)設點R與點P在同一個反比例函數的圖象上，且點R在直線PB的右側，作PT軸于F，當BRT與AOC相似時，求點R的坐標思路點撥 (1)從已知的面積等式出發，列方程求P點坐標；(2)以三角形相似為條件，結合線段長與坐標的關系求R坐標，但要注意分類討論【例5】 如圖，正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在軸上，點C在軸上， 點B在函數 (，)的圖象上，點P(，)

4、是函數 (，)的圖象上的任意一點，過點P分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F，并設矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S (1)求B點坐標和的值； (2)當時，求點P的坐標； (3)寫出S關于m的函數關系式 思路點撥 把矩形面積用坐標表示，A、B坐標可求，S矩形OAGF可用含的代數式表示，解題的關鍵是雙曲線關于對稱，符合題設條件的P點不惟一，故思考須周密注：求兩個函數圖象的交點坐標，一般通過解這兩個函數解析式組成的方程組得到，求符合某種條件的點的坐標，需根據問題中的數量關系和幾何元素間的關系建立關于縱橫坐標的方程(組)，解方程(組)便可求得有關點的坐標，對于幾何問題，還應注意圖形的分

5、類討論 學歷訓練1 若一次函數的圖象如圖所示，則拋物線的對稱軸位于y軸的 側；反比例函數的圖象在第 象限，在每一個象限內，y隨x的增大而 2反比例函數的圖象經過點A(m，n)，其中m，n是一元二次方程的兩個根，則A點坐標為 3如圖：函數（0）與的圖象交于A、B兩點，過點A作AC軸，垂足為點C，則BOC的面積為 4已知，點P(n，2n)是第一象限的點，下面四個命題：(1)點P關于y軸對稱的點P1的坐標是(n，-2n)； (2)點P到原點O的距離是n；(3)直線 y=-nx+2n不經過第三象限；(4)對于函數y=，當x0時,y隨x的增大而減小；其中真命題是 .(填上所有真命題的序號) 5已知反比例

6、函數y=的圖像上兩點A(x1，y1)、B（x2，y2），當x10x2時，有y1y2 ,則m的取值范圍是( ) AmO Bm0 C. m D.m 6已知反比例函數的圖象如圖所示，則二次函數的圖象大致為( ) 7已知反比例函數當時，y 隨x的增大面增大，那么一次函數的圖象經過( )A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 8如圖，A、B是函數的圖象上的點，且A、B關于原點O對稱，AC軸于C，BD軸于D，如果四邊形ACBD的面積為S，那么( ) A S1 B1<S<2 CS>2 DS29如圖，已知一次函數y=kx+b(kO)的圖像與x軸、y軸分

7、別交于A、B兩點，且與反比例函數y=(m0)的圖像在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足為D若OA=OB=OD=l（1）求點A、B、D的坐標；（2）求一次函數和反比例函數的解析式 10已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直線與雙曲線 ()的兩個不同交點 (1)求的取值范圍； (2)是否存在這樣的值，使得?若存在，求出這樣的值；若不存在，請說明理由 11已知反比例函數和一次函數y2x-1，其中一次函數圖像經過(a，b)，(a+1，b+k)兩點 (1)求反比例函數的解析式； (2)如圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩個函數的圖像上，求A點坐標； (3)利用(2)的結果，請問：在x軸上是否

8、存在點P，使AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由. 12反比例函數的圖象上有一點P(m，n)，其中m、n是關于t的一元二次方程的兩根，且P到原點O的距離為，則該反比例函數的解析式為 13如圖，正比例函數的圖象與反比例函數 ()的圖象交于點A，若取1，2，320，對應的RtAOB的面積分別為S1，S2，S20，則S1+S2+S20= 14老師給出一個函數y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同學各指出這個函數的一個性質： 甲：函數圖像不經過第三象限； 乙：函數圖像經過第一象限； 丙：當x2時，y隨x的增大而減小； 丁：當x2時，y0 已知這四位同學敘述都正確，

9、請構造出滿足上述所有性質的一個函數： 15已知反比例函數的圖象和一次函數的圖象都經過點P(m，2) (1)求這個一次函數的解析式； (2)如果等腰梯形ABCD的頂點A、B在這個一次函數的圖象上，頂點C、D在這個反比例函數的圖象上，兩底AD、BC與軸平行，且A、B的橫坐標分別為和，求的值16如圖，直線經過A(1，0)，B(0，1)兩點，點P是雙曲線()上任意一點，PM軸，PN軸，垂足分別為M，NPM與直線AB交于點E，PN的延長線與直線AB交于點F(1) 求證：AF×BE1；(2)若平行于AB的直線與雙曲線只有一個公共點，求公共點的坐標(2003年江漢油田中考題)17已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對稱軸為坐標軸建立平面直角坐標系，設點A的坐標為(x，y)，其中x>0，y>0 (1)求出y與x之間的函數關系式，求出自變量x的取值范圍； (2)用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問題： 方法： (k為常數且k>0，a0)，且 當=0，即時，取得最小值2k