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文檔簡介

1、欲索取更多考研資料，請上北京天問教育網站官網！大連理工大學2001年碩士生入學考試數學分析試題一. 從以下的1到8題中選答6題1. 證明:在區間內一致連續(為任意正數),但是在不一致連續2. 證明:若在內連續,那么在內Riemann可積.3. 證明:若,那么廣義積分收斂4. 證明:若,為區間上的連續函數,對任意的有: ,那么, 于5. 證明:若收斂,那么在一致收斂6. 已知：，求7. 已知：.其中, 和分別是可以求導一次和求導兩次的已知函數,計算8. 計算,半徑為的球的表面積二. 從9到14題中選取6題9.已知: ,求證: 10.證明: 收斂,且,那么11.計算曲面積分: ,其中S為旋轉橢球面

2、的外側12.設,. 求證: 對于任意小于1的正數,在區間一致收斂,但是不在一致收斂13.設,. 求證: 14.證明:若，且發散,那么不在一致收斂大連理工大學2001年碩士生入學考試數學分析試題解答一.1. 證 利用定義證明(1) 對于,那么(2) 任取,推出矛盾,從而命題得證2. 證 利用一致連續的定義和Riemann可積的定義來做因為函數在閉區間內連續,所以一致連續. 根據一致連續的定義對,考慮可積的定義,對于一個分割,下面證明:振幅函數 =0當時,.根據夾逼定理,不難得到.從而,命題得證3. 證 利用萊布尼茲交錯級數:假設;,考慮:如此,不難看出是一個萊布尼茲交錯級數,從而命題得證4. 證

3、 不妨設: ,那么于因為都是上的連續函數,所以5. 證 利用A-D判別法做，也可以通過Abel求和公式出發推導中,現在,根據原題:收斂,一致有界所以,根據Abel判別法,知該函數項級數在定義域一致收斂. 6. 解 題目有問題,在零點不連續7. 解 不斷利用鏈式求導法則同理:8. 解 方法很多,此處介紹一種比較簡單的假設:為半徑為的球的體積假設: 為半徑為的球的表面積二9. 證 LHosptial法則因為，10. 證 反證法如果命題不成立,即,那么,根據極限的定義,當的時候, 那么, 和收斂矛盾,從而命題得證11. 解 利用Gauss定理加換元換元12. 證 首先由于在閉區間內連續,所以函數在閉區間內一致連續(1),根據確界存在定理,存在上確界,且上確界不等于1,否則和題意矛盾不妨設: 根據定義,對于,當,從而知一致收斂于0(2)首先,根據前半題,顯然于收斂于0由于,且函數一致收斂，存在一組數列：,如此,考慮,從而不是一致收斂的. 13. 證 利用前一小題的結論因為內閉一致收斂,對于,當n足夠大的時候:又所以, 從而命題得證.

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